【例题讲解】全等三角形的“一线三等角”模型例2

全等三角形“一线三等角”模型例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；ABCDEF图1分析：∠CBE=∠ACD∠CBE+∠BCE=90°∠BCE+∠ACD=90°由∠BCA=90°，∠α=90°可得已知CA=CB，∠BEC=∠CFAαα△BEC≌△CFABE=CF，EC=AFEF=|CF-CE|=|BE-AF|ααABCDEF图1（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

解：∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC与△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS），∵EF=|CF-CE|，∴EF=|BE-AF|；例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；∴BE=CF，EC=FA，ACBEFD图2例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足怎样的关系？分析：由三角形内角和等于180°可知即∠CBE=∠FCA只有满足△BEC≌△CFA，才有①中的结论,∠α+∠BCE+∠CBE=180°，

即∠α+∠BCE+∠FCA=180°即可得到∠α+∠BCA=180°αα②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为：

解：∵∠α+∠BCA=180°，∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），∴∠CBE=∠ACF，又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE=CF，EC=FA，∵EF=|CF-CE|，∴EF=|BE-AF|；则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足怎样的关系?ACBEFD图2αα例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点∠BEC=∠CFA=∠α

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．分析：ABCDEF图3即可得到EF=EC+CF=BE+AF．BE=CF，EC=AF通过条件证明△BEC≌△CFA（AAS）αααα（2）探究结论：EF=BE+AF例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠α．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3；又∵∠BEC=∠C