内容高数42法则

第二 法法例小回顾中值定理（Rolle）定理f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(ab内可导f(a)f(b),那末ab，使得f()0日（Lagrange）中值定理如果f(x)在闭区间[a,b]上连续、在开区间(a,b)内可导,那末(ab)， f(b)f(a)f()(ba).（Cauchy）中值定 如果f(x)、F(x)C[a,b](a,b)内可导,且F(x)在(a,b) 使 f(b)f(a)f() F(b)F 一、 法则0型及

型函数未定式的一种解法则x的某个连续的变化过程,

limf(x)

0型或g(x)

limf(x)lim

(x)

f(x) g(x) g(x)g(x)0

存在或为无穷;型不定式的0定理1设函数f,g在点x0的去心领域Ux0)内定义且满足(1) f(x)0,limg(x)x xfg在该去心领域内gxlimfx)A（A为实数或x >则

f(

f(

Ax

g(

x

g(证由条件（1）fxgx)x0fx0gx00, 是可去间断点，补充f0gx00,OxUx0),在x0x]或xx0上应用Cauchy中值定理f(x)

f(x)f(x0)

xx

x) g(x)g(x0 g( xx0时,x0故得limfx)limf()limfx) 证毕x

g(

x

g(

x

g( 10xx,xxx,x结论也

f(1

f(1)(1lim

f(

lim

lim

t g(

t0 g(1

t

g(1)(1tlimf(x)x

t 使 法则时，是对分子、分母分别求导而不是对它们的商求导0 在求型不定式极限时,可若干步使

xsin 例1求lim x0tanx

型)解limxsinxlim1cosx(0型x0tanx

x0sec2x sin limcos2x1x02sec2

xtan

x

1cos

x 1.x0

x

x x

例2x

e2

12x2xxln(1x2解x

e2e2

12x2xxln(1x212x2x2

(0型)(ln(1x2)～x2x

x2e2x2

(0型)

4e2x 型x

3x

x 6x

8e2xx 例x0

sinx

sinx111解解x0

sinxex0

ln1sinxsinsinxx3limsinxsin(sinx)

limcosx[1cos(sinx2ex 2lim

ex

32ex062

elimxsin

limxsin ex0arcsin3

ex

e例3

exearcsinx

xsin2exearcsin

earcsinx(exarcsin

xsin2 xsin2而当x0时sin2x～x2,exarcsinx1～xarcsinx,且earcsinx1x

earcsinx(exarcsin

x

xsin2limxarcsinx x1x0

1x3x

x

11x

1x23xx0注

1x

x

12x3x

16当使用一 法则后仍是不定式时，在 子应及早约去，不要保留在以后的求导过程中arctan例4

lim (0型x 1 1

arctan

1xx x

xx11x

x

x型不定式的 定理2设函fg在点x0的去心领域Ux0)内定义且满足 lim f(x),lim g(x)xx0 xx0fg在该去心领域内可导,gx)

fx（A为实数或x

g(x)则

fx) fx)Ax

g( x 例5

lntan2

型x10ln(1 lntan

limsin

型x10ln(1limxx10sin

x1(0型)

xlim x10cos例 求limlnx

(1解原式

lim

lim

0求导x

xxxlimlnx x一般地 例7lim

(0,a1)xax解

x

(1)x2原式

lim

limx2xax2

求导x

a(lna) lim

(k1)x

1k0求导x

ax(lna)k 0xx(0,a1)?例8limtanx?xtan3 1tanx~ 1解原式 lim tan3x~3xx 3x sec2

变形 cos23解原式 lim

lim 求导x 3sec3

3x

2 2x2

求导

(limx

3sin3xsin连续

3sin ( 22

例9设fx)在xalimf(ah)f(ah)2f(a) lim

(a

h)f(ah) 原 求 h连续

2h2 limf(ah)f(ah) f(a)2求 h连续解原

limf(ah)f(ah)求 h 2hfxxa2f(a)

{limh0

f(ah)fh

limh0

f(ah)f(a)h二 必达法则（）0、00、1、0型未定式关键:将这些类型未定式化 法则直接可解决(0

),(1.0

代数代换：其中之一取倒

1 步骤:0

或0 例8limxlnx0

(0) 解原式

0 lim

ln

lim

limlim右连续

x

取倒数x0

求导x

x0 2.步骤

代数代换

1通分0 取倒数

0 例9求limsecxtanx).x2解原式

lim(

sinxx2000

cos

cos lim

1sin

lim

cos

0x2

cos

x2

sin001、0型（幂指步骤

指数代换

0ln

代数代换 ln10 或uvevln0

例

limsinxtanxx0

连 limtanxlnsin解原

limetanxlnsin

ex0

换0 limlnsin

cot ex0

cot

ex0csc2其中之一取倒数 求lim(sinxcosxex0 e0例

limx1x 1

0连 limln

1lim解原 lime1指数代换x1

ln

ex11

ex11e1例12求lim(cotx)lnx (

ln(cotx 指数代换，得(cotx)ln

eln limx0

ln

ln(cot

o

limx0

ln(cotx)ln

limx

cot1x

sin2x0cosxsin

1,原式e1例

求limxcosx

极限不存求导x求导x

？ lim lim(1？ lim lim(1sin1limxcosx不存在，也不是.xx注意 法则只是（常义及广义）极.xx充分条件实际上式lim(11cosx)x 又如:lim

x2sin x0x0

2xsin1coslim

不存在x

求导x x2sin而lim xlimxsin1x 再如:lim

x 11x2 11x2

lim1x2求导1x2111x2

limx lim

事实上

求导x

lim

x注可以间接地 必达法则求数列未定式 例

求lim n 解原式 lim

lim

求导n

求导 数列的导数(xn)数列极限与函数极限关 ex正确

原式

limxx limex求导x2

lim求导x

定理3(导函数极限定理Ofx)在x0某邻域U(x0)内连续在U(x0)可,

fx)(),fx)在x0可导f(x0

limx

(x)证x[x0,x0), 法0f(x0)limx

f(x)f(x0xx0

limx

(

同理,xx0x0f(x0)limf(x)x

f(x0)limf(x)x例

xsinx2 xfx)

的导函数ln(1

x012xcosx2,,x解fx

1

xlimf(x)limln(1x)0f f在x0连续limf(x)lim(xsinx2)0fx0 x0