【知识点解析】专题训练4 用线段比例法求几何常见问题

用线段比例法求几何常见问题线段成比例法在三角形、四边形、圆中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，有时也以压轴题的形式出现．知识点睛1．【中考·杭州】如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．与三角形有关的问题类型1∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.证明：(1)求证：△ADE∽△ABC；证明：(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG.∴∴2．【中考泰安】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)求证：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．与四边形有关的问题类型2∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∴∠ADC＋∠BDC＝90°.又∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°.∴∠BDC＝∠PDC.证明：(1)求证：∠BDC＝∠PDC；解：(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，

求AE的长．如图，过点C作CM⊥PD于点M.∵∠BDC＝∠PDC，CM⊥PD，AC⊥BD，∴CE＝CM.∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD.∴设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝∵AB＝AD＝AC＝1，∴解得x＝

，即CE＝

经检验，x＝

是方程的解且符合题意．故AE＝AC－CE＝1－＝3．【中考·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.与圆有关的问题类型3证明：(1)求证：直线DM是⊙O的切线；如图，连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD.∴

∴OD⊥BC.又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC.∴BC∥DM.∴OD⊥DM.∴直线DM是⊙O的切线．证明：(2)求证：DE2＝DF·DA.如图，连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BED＝∠EBD.∴DB＝DE.∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.∴即DB2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.4．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．证明：(1)求证：AC平分∠BAD；如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.解：(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.∴∴PC2＝PB•PA.∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)若AD＝3，求△ABC的面积．解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝AD＝四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝

PB.∴∴OC＝∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴∴AC＝2BC.