线性代数报告

线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用1陈嘉威3013214105杜澎磊3013214106宋子旭3013214127前言近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。这就要求我们如法去解决。某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得出想要的一、可逆矩阵在保密通信中的应用（一）可逆矩阵1、矩阵矩阵的定义：m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，矩阵用a11a12…a1n大写黑体字母[a21a22…a2n]这m×n个数称为矩阵am1am2…amnA的元素，aij称为矩阵A的第i行第j列元素，一个m×n矩阵A也可简记为A=(aij)m×n或Am×n。m×n矩阵加法设有两个m×n矩阵A=aj)B=bj矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=（aij+bij） 。m×n矩阵乘法：设A=(aij)m×n ，B=(bij)m×n。矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，k=1规定为AB=(cij)m×n 其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑sk=1

aikbkj(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。2、矩阵的逆于n阶矩阵A阶矩阵BAB=BA=1A而矩阵B称为A的逆矩阵。记作A-1，即A-1=B。（二）保密通信1、背景自从人类有了文字书写之后，就考虑使用一些手段来保障通信的机密，防解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始，关于通信的加密解密开始成为一门专门的学科，包括数学家在内的许多科学家投身其中进行深入的研究。20世纪末开始，计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安21通信的保密。因此保密通信主要涉及加密、解密的理论。2、模型保密通信过程中，存在明文和密文两个概念。想要发送的信息称为明文，通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。通信过程中，发送方会通过某的模型，具体如下图所示:（三）保密通信中可逆矩阵的应用收方再通过相应的逆运算将密文编译成明文，就完成了信息的传递。1、保密通讯中可逆矩阵的编码过程设矩阵AB为加密矩阵（密钥），的乘积来实施对所发消息的加密，这样就得出密文矩阵C=AB。如果矩阵B是可逆矩阵，则矩阵方程C=AB有唯一解C=AB-1，其中B-1是B的逆矩阵。这样，发送方将信息通过可逆矩阵进行加密编码成密文矩阵C=ABB-1，就可得到明文矩阵A。2、加密矩阵（密钥）的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密矩阵和求出其逆矩阵作为解密矩阵是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。得到初等矩阵的具体初等变换。阵做一序列的初等逆变换即可。3、应用举例26个字母用1-2627可译为:2351231513527209114109144124215将发送数字排23 5IIII12IIII315 13IIII5IIII27成5×4的明文矩阵，即A=此时，对于矩阵阶数的选择是随[意的，阶数越高，保密性越好。为了增加破译难度，收发双方可约定一个加密1 2IIII0IIII5矩阵，如B=[1

可求出B的逆矩阵B-1。发送者将加密后的密文矩阵1IIII0IIII0IIII50IIII2IIII1IIII3C=AB= 7给接收方。接收方接受信息后，就再右乘33IIIIII55IIIIII22IIIII132[46IIIIII84IIIIII53IIII]I125B-1，可得ABB-1=A然后根据文字对照表就可以还原成原来的信息“Welcome！Tianjindaxue”。在编码的过程中，将英文信息进行转化时，没有区分大小写字符，也可以54（四）结语矩阵作为数学中一个很小的分支，其应用范围却非常广泛。相信随着信息技术在其中发挥越来越大的作用。二、矩阵与成本利润的计算两个方面简单介绍矩阵在成本利润计算中的应用。（一）生产成本引例：已知某服装加工厂生产甲、乙、丙、丁四种产品，每种产品的单件各类成本及四季度生产件数如表1及表2所示，提供该厂每季度的各类产品总成本表。成本（元）甲乙丙丁原材料15203025劳动力成本20103020企业管理费用5101010运输成本2334表一：每种产品的单件各类成本季度季度一季度二季度三季度四季度产品甲4000300020005000乙1000600040002000丙2000200020002000丁3000200050001000表二：四季度各类产品产量1520301520302520103020A= 5 10 10 102 3 3 4设B为四季度各类产品产量矩阵，即：:4000 3000 2000 B=则四个季度的原材料、劳动力成本、企业管理费用、运B的乘积X，即:205000 275000210000 220000X=80000 11500029000 50000295000240000120000420001000100060004000200020003000200020002000500020001000输成本的总成本为矩阵A2000002000007500026000 根据矩阵X，可以得到各类产品总成本分类表，如表三。成本（元）春夏秋冬合计原材料205000275000295000200000975000劳动力成本210000220000240000200000870000企业管理费用8000011500012000075000390000运输成本29000500004200026000147000合计5240006600006970005010002382000表三：各类产品总成本分类表可见，应用矩阵计算成本一目了然，省时省力。又如：某工厂每批次投料生产中，获得4种不同产量的产品，同时测量出各批次的生产总成本，如表四所示：生产批次产品/kg总成本（元）ABCD120010010050290025002502001007050310040402013604400180160605500表四试求每种产品的单位成本。解：设ABCD4可以得到得方程组：化简得：4 2 2 1 58

