2021-2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中数学试题一、单选题1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、空集的特征进行判断即可.【详解】对于①，表示实数集，是实数，所以，故①正确；对于②，表示自然数集，，故②错误；对于③，表示有理数集，是无理数，所以，故③错误；对于④，表示自然数集，，故④错误；对于⑤，空集是任何集合的子集，所以正确，故⑤正确.综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2.故选：B2．已知集合，则集合的真子集个数为（

）．A．4 B．8 C．15 D．16【答案】C【分析】首先解一元一次不等式，用列举法表示出集合，即可求出集合的真子集个数；【详解】解：因为，解得，所以，即集合中含有4个元素，其真子集有个；故选：C3．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：B.4．设，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，取特殊值，令时，分别代入比较即可判断ACD选项，根据不等式关系的性质，即可判断B选项.【详解】由题可知，，对于A，令时，则，则，故A选项错误；对于B，由于，不等式两边同乘以，可得，故B选项正确；对于C，令时，，故C选项错误；对于D，令时，则，则，故D选项错误.故选：B5．必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，故选：B.6．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解分式不等式求得正确答案.【详解】，，所以不等式的解集为.故选：B7．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故选：B8．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先根据题意画出函数的简图，再分，两种情况讨论，结合图像解不等式即可【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，可画出函数简图如下图所示：当时，，解得；当时，，解得；综上不等式的解集为:或故选：D二、多选题9．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.【详解】对于A项，函数是奇函数，但是在或上单调递减，在定义域上不具有单调性，故A项错误；对于B项，函数可化为其图象如图：故既是奇函数又是减函数，故B项正确；对于C项，函数既是奇函数又是减函数，正确；对于D项，是偶函数，故D项错误.故选：BC.10．下列各项中，与表示同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【详解】A，，与对应关系相同，且两个函数的定义域也相同，故与表示同一个函数；；故A正确；B，中，定义域，与定义域不同，故与不能表示同一个函数，故B错误C，中，定义域，与定义域不同，故与不能表示同一个函数，故C不正确；D，，当时，，当时，，故，故与表示同一个函数，故D正确；故选：AD11．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（

）A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数【答案】CD【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项．【详解】对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．对于B选项，，，图像是：直线并且除掉点，故B选项错误．对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确．对于D选项，，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．故选：CD12．已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（

）A．-2 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】由求出的范围即可得解.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，故选：CD三、填空题13．函数定义域为___________.【答案】且【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.故答案为：且.14．已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.【答案】【分析】由已知函数解析式可求，然后结合奇函数定义可求.【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，所以，所以故答案为：15．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．【答案】[－1，3]【分析】利用配方法，结合二次函数的图象和性质求得最小值，计算并比较端点值得到最大值，从而得到值域.【详解】∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g（1）＝－1，又g(0)＝0，g（3）＝9－6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1，3]．故答案为：[－1，3]．16．已知，则的最小值为___________.【答案】【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题17．（1）已知，，求实数的值；（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）分析可得或，结合集合中元素的互异性可求得实数的值；（2）根据已知条件得出，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）因为，故，因为，则或.①当时，即当时，此时，集合中的元素不满足互异性；②当时，即，解得或（舍），此时，，集合中的元素满足互异性.综上所述，；（2）因为集合中有两个元素，则，解得且，因此，实数的取值范围是或.18．集合，．（1）求，；（2）若集合，，求的取值范围．【答案】（1）或，或；（2）.【分析】（1）先求出集合A、B，再根据集合的交并补运算即可求解；（2）分和两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.【详解】解：（1）因为，或，或，所以或，或；（2）当时，显然，此时，即；当时，由题意有或，解得，综上，.19．（1）设；求函数的最大值；（2）当时，求函数的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将变形为，利用均值不等式即可求出结果；（2）将变形为，利用均值不等式即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为；（2）因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为.20．已知函数.（1）画出的图象；（2）求函数的单调递减区间；（3）若，求实数的值.【答案】（1）图象见解析；（2）的单调递减区间为和；（3）或.【分析】（1）结合函数解析式作出函数图象即可；（2）根据函数图象可直接判断单调递减区间；（3）由题意可得或，求解即可.【详解】（1）根据函数的解析式作出函数图形，如图：（2）由图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；故的单调递减区间为和；（3）由题意知或，解得或.21．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】(1)10米(2)平方米【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以，又，所以，解得，所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米22．已知函数是定义在[，1]上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）判断在[，1]上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）在上递增