263实践与探索第三课时二次函数与方程不等式之间的关系（一）2021-2022华师大版九年级数学下册教案

课题：26.3实践与探索第三课时二次函数与方程、不等式之间的关系（一）＆.教学目标：1、会求二次函数与坐标轴的交点坐标。2、经历探索二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握、、对于二次函数所起到的作用。3、了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。＆.教学重点、难点：重点：灵活地利用、、的性质解决二次函数的相关问题。难点：了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。＆.教学过程：一、问题引入问题1：请作出下列三个函数的图象。（1）；（2）；（3）．问题2：观察图象，并解决下列问题。（1）请你说出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性？（2）图象与轴的交点个数，分别是几个交点？你知道图象与轴的交点个数与什么有关吗？二、探究新知探索：画出函数的图象，根据图象回答下列问题。（1）图象与轴、轴的交点坐标分别是什么？（2）当取何值时，？这里的取值与方程有什么关系？（3）取什么值时，函数值？取什么值时，函数值.教学方法：利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。解析：因为轴上的点的纵坐标为，所以二次函数的图象与轴的交点即图象上纵坐标为的点，它的横坐标也就是方程的根，也就是说，当取或时，；这里的值就是方程的根；因为轴上的点横坐标为，这个函数图象与轴的交点，即时，求出的的值就是与交点的纵坐标.这个函数图象在轴上方的部分的点，它的纵坐标都为正，所以当或时，；同理，当时，.答案：（1）图象与轴的交点坐标为（，）、（，），与轴的交点坐标为（，）．（2）当或时，，的取值与方程的解相同。（3）当或时，；当时，．思考：通过上述图象，请你思考下列问题。（1）二次函数的图象及性质与、、有什么关系？（2）你能利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？教学方法：结合图形，学生合作交流，教师引导学生归纳总结。§.归纳二次函数的性质：1.决定抛物线的开口方向，当时，抛物线的开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，；当时，抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，；2.、共同决定抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧。当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧；3.决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴交点在轴正半轴；当时，抛物线经过原点；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴；4.、、共同决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴有两个不同的交点，设一元二次方程（）的两个实数根为、，则抛物线（）与轴的两个交点、坐标分别为（，）、（，），利用根与系数之间的关系得；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点；（抛物线与轴交点的横坐标就是的根）5.一元二次不等式的解集可观察对应二次函数的图象得到：（）的解集实质就是抛物线（）在轴上方的部分对应的自变量取值范围，（）的解集实质就是抛物线（）在轴下方的部分对应的自变量取值范围。三、讲解例题，巩固新知§.例1、根据图象，在下列表格中填上“”、“”、“”.（1）；（2）；（3）；（4）.-1xy图11解析：观察图象的开口方向，对称轴位置，图象与轴的交点情况，可以依次确定出、、-1xy图11解：如图可得：，，得：由抛物线与轴有两个交点得：再由，得：.同步练习：二次函数的图象过原点，求的值？若抛物线的顶点在轴上，那么的值呢？方法归纳：结合图象判断二次函数的解析式中待定系数及有关代数式的符号，通常须观察开口方向、对称轴的位置、与轴交点的个数以及与轴交点的大概位置等。§.例2、已知函数，其中，，.试问：（1）抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧；（2）抛物线同轴有无交点？若有，请求出交点坐标；（3）抛物线同轴的交点在轴上方还是下方。解析：（1）由，，得：对称轴在轴的左侧；（2）由得抛物线同轴有交点，交点坐标为（，）（3）抛物线同轴的交点（，），由得抛物线同轴的交点在轴下方。§.例3、若抛物线的图象经过二、三、四象限，且不过原点。（1）顶点在第几象限？（2）（，）在第几象限.解析：（1）第二象限；（2）第一象限。同步练习：抛物线过一、二、三象限，且不过原点。（1）顶点在第几象限？（2）点（，）在第几象限.§.例4、二次函数.（1）求证：无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点；（2）取何值时，这两个交点恰在原点左右两侧；（3）取何值时，它的对称轴是轴；（4）为何值时，它的图象在轴截取的线段长是.解析：（1）由得无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点。（2）设抛物线与轴的两交点坐标为（，）、（，）若交点在原点的两侧，则得：，解得：（3）若对称轴为轴，则，解得：.（4）它的图象在轴截取的线段长是，则，解得.同步练习：已知二次函数.（1）试说明：不论取何值，这个二次函数的图象必与轴有两个交点；（2）为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是轴；（3）为何值时，这两个交点都在原点的左侧？§.例5、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。xOy图22312解析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，结合图象可得；（2）不等式的解集实际上就是判断在自变量取什么值时函数值大于；（3）由二次函数的图象特征可判断；（4）观察抛物线与平行于轴的直线xOy图22312解：（1），；（2）；（3）；（4）.变式训练：抛物线与交于点（，）.（1）求出的值并画出这条抛物线；（2）求它与轴的交点和抛物线的顶点坐标；（3）取什么值时，抛物线在轴的上方；（4）取什么值时，随的增大而减小.归纳：抛物线与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，轴上方的图象对应的自变量的范围就是不等式的解集；一元二次方程的解一般是观察抛物线与轴的交点，也可能观察抛物线与直线的交点；同一抛物线上纵坐标相等的点关于该抛物线的对称轴对称。四、巩固练习1、教材练习2、解答下列各题.（1）已知抛物线与轴相交于两点，求的取值范围。（2）已知二次函数的图象的最低点在轴上，求的值。（3）已知抛物线与轴交于两点（，），（，），且，求的