0 0 0 1010 5 4 2 141

0 1 0 0 5增广矩阵为： 化为行最简形矩阵： 5 2 2 1 68 0 0 1 0 3 20 9 8 3 275 0 0 0 1 2 因为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，所以方程组有唯一解，即：a=10，b=5，c=3，d=2从而直观地反映了工厂生产的产品的单位成本。（二）生产利润观的计算利润问题。如：一个工厂生产甲、乙两种产品。需用A、B、C三种原料。给出产品的单价向量P(单位：千元／件)，原材料成本的向量C(单位：千元／吨)，订单向量X(单位：件）90

30P= ，C=2，X= 50

9 4 设甲、乙产品的单位成本向量Y=a b，于是Y=CT4 5=20 40 3 10可得：售出甲、乙产品所获的利润为：PTX—YX=(PT-Y)X=9900—1800=8100（千元）三、矩阵与数字图像而不是图片，所以一幅图像在用计算机处理前必须先转化为数字形式。左图表明了如何用一个数字矩阵来表示一个物理图像。物理图像被划分为称作图像元素的小区域，图像元素简称为像素，最常见的划分方案是图中所示的方形采样网格，图像被分对应点的亮度。有的像素都完成上述转化后，图就被表示成一每个像素具有两个属性：位置和灰度。位置（或称地址）由扫描线内的采样点两个坐标决定，它们又称为行和列。表示该像素位置上亮暗程度的整数称为灰度。此数字矩阵就作为计算机处理的对象了。由此，每一幅灰度格式的图像（我们平常称为黑白图片，都可用一个元素－50255（RGB图像说的红，绿（G，蓝（）分量。进行转置，就能得到原图片沿主对角线对称的图片。前 后换、求矩阵转置进行正交逆变换最终实现数据图像的压缩。（一）均值与差分的定义设a，b为介于0－255之间的数，则称c= 1

𝑎+

1𝑏

1 1

𝑎1√2ab

√2 √2√2 𝑏𝑑= 1𝑎−

1𝑏= 1−1 ⋅ 𝑎2√2ab

√2 √2√2 𝑏a，bab的差别。（二）均值差分变换矩阵的构造矩阵矩阵𝑛×𝑛

=

0i𝑗

表示大小为𝑛×𝑛的灰度图像，其中𝑛=2𝑚,n,m为自然𝑛×𝑛1i,j＝1，2，…，n.通过(1)和(2)𝑛×𝑛1

的行相邻元素（不重叠）的均𝑛×𝑛值与差分，按均值在前差分在后的顺序得到矩阵𝑛×𝑛

=

𝑖𝑗̇𝑛×𝑛，即1 1 1

𝑎0𝑎1(

)⁄

𝑎0

𝑎0

=( )⋅(

𝑖,𝑗)，𝑖,

𝑗1

√2 1

√2 1

√2√21

0𝑖,𝑗1𝑎0𝑎1(

)⁄

𝑎0

𝑎0

=( )⋅(

𝑖,𝑗)，𝑖,𝑛𝑗1

2

√2

√2√2

0𝑖,𝑗1𝑗̇=1,3,5,7,⋯,𝑛−1;𝑖=1,2,3,⋯,𝑛.易得 易得

0==

(3)1 0 0 1 0 0√2 √21 0 0 −1 0 0√2 √20 1 0 0 1 01√2 √2100 ⋯ 00 0⋯ 000 ⋯ 00 0⋯ 0其中 00 ⋯ 00 0⋯ 000 ⋯ 00 0⋯ 0

