2016届湖南省长沙市长郡高考模拟卷（一）数学（理）试题

2016届湖南省长沙市长郡高考模拟卷（一）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．-4B．-1C．1D．42.以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.A．①④B．②③C．①③D．②④3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64B．80C．96D．1285.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（）A．B．C．D．6.长郡早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．B．6C．12D．8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A．B．C．D．9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A．B．2C．4D．811.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）A．B．3C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为.14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为.15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是.16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.18.（本小题满分12分）《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表.表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）19.（本小题满分12分）如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，弦交于，，，.（1）求圆的半径；（2）求线段的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于的不等式.（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？参考答案选择题DDACDACCCCDB可求，，即，代入双曲线可求，则.法二：由定义，，在中，，化简求得，则.法三：由双曲线定义得，，设切点为，在中，，过作垂直直线于点，则，，∴，∴，即，则.10．【解析】由，知，设与的夹角为，则，所以，又由题意平面区域的面积，解得，∴，∴.选C.11．【解析】由已知：，则：，，，，…，，，则：，则：，∴，选D.12．【解析】因为是方程的根，且是重根，则，即得，由，则，又由，则，，则，令，则，当时，，所以在上是减函数，而，当时，，所以在上是减函数，选择B.填空题13.14.15.16.【解析】由，得，，所以.三、解答题17.令，所以的单调递增区间为.（2）由，，又，，因此，解得：.由正弦定理：，得，又由，可得，故.18．【解析】：（1），，，，所以，，所以关于的回归方程是.（2）由表3知不高于200的频率为0.1，指数在200至400的频率为0.2，指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则，，，（ⅰ）设洗车店每天收入为元，则的分布列为则的数学期望为（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：.19．【解析】（1）∵平面，又∵平面，平面平面，∴，同理，∵，∴，∴，同理，∴，同理，又∵是平面内的两相交直线，∴平面.（2）由（1）及异面直线互相垂直知，直线两两垂直，作，建立空间直角坐标系，如图所示，则，∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角的大小为，那么，∴，∴二面角的正弦值为.20．【解析】（1）因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为.由抛物线和圆的对称性，可设圆，∵，∴是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有.由题可知在处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，所以抛物线在点处切线的斜率为.由，知，所以，代入，解得.所以圆的方程为.（2）设直线的方程为，且，圆心到直线的距离为，∴，由，得，设，则，由抛物线定义知，，所以，设，因为，所以，所以，所以当时，即时，有最小值.21.要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以.要证时，，只需证明，记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以，.综上，，.（2）（解法一）.设，则，记，则，当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，.记，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.（解法二）先证当时，.记，则，记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范