2017届辽宁省盘锦市辽河油田第二高级高三上学期期末考试数学（理）试题

2017届辽宁省盘锦市辽河油田第二高级高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，B＝{（1，1），（1，－1），（2，2）}，则A∩B＝A．{（1，1）}B．{（－1，1）}C．{（1，－1）}D．{1，－1}2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么b＝A．1B．2C．4D．－43．已知a＝（1，2），b＝（－4，t），若a∥b，则实数t＝A．－2B．2C．－8D．84．直线y＝2x－1被圆x2＋y2＝1截得的弦长等于A．B．C．D．25．命题p：∀x∈表示不大于x的最大整数），输出r值为A．1B．2C．3D．411．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，a5＝9，则取得最小值时，n等于A．6B．5C．4D．312．已知函数f（x）＝sinx＋cosx，g（x）＝x，直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于N、M两点，记，函数h（t）的极大值为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：13．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则其离心率为________14．二项式展开式中含x2项的系数为________．15．已知函数．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c且满足，则f（A）的取值范围是________．16．P为正方体ABCD—A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP＝λBD1（λ∈①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则；若ΔPAC为钝角三角形，则；④若，则ΔPAC为锐角三角形．其中正确的结论为________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．Sn是数列{an}的前n项和，数列{an}满足an＋1－2an＝0，且S5＝62．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝11－2log2an，求b1＋b2＋…＋bn．18．小张、小丽、小方三位同学一起参加同一家公司的招聘考试，合格者现场签约，小张表示合格就签约，小丽和小方两同学约定两人都合格则一同签约，否则都不签约，已知小张考试合格的概率为，小丽和小方考试合格的概率都是，三位同学考试是否合格互不影响．（Ⅰ）求至少有1人考试合格的概率；（Ⅱ）求签约人数X的分布列和数学期望．19．如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝BD＝3．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A—PC—B的正弦值．20．已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率e的值；（Ⅱ）已知过点H（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数fn（x）＝2x－nlnx（n∈N*）．（Ⅰ）判断fn（x）的单调性；（Ⅱ）当n＝4时，求f4（x）在点（1，f4（1））处的切线方程；（Ⅲ）是否存在函数，fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解；若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（e＝2.78，ln8＝2.079，ln9＝2.197，ln10＝2.302）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．选修4——4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线C的方程是x2＋y2－2y＝0，以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立了极坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程（Ⅱ）设直线l与x轴的焦点是M，N是曲线C上一动点，求得取值范围．23．选修4——5：不等式选讲已知（Ⅰ）求不等式f（x）＞5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2－2a恒成立，求实数a的取值范围．

理科数学·参考答案、提示及评分细则1．C2．A3．C4．A5．A6．B7．B8．A9．D10．D11．A12．C13．14．13515．16．①②④17．解：（Ⅰ）∵an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an，∴数列{an}是以2为公比的等比数列．，a1＝2．∴数列{an}的通项公式an＝2n．（Ⅱ）∵an＝2n，∴bn＝11－2n，∴b1＝9，bn＋1－bn＝－2∴{bn）是公差为－2的等差数列．∴18．解：（Ⅰ）记事件“至少有1人考试合格”为事件A，则事件A的对立事件为“无1人考试合格”．因，故．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，，∴分布列为X0123P故．19．解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BDC平面ABCD，所以BD⊥PA．因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．∵．∴BD⊥PC．（Ⅱ）方法一：设AC∩BD＝O．过点B作BE⊥PC于点E，连接OE．由（Ⅰ）得BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，ΔOBE是Rt△．又BE⊥PC，OE是BE在平面PAC内的射影，∴OE⊥PC则．∠OEB就是二面角A—PC—B的平面角．易知，，所以．由，得，则．∴在Rt△BOE中，，即二面角A—PC—－B的正弦值为．方法二：（向量法）设AC∩BD＝O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，易知，，，则点，，．∴，设n＝（x，y，1）是平面PBC的一个法向量，则由，，得解得，所以．易知是平面APC的一个法向量．设二面角A—PC—B为θ，观察图形，可知θ为锐角．∴，∴∴二面角A—PC—B正弦值是．20．解：（Ⅰ）∵x2＝2py，∴，∴代入得∴代点A到得t＝4．∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率．（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为所以所以切线l1，l2的斜率分别为，．当l1⊥l2时，，即x1x2＝－2．由得，所以，解得．又恒成立，所以存在直线l的方程是，即．21．解：（Ⅰ），f′n（x）＝0时，当时，f′n（x）＜0，fn（x）为减函数，当时，f′n（x）＞0，fn（x）为增减函数，故fn（x）的单调减区间为，单调增减区间为（Ⅱ）∵f4（x）＝2x－4lnx，∴，∴k＝－2，切点（1，2）∴切线：y＝－2x＋4．（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，函数fn（x）－2x－nlnx（n∈N*）取极小值，即为最小值，．当n＜6时，，此时，无解，当n≥6时，，此时，有解若fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解，需有fk（k）fk＋1（k＋1）＜0．又fk（x）在上为单调函数，∴fk（k）＜0，fk＋1（k＋1）＞0，∴由fk（k）＜0，即k（2－lnk）＜0，可得k≥e2，即k≥8，由fk＋1（k＋1）＞0，即2（k＋1）－kln（k＋1）＞0，令g（k）－2（k＋1）－kln（k＋1）＞0（k≥8），，当k≥8时，ln（k＋1）≥2，∴g′（k）＜0，即g（k）在（8，＋∞）为单调减函数．又g（8）＝18－8ln9＞0，g（9）＝20－9ln10＜0，故k＝8时，f8（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解22．解：（Ⅰ）∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝si