江苏省苏州市张家港市外国语学校2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023注意事项考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．作答选择题，必须用2B答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．52B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3

fxsinx

3 3

x0, 时，

x

的值域为

,1，则的范围为（ ）5,3 5,5 1,4 0,562 63

3A．

B．

C．23 D．

1 , 1 , 1在中，内角B,C所对的边分别为a,b,c，若tanA tanB tanC依次成等差数列，则（ ）A．a,b,c依次成等差数列B．a, b, c依次成等差数列Ca2b2c2依次成等差数列Da3b3c3依次成等差数列抛掷一枚质地均匀的硬币每次正反面出现的概率相同连续抛掷5次至少连续出现3次正面朝上的概率（ ）1 1 5 3A．4 B．3 C．32 D．16如图在直角梯形ABCD中ADA⊥DAD2AE为AD的中点若CACEDB(,R)，则λ＋μ的值为（ ）6 8 8A．5 B．5 C．2

D．3洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ．1 2 3 1A．5 B．5 C．10 D．4已知直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣122338诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种B．36种C．24种D．18种

S S 3 S 10 S 设等差数列

n的前

项和为

n，若2 ，4

，则6 （ ）A．21

B．22

C11 D12

A(x,y)|y 1x2

B(x,y)|y2x，

A B中元素的个数( )A．3 B．2 C．1 D．04ABCDM为CDNABCDANNM，则AMAN（ ）A．16 B．14 C．12 D．82 AN NC APtAB 2 如图，在中，

PBN上一点，若

3 ，则实数t的值为（ ）2 2 1 3A．3 B．5 C．6 D．4若复数z满足z(12i)10,则复数z在复平面内对应的点( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份．已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，AB2，BC 5，AC3，E，FACPB

EF

32，则球O的体积. S

a1

SS2 q各项均为正数的等比数列

n中，n为其前

项和，若3

，且5 2 ，则公比

的值.16．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为的球O的表面上，且ABCDa，ACADBCBD 5，则a ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在等腰RtABC中，C9，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线

上，且

BG

。将ADE

A到1的位置（如图2所示

AFCD1 。1BE//AFG；111AFGABE所成锐二面角的余弦值1118（12分△ABC的内角,B,C的对边分别为a,b,c,且siCsiBsinAB．A的大小S3 若a 7,△ABC的面积 2

,求△ABC的周长．19（12分）如图，EFGH是矩形，ABC的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点（EF的长度满足需求设ABCACB，且满足sinsinsin(coscos.（1）求；

5 3（2）若FC5，CG3，求AC BC的最大.P F FP F 20（12分）设点 ，动圆经过点且和直线 相.记动圆的圆心的轨迹为曲线 .求曲线W的方程；A B M l W l x A B 过点 的直线与曲线 交于、两点，且直线与轴交于点，设 ， ，求证：为定值.b2c2a2

cos(BC)21（12分）在ABC 中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，其中ac，求角C的值；若c45，a27 2，D为AC边上的任意一点，求AD2BD的最小.

bc sinCcosC .PB 13，22（10分如图四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形BAAB＝CA， 2，

PAPC 3（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】 x x0,首先由

，可得

3的范围，结合函数f

x的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.【详解】

33

x0,

x ,

2因为 ，所以

3 3 3，若值域为 ，

55所以只需2故选：B【点睛】

3 3 ，∴6 3..2、C【解析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2acosBb2，再由余弦定理可得a2c22b2.【详解】

2cosB

sin2BsinAsinC，由正弦定理可得11tan11tanA tanB,tanC 依 次 成 等 差 数 列 ，1 1 2 cosAsinCsinAcosC sinA+C sinB 2cosB , = =tanA tanC tanB sinAsinC sinAsinC sinAsinC sinB ，2cosB

sin2BsinAsinC 正弦定理得2acosBb2，由余弦定理得a2c2b2【点睛】

b2

，a2c2

2b2，即a2,b2,c2依次成等差数列，故选C.本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3、A【解析】首先求出样本空间样本点为25

32个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为25具体分析如下：

32个，记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3有以下3种位置1 ， 1 ， 1．201，这三种排列的所有可能分别都是224但合并计算时会有重复，重复数量为224，事件的样本点数为：444228个．81故不同的样本点数为8个，32 4.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题4、B【解析】CA,CE,DB CACEDB(,R)建立平面直角坐标系，用坐标表示 ，利用 ，列出方程组求解即.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，CA(2,2),CE(2,1),DBCACEDB∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，6 5522 2 85

