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文档简介
试题类型:A2016届高三年级第试题类型:A数学(理)试题命题:忻州临汾长治康杰【满分150分,考试时间为120分钟】第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集为R,集合则或B.或C.D.2.已知为实数,若复数为纯虚数,则的值为A. B.C.D.3.下列函数中,既是奇函数,又在上为增函数的是A. B.C. D.4.下列命题的说法错误的是A.对于命题,则B.是的充分不必要条件C.若命题为假命题,则p,q都是假命题D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”5.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析,得到如下数据:记忆能力识图能力由表中数据,求得线性回归方程为,,若某儿童的记忆能力为时,则他的识图能力约为A.9.2B.9.5C6.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有A.16种B.18种C.22种D.37种7.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21开始结束输出是否8.开始结束输出是否A.96 B.108 C.180 D.1989.如上图所示程序框图中,输出S= A.45 B.﹣55 C.﹣66 D.6610.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.若在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为 A. B. C. D.11.已知抛物线的焦点F到双曲线C:渐近线的距离为,点P是抛物线上的一动点,P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为 A. B. C.D.12.已知函数,若对,均有,则的最小值为A. B. C.-2 D.0第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.设满足约束条件,则的最大值为__________14.已知是边长为1的正三角形的中心,则__________15.已知函数的图象如图所示,它与轴在原点相切,且轴与函数图象所围成的区域(如图阴影部分)的面积为,则的值为_________16.在中,分别为角所对的边,且,若,则__
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且求数列的通项公式;若,且数列{}的前项和为,求证:.组别PM2.5(微克/立方米)频数(天)频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]120.3第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第五组(60,75]40.1第六组(75,90)40.118.(本小题满分12分)根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,对于去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列及数学期望和方差.19.(本小题满分12分)DBPAC在四棱锥中,底面是直角梯形,,,平面⊥平面DBPAC(1)求证:⊥平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.SHAPE20.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)如图,若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧),且.求证直线恒过定点,并求出斜率的取值范围.21.(本小题满分12分)设函数
(1)求的单调区间;
(2)若为整数,且当时,恒成立,其中为的导函数,求的最大值.选做题:请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,的两条中线和相交于点,且四点共圆.(1)求证:;(2)若,求.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求C的普通方程和直线的倾斜角;(2)设点(0,2),和交于两点,求.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知(1)若,求不等式的解集;(2)对有恒成立,求实数的取值范围.2016届高三年级第四次四校联考数学(理)答案一.A卷:ADDCBACCBCDA二.3-117.(1)当时有……………1分所以,当时有,………3分又符合上式,所以…………………4分(2)………………8分所以………………11分所以……………12分18.(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.………4分(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为(微克/立方米).因为,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.…………7分(3)记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以,所以变量的分布列为01210分(天),或(天)……11分12分19.解:(1)证明:因为,所以AB⊥BC因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB平面ABCD,所以AB⊥平面PBC.…………4分(2)如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以PO⊥BC.因为PB=PC,所以PO⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得,.6分所以,设平面PAD的法向量为.因为,所以令,则.所以.8分取平面BCP的一个法向量,9分所以11分所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为…………12分20.(1)由题意知e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(2),2),∴e2=eq\f(c2,a2)=eq\f(a2-b2,a2)=eq\f(1,2),即a2=2b2.又∵b=eq\f(\r(2),\r(1+1))=1,∴a2=2,b2=1,∴椭圆方程为eq\f(x2,2)+y2=1.4分(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx+m,,x2+2y2=2))得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,得m2则有x1+x2=eq\f(-4km,2k2+1),x1x2=eq\f(2m2-2,2k2+1).7分∵∠NF2F1=∠MF2且∠MF2A≠90°,kMF2+kNF2又F2(1,0),则eq\f(y1,x1-1)+eq\f(y2,x2-1)=0,即eq\f(kx1+m,x1-1)+eq\f(kx2+m,x2-1)=0,化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m将x1+x2=eq\f(-4km,2k2+1),x1x2=eq\f(2m2-2,2k2+1)代入上式得m=-2k,9分∴直线l的方程为y=kx-2k,即直线过定点(2,0).10分将m=-2k代入m2<2k2+1,得4k2<2k2+1,即k2<eq\f(1,2),又∵k≠0,∴直线l的斜率k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2),2))).12分21.(1)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a,1分
若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增2分
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;
所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增。5分
(2)由于a=1,7分令,,令,在单调递增,9分且在上存在唯一零点,设此零点为,则当时,,当时,,11分由,又所以的最大值为212分(22)选修:几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分10分.解法一:(Ⅰ)连结,因为四点共圆,则. 2分又因为为△的两条中线,所以分别是的中点,故∥. 3分所以, 4分从而. 5分(Ⅱ)因为为与的交点,故为△的重心,延长交于,则为的中点,且. 6分在△与△中,因为,,所以△∽△, 7分所以,即. 9分因为,,,所以,即,又,所以. 10分解法二:(Ⅰ)同解法一. 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,因为四点共圆,所以, 6分所以∽,所以, 7分由割线定理,, 9分又因为是的中线,所以是的重心,所以,又,所以,所以,所以,因为,所以. 10分23.解法一:(Ⅰ)由消去参数,得,2分由,得,(*)3分将代入(*),化简得,4分所以直线的倾斜角为.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),
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