2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省五市十校高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（）A． B． C． D．，【答案】A【分析】解一元二次方程求出集合，然后由集合的交运算即可求解.【详解】∵，∴.故选：A.2．已知角的终边过点，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知终边上的点坐标求的值，再由诱导公式得答案.【详解】角的终边过点，，则，.故选：C.3．不等式的解集为，则（）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】结合二次方程的根与二次不等式的解集端点关系求，进而可求目标式的值.【详解】由题意得，的根为，，∴，故.故选：B.4．设，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值.故选：D5．函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由及的单调性，即可确定的值域.【详解】由，又为减函数，∴由指数函数性质知：.故选：A.6．已知定义在上的函数为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知结合偶函数定义可求，再结合函数的单调性比较函数值大小.【详解】定义在上的函数为偶函数，即，∴，此时在上单调递增，，，，而，∴，即.故选：C.7．定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造新函数，根据题意得出函数在内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解.【详解】不妨设任意的，，因为，则，所以，所以在内单调递减.不等式等价于，又，所以等价于，因为在内单调递减，所以，即不等式的解集为.故选：B.8．已知函数.若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，并根据解析式直接判断奇偶性、单调性，进而利用其单调性及奇偶性求解不等式.【详解】令，∴，即为奇函数，又在R上均为减函数，∴为减函数，由得：，∴，即，解得.故选：D.二、多选题9．下列命题中为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若.则【答案】BCD【分析】利用反例可判断A错误，利用不等式的性质可判断B的正误，利用作差法可判断CD的正误.【详解】对于A，取，则，但，故A错误；对于B，因为，故，故，故，故B正确；对于C，，而，故即，故C正确；对于D，，因为，故，故，故D正确.故选：BCD.10．已知，，则下列结论正确的是（）A．, B．C． D．【答案】AD【分析】由已知得，，确定的范围判断A；求解与值判断B与C；把代入，化简判断D.【详解】由，，得，，则,，故A正确；由，两边平方得：，则.∵,，则，∴，又，当时，联立，解得，，∴，；当时，联立，解得，，∴，.故B、C错误，D正确.故选：AD.11．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）A．野生水葫芦的面积每月增长率为1B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1.5个月C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度【答案】ABC【分析】根据已知条件可得指数函数为，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误.【详解】由题意得，所求函数为指数函数且过点，可得函数，A：设第个月的野生水葫芦面积为，则第个月的野生水葫芦面积为，∴野生水葫芦的面积每月增长率，故正确，B：设野生水葫芦从蔓延到历时超过个月，∴，解得，故正确，C：野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，，，，故正确，D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为，野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为，故错误.故选：ABC.12．设函数的定义域为，对于任一给定的正数，定义函数则称为的“界函数”.若函数，则下列结论：①（2）；②的值域为,；③在,上单调递减；④函数为偶函数.其中正确的结论有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】BCD【分析】由，解得，故，再结合二次函数的性质，即可依次求解.【详解】由，解得，故，对于①，，故①错误，对于②，当时，，当或时，，故的值域为,，故②正确，对于③，当时，，图象开口向上，对称轴为，故在,上单调递减，故③正确，对于④，，故函数为偶函数，故④正确，故正确的结论为②③④.故选：BCD.三、填空题13．亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为___________.【答案】【分析】结合弧度制概念直接求解即可.【详解】由题意知，因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为.故答案为：.14．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.【详解】因函数是幂函数，则，解得或，当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为：，即，解得：，所以实数a的取值范围为.故答案为：15．设：实数满足，：实数满足.当时，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分别求分式不等式及二次不等式可求，所对应的范围，然后结合充分、必要条件与集合的包含关系可求.【详解】由得，解得，，即，因为，由得，即，若是的必要条件，则，所以，所以，即.故答案为：.16．设函数若实数，，满足，使得，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据已知条件，画出函数的图象，再结合二次函数的对称性，即可求解.【详解】由题意得，当时，，其图象是开口向上，以为顶点的抛物线的一部分，当时，，其图象是由对数函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的图的一部分，作出的图象，如图所示：实数，，满足，使得，根据二次函数图象的对称性可得，，当时，解得，结合图象可得，，，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．已知，其中是第三象限角.(1)化简；(2)若，求，.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）由已知得，，，再由同角三角函数基本关系式去绝对值得答案；（2）由，求得，进一步可得的值.(1)是第三象限角，，，，，∴.(2)，，则.18．已知集合，，，集合，.(1)若集合，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用集合交集的定义得到，，代入方程求解即可；（2）利用子集的定义，分，，，，，由根与系数的关系，列式求解即可.(1)因为集合，，，，又集合，所以，，将代入方程，可得，解得或，当时，，，符合题意；当时，，，符合题意.综上所述，或；(2)若，则，当时，方程无解，则，解得；当时，则，无解；当时，则，无解；当，时，则，无解.综上所述，实数的取值范围为.19．已知函数是定义在区间上的奇函数，且.(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；(2)设，求证：是偶函数，是奇函数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知结合奇函数性质可先求出，，然后设，结合比较法比较与的大小即可判断；（2）结合奇偶性的定义即可分别判断两函数奇偶性.(1)因为是定义在区间上的奇函数，且，所以，（1），所以，，检验，当，时，，，满足题意，设，则，，，，所以，所以，所以在上单调递增；(2)证明：由题意得的定义域，令，则，且的定义域，所以为偶函数，令，则的定义域，且，所以为奇函数.20．已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.(1)求，的值；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）依题意，在,单调递减，及，联立可求得，的值；（2）方法一：分离参数，则,，恒成立，求当,时，可得实数的取值范围；方法二：问题转化为,，恒成立，利用二次函数的性质可求得，求的取值范围.(1)令，又，的开口向上，对称轴方程为，在,单调递减，，又，.(2)方法一：,，恒成立，∴,，恒成立，只需，,，因此，满足条件的实数的取值范围是.方法二：,，恒成立,∴在,上恒成立，只需使在,上恒成立，的开口向上，对称轴方程为，在,上单调递减，当时，取得最小值，即，解得，因此，满足条件的实数的取值范围是.21．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下．根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长．(1)在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为北边长的函数，并写出的取值范围；(2)若平均每个人隔离所需病区面积为，那么北边长如何设计才能使得病区同时隔离的人数最多，并求出同时隔离的最多人数．（，结果精确到整数）【答案】(1)，(2)；最多为108人【分析】(1)根据题意表示出矩形的长和宽，进而表示出面积即可；（2）利用基本不等式即可求出其最值.(1)由题可知，(2)当且仅当时等号成立，且，故最多为108人22．已知函数.(1)是否存在，使得函数取最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)已知，若存在两个不同的正数，，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）令，根据二次函数的性质计算可得结论；（2）令，则，即可判断函数的单调性，函数的定义域为，时，的值域为，，可转化为函数与有两