2 解得

则 5.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.5、A【解析】基本事件总数n4520，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数n4520，11包含的基本事件有：(9,2)(3,8)(7,4)(5,6)4个，4 1其和等于11的概率故选：A．

p 20 5．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6、D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得【详解】

AB4

AB44 k2， k2.4 Ax,y,Bx,y设 1 1 2 2 ，ykx） 联立y2

4x

k2x22k24xk20xx则1 2

2k2424k2 k2，ykx1因为直线 经过C的焦点，4ABxx所以 1 2

p4

k2.同理可得

MN8

2k2，所以416【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。7、B【解析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】2种方法，3121护士，1,2则有2,1则有2×(9+9)=2×18=36故选：B.【点睛】

，其余的分到乙村，，其余的分到乙村，8A【解析】S,SS,SS S由题意知2 4 2 6 4成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6的值.【详解】

S,

S,SS解：由

n为等差数列，可知2 4

2 6 4也成等差数列，2SSSSS所以 4 2 2 6 4故选:A.【点睛】

233S10 S 21，即 6 ，解得6 ..公差.9、C【解析】集合A表示半圆上的点，集合B表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A表示半圆上的点，集合B表示直线上的点联立y 1x2与y2x，x21可得1

2x，整理得 5，x即x当

55 ，55 y2x0，不满足题意； 5 2 55, 5 故方程组有唯一的解 . 5 2 5AB故

, 5 .【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.10、B【解析】 取AM 中点O，可确定AMON0；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得 AMANAMAOON可求得结果.【详解】取AM中点O，连接ON，

2，利用ANNM，ONAMAMON0.DAB60，ADM120，AM

DMDA2DM2DA22DMDAcosADM416828 AMANAMAOON AMAOAMON则B.【点睛】

1AM2142 ..11、C【解析】AP

2mAC由题意，可根据向量运算法则得到

5 （1﹣m）AB，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.APAPABBPABmBNABmANABmAN1mABANAN2ACAP2mACAB，AN2AN2NC

，所以

5 ，∴ 5

（1﹣m）AB1AC

m2m1

5 1APt故选C．【点睛】

3 ，所以5

3，解得m 6，t 6，12A【解析】化简复数，求得z24i，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z

z(12i)

，可得

z 10 12i

102i12i12i24i，z在复平面内对应点的坐标为(2,4)故选：A.【点睛】.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②③【解析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．【详解】8060 7050对于①，2至月份的收入的变化率为32 20，11至12月份的变化率为2111 20，故相同，正确．260510万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1确．789月每个月的收入分别为405060万元，正确．

4050603 5031030280﹣60＝20故答案为①②③．【点睛】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．14、4 【解析】可证E为PAPBPCPEABCPBPE.【详解】解：AB2，BC 5，AC3AB2BC2AC2ABCEACE为的外心，1 3BE2AC2PAPBPCP在内的投影为E，PEABC，BE平面ABCPEBE，所以PB2EF3，3PE PB2BE2所以 2

3，3 3 2

32 4 2 r

2

r

V r34 又球心O在PE上，设POr，则故答案为：4 【点睛】

，所以r 3，所以球O体积， 3 .本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．55115、 2【解析】

aaa2

将已知由前n项和定义整理为3 4 5解.【详解】

，再由等比数列性质求得公比，最后由数列

n各项均为正数，舍根得

S2aa2 1

aaa3 4

aa1

2aaa23 4 5aa即3 3

qa3

q22q2q10q11 5

q 251又等比数列n51551故答案为： 2【点睛】2本题考查在等比数列中由前n16、22【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为x,y,z，由题意可得：x2y2a2y2z25

x2y2z2

10a2 x2z2

，据此可得： 2 ，10a2则球的表面积：

S4R2

2 ，2结合a0解得：a2 .2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析1010（2）5【解析】要证明线面平行，需证明线线平行，取BCMDM//BEDM//FG，即BE//FG；1FFCxF作平行于CBy1

所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Fxyz，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取BC的中点M，连接DM.BGG为CMF为CDFG//DM.DE//BMDMBE为平行四边形，BE//DMBE//FG.又FG平面AFG，BE平面AFG，1 11BE//AFG.1DCDDEAD,DEDC ADCD（2） 1 ，且1 ，1DE平面ADC，AF平面ADC，1DEAF1AFDC1

