2016届山西省忻州临汾长治康杰高三下学期第四次联考数学（理）试题（A卷）

试题类型：A2016届高三年级第试题类型：A数学（理）试题命题：忻州临汾长治康杰【满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集为R，集合则或B.或C.D.2.已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为A. B．C．D．3.下列函数中，既是奇函数,又在上为增函数的是A． B．C． D.4.下列命题的说法错误的是A．对于命题,则B．是的充分不必要条件C．若命题为假命题，则p，q都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”5.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，,若某儿童的记忆能力为时，则他的识图能力约为A.9.2B.9.5C6.从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有A.16种B.18种C.22种D.37种7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21开始结束输出是否8.开始结束输出是否A.96 B.108 C.180 D.1989.如上图所示程序框图中，输出S= A．45 B.﹣55 C.﹣66 D.6610.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 A． B． C． D．11.已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点P是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 A. B. C.D.12.已知函数,若对,均有,则的最小值为A. B． C.-2 D.0第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.设满足约束条件，则的最大值为__________14.已知是边长为1的正三角形的中心,则__________15.已知函数的图象如图所示，它与轴在原点相切，且轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为,则的值为_________16．在中,分别为角所对的边,且,若,则__

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且求数列的通项公式；若，且数列{}的前项和为，求证：.组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]120.3第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第五组(60,75]40.1第六组(75,90)40.118.（本小题满分12分）根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.19.（本小题满分12分）DBPAC在四棱锥中，底面是直角梯形，，,平面⊥平面DBPAC（1）求证：⊥平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.SHAPE20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)如图，若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧)，且.求证直线恒过定点，并求出斜率的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数

（1）求的单调区间；

（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.选做题:请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的两条中线和相交于点，且四点共圆.(1)求证：；(2)若，求.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线的极坐标方程为.(1)求C的普通方程和直线的倾斜角；(2)设点(0，2)，和交于两点，求.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知（1）若，求不等式的解集；（2）对有恒成立，求实数的取值范围.2016届高三年级第四次四校联考数学（理）答案一．A卷：ADDCBACCBCDA二．3-117.(1)当时有……………1分所以,当时有,………3分又符合上式,所以…………………4分(2)………………8分所以………………11分所以……………12分18．（1）众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米．………4分（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）．因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………7分（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以，所以变量的分布列为01210分（天）,或（天）……11分12分19.解：（1）证明：因为，所以AB⊥BC因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PBC.…………4分（2）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC.因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，.6分所以，设平面PAD的法向量为.因为，所以令，则.所以.8分取平面BCP的一个法向量，9分所以11分所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为…………12分20.(1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2.又∵b＝eq\f(\r(2),\r(1＋1))＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.4分(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋2y2＝2))得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.由Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＞0，得m2则有x1＋x2＝eq\f(－4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－2,2k2＋1).7分∵∠NF2F1＝∠MF2且∠MF2A≠90°，kMF2＋kNF2又F2(1,0)，则eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)＝0，即eq\f(kx1＋m,x1－1)＋eq\f(kx2＋m,x2－1)＝0，化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m将x1＋x2＝eq\f(－4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－2,2k2＋1)代入上式得m＝－2k，9分∴直线l的方程为y＝kx－2k，即直线过定点(2,0)．10分将m＝－2k代入m2＜2k2＋1，得4k2＜2k2＋1，即k2＜eq\f(1,2)，又∵k≠0，∴直线l的斜率k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).12分21.（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，1分

若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增2分

若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增。5分

（2）由于a=1，7分令，，令，在单调递增，9分且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，，当时，，11分由，又所以的最大值为212分（22）选修：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则． 2分又因为为△的两条中线，所以分别是的中点，故∥． 3分所以， 4分从而． 5分（Ⅱ）因为为与的交点，故为△的重心，延长交于，则为的中点，且． 6分在△与△中，因为，，所以△∽△， 7分所以，即． 9分因为，，，所以，即，又，所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，因为四点共圆，所以， 6分所以∽，所以， 7分由割线定理，， 9分又因为是的中线，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因为，所以． 10分23.解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，2分由，得，（＊）3分将代入（＊），化简得，4分所以直线的倾斜角为．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），