分部积分法练习题含-年个人用心整理

分部积分法练习题含-年个人用心整理分部积分法是高等数学中经典的求解积分的方法，其思想是将一个积分转化为两个函数乘积的积分形式，从而通过反复利用积分的基本性质，将一个难以求解的积分转化为更简单的积分形式。下面给大家提供一些分部积分练习题含，供大家练习和巩固知识。练习题1：求$\\inte^x\\sinxdx$解答：令$u=e^x$，$dv=\\sinxdx$，则$du=e^xdx$，$v=-\\cosx$$\\begin{aligned}\\inte^x\\sinxdx&=-e^x\\cosx-\\int(-\\cosx)e^xdx\\\\&=-e^x\\cosx+\\inte^x\\cosxdx\\\\\\end{aligned}$令$u=e^x$，$dv=\\cosxdx$，则$du=e^xdx$，$v=\\sinx$$\\begin{aligned}\\inte^x\\cosxdx&=e^x\\sinx-\\inte^x\\sinxdx\\\\&=e^x\\sinx-\\intu\\sinxdu\\\\&=e^x\\sinx+(\\cosx-e^x\\sinx)\\\\&=\\cosx+(1-e^x)\\sinx\\\\\\end{aligned}$练习题2：求$\\intx^2e^{2x}dx$解答：令$u=x^2$，$dv=e^{2x}dx$，则$du=2xdx$，$v=\\frac{1}{2}e^{2x}$$\\begin{aligned}\\intx^2e^{2x}dx&=\\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\\intxe^{2x}dx\\\\&=\\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\\frac{1}{2}\\intxde^{2x}\\\\\\end{aligned}$再次使用分部积分，令$u=x$，$dv=e^{2x}dx$，则$du=dx$，$v=\\frac{1}{2}e^{2x}$$\\begin{aligned}\\intx^2e^{2x}dx&=\\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\\frac{1}{2}(xe^{2x}-\\inte^{2x}dx)\\\\&=\\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\\frac{1}{2}xe^{2x}+\\frac{1}{4}e^{2x}\\\\\\end{aligned}$练习题3：求$\\intx\\lnxdx$解答：令$u=\\lnx$，$dv=xdx$，则$du=\\frac{dx}{x}$，$v=\\frac{x^2}{2}$$\\begin{aligned}\\intx\\lnxdx&=\\frac{x^2}{2}\\lnx-\\int\\frac{x^2}{2}\\frac{dx}{x}\\\\&=\\frac{x^2}{2}\\lnx-\\frac{1}{4}x^2\\\\\\end{aligned}$练习题4：求$\\intx^3\\cosxdx$解答：令$u=x^3$，$dv=\\cosxdx$，则$du=3x^2dx$，$v=\\sinx$$\\begin{aligned}\\intx^3\\cosxdx&=x^3\\sinx-\\int3x^2\\sinxdx\\\\&=x^3\\sinx+3x^2\\cosx-\\int6x\\cosxdx\\\\&=x^3\\sinx+3x^2\\cosx-6\\intx\\cosxdx\\\\\\end{aligned}$再次使用分部积分，令$u=x$，$dv=\\cosxdx$，则$du=dx$，$v=\\sinx$$\\begin{aligned}\\intx^3\\cosxdx&=x^3\\sinx+3x^2\\cosx-6(x\\sinx-\\int\\sinxdx)\\\\&=x^3\\sinx+3x^2\\cosx-6x\\sinx+6\\cosx+C\\\\&=(x^3-6x)\\sinx+3x^2\\cosx+C\\\\\\end{aligned}$练习题5：求$\\intx\\cos2xdx$解答：令$u=x$，$dv=\\cos2xdx$，则$du=dx$，$v=\\frac{1}{2}\\sin2x$$\\begin{aligned}\\intx\\cos2xdx&=x\\frac{1}{2}\\sin2x-\\int\\frac{1}{2}\\sin2xdx\\\\&=\\frac{1}{4}x\\sin2x+\\frac{1}{4}\\cos2x+C\