，，且DEDCD，1AF平面BCDE，11FFCxF作平行于CBy1

所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 Fxyz，不妨设CD F A则 ，

0,0, 3，

B，

E，

G，FA

3FG AE 3EB2,2,01 ， ，1 ， .AFG

nx,y,znFA0nFA0nFG01 3z0 111则 ，即xy0，11x1令1 ，

n1,1,0.ABE mx,y,z设平面1

的法向量为

2 2 2 ，mAE0 x 2y 3z 0 1 22 2 2 则mEB

，即

x2y 02 2 ，x 1令2 ，

m1,1, 3.cosm,n从而

11 102 5 5 ，1011故平面AFG与平面ABE所成锐二面角的余弦值为5 .11【点睛】.A18（I）【解析】

3

5 7．

cosA1试题分析（）由已知可得sinCsin(AB)sinBsin(AB)2cossinBsinB 21 3 3{SABCA

bc·sinA2 2

bc6{ 3（I）

a2b2c22bccosA

b2c2

(bc)2

b2c22bc25bc5abc5 7的周长为5 7试题解析（）∵ABC，∴C(AB)．∴sinCsin(AB)sinBsin(AB)，∴sinBcosBsinBsinBcosAsinB，∴2cosBsinB，cosA1∴ 2，A∴ 3．

S{ABC

1bc·sinA3 32 23 3bc6{

a2b2c22bccosA∴b2c213，∴(bc)2b2c22bc25，∴bc5，7∴abc5 ，77∴的周长为5 ．7考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．2219（1） 2（2）【解析】sinsinsin(coscos) 利用正弦定理和余弦定理化简 ，根据勾股定理逆定理求得.5 , 3 5 3设CAF，由此求得AC BC的表达式，利用三角函数最值的求法，求得AC BC的最大.【详解】BCaACbABc，由sinsinsin(coscos，abcb2c2a2a2c2b2 2bc 2ac 根据正弦定理和余弦定理得

.化简整理得a2b2c2.由勾股定理逆定理得 2.设CAF

02，由（1）的结论知BCG.5 sin在RtACF中，ACsinFC，由FC5，所以AC .3 cos在RtBCG中，BCcosCG，由CG3，所以BC .5 3

sincos

sin所以AC BC

24 ，24由4

4 4

2 5 32所以当 4【点睛】

2，即

4时，AC BC取得最大值，且最大值为 ..20（1）y2【解析】

4x（2）见解析．PFx为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；2ykx22

k

C(k,0) A(x,

),B(x,y)MAMAACBC

， ，则 ，设 1 1

2 2 ，由直线方程与抛物线方程联立消元应xx xx

,

xx用韦达定理得1 2，1

2

坐标表示出

，然后计算

并代入1 2，xx2可得结论．【详解】P(xyPFx为准线的抛物线，设其方程为p1y22px(p0)，则2 ，解得p2．∴曲线W的方程为y2

4x；ykx2

k

C(k,0) A(x,

2),B(x,y)2证明：设直线方程为

， ，则 ，设 1 1

2 2 ，ykx2y24x k2x2(4k4)x40由xx

得4k4 4 xx

，①，MAMAACMBBC，得由

k2 ，12

k2，②，(x,y2)(x2,y

) (x,

2)(x 2,y)1 1 1 k

1，2 2

2 k 2 ，kx

kx 2整理得

kx2，1，

kx22 ， kx kx

2k2xx2k(xx) 1 2

12 1 2∴

2 kx

2 k2xx2k(x

x4，代入②得：1 2 12 1 22k242k(4k4) k2 k2 1k242k(4k4)4k2 k2 ．【点睛】本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方A(x,yB(x2,y2ykxm，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次1 1121xx121

xx2，代入题中其他条件所求式子中化简变形．321（）4（）927 .3【解析】利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；在中，由余弦定理得bAC63，在

BD

27sin，从而得出CD，即可得出yAD2BD的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出AD2BD的最小值.b2b2c2a2bc（1）2cosA

cos

cos(BC)sinCcosC sinCcosC，由题知，ac，则AC，则cosA02sinCcosC1，sin1，C4；（2）在中，由余弦定理得bAC63，

a2b22abcosC，BDC,A3

sinA3设BD在BCD中，sin在BCD中，