0 0 −1 0√20 0 1 0 0 1)√2 √2)(0 0

1 0 √2

−1√2 𝑛×𝑛1 0 0 1 0 0√2 √21 0 0 −1 0 0√2 √20 1 0 0 1 0√2 √2𝑀设 0= 0 1𝑀00 ⋯ 00 0⋯ 000 ⋯ 00 0⋯ 000 ⋯ 00 0⋯ 0

0 0 −1 0√20 0 1 0 0 1)√2 √2)(0 0

1 0 √2

−1√2 𝐾×𝐾𝑛K为自然数，则=𝑀0。𝑛显然是正交矩阵，故(3)式知，上面的过程实质上是对矩进行𝐾𝑛×𝑛了一次正交变换，得到矩阵𝑛×𝑛

。称该变换为正交均值差分变换。

𝑛×𝑛继续对继续对𝑛×𝑛

中元素1𝑎𝑖,𝑗𝑎

，𝑗=1,2,⋯,n;𝑖=1,2,⋯,n，计算行相邻元素（不重2𝑎叠）的均值与差分，按均值在前差分在后的顺序放置，其它元素即1𝑎𝑖,𝑗

，𝑗=n𝑛×𝑛2𝑛×𝑛1,n2

2,⋯,n;𝑖=1,2,⋯,保持不动，得到矩阵记为，则𝐴2𝐴𝑛×𝑛

1=𝑛×𝑛 =

0==

， (4)M0 𝑂其中 =

𝑛/2𝑂

)E𝑛/2继续对继续对𝑛×𝑛

做同样的处理，直到不能再计算为止（均值元素为一个，此时𝑛×𝑛得到矩阵记为𝐴𝑟𝑜𝑤𝐴𝑟𝑜𝑤𝑛×𝑛

⋯⋯(5)M0 𝑂其中M 𝑝=

2𝑛/2𝑝𝑂

E𝑛2𝑛/2

)，𝑝=1,2,⋯,𝑚.𝑛×𝑛同理，对矩阵𝐴0𝑛×𝑛

的列相邻元素（不重叠）计算均值与差分，直至不能计算为止则可得 𝐴𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚=

⋯M𝑇⋯M𝑇M𝑇𝐴0

. (6)𝑚 𝑝 2 1 𝑛×𝑛𝑛×𝑛因此对矩阵𝐴0𝑛×𝑛

的行和列同时计算相邻元素（不重叠）均值与差分，结果记为B，则𝐵 =

⋯M𝑇⋯M𝑇M𝑇𝐴0

MM ⋯M ⋯

=M𝑇𝐴0 M，(7)

𝑚 𝑝

2 1 𝑛×𝑛 1 2 𝑝

𝑛×𝑛其中 M=⋯⋯(8)（三）阈值的选取从(1)，(2)均值和差分的定义不难看出，矩阵经过均值差分变换后元素被分成两大部分，一部分是原矩阵的近似（均值部分，一部分代表原矩阵元素的变化细节（差分部分，图像的绝大部分信息集中在近似部分。同时对细节部分而选取，本文简单选取阈值为5，30，80，观察压缩效果的变化。（四）编解码算法A表示大小为𝑛（矩阵A的行和列进行正交均值差分变换，得到原图像的近似与细节信息，选取阈值，舍去小于或等于阈值的信息，达到数据压缩的目的。最后通过逆变换获得解码图像。具体算法步骤如下：Step1：由式(8)计算均值差分变换矩阵M。Step2：由式(7)对A进行均值差分变换，得B矩阵。Step3Be稀疏的矩阵𝐵，仅存储其非零元素。Step4：计𝐴=(𝑀𝑇)1 𝐵𝑀1 =𝑀𝐵𝑀𝑇，即𝐵进行逆均值差分变换，获得解码图像𝐴。以上算法同样适用于彩色图像，但需对三个颜色分量分别施行该算法。例子：灰度图像压缩对256×256的小猫图像进行编码压缩和解码．下图为小猫原图像与𝑒=5，𝑒=