例谈高三复习课单元作业设计 论文

例谈高三复习课单元作业设计——以“导数的复习课”为例摘要:本文主要以“导数的复习课”这个单元为例，通过八个例题谈高三复习课单元作业设计的六个体会：作业设计必须要重视低起点，强化通性通法；要有梯度，多变式；重视数学思想方法；重视综合性；重视应用性和创新性. 关键词：高三复习课，单元作业设计，导数

引言

教育部在2021年工作要点中着重提出加强作业管理，并在同年4月发布了《关于加强义务教育学校作业的管理的通知》中明确提出提高作业设计的质量，要系统化选编、改编、创编符合学生规律、体现素质教育导向的基础性作业.高三数学复习时间紧，任务重，必须讲究有效复习，使学生在单位的时间内收益更多，多数教师复习时要么拿着一本厚厚的复习资料从头讲到尾，要么看见自己认为的“好题”就拿来讲，这样随意性大，很浪费时间，学生的复习效率也很难达到最佳.如何很好地提高学生的复习的效率呢？笔者认为要根据学生的实际学情，自主设计作业，精选符合课程标准和学生基础的作业内容.如何进行单元作业设计就很值得探究，笔者以“导数的复习课”这个单元为例，通过具体的实例谈谈对单元作业设计的一点体会.一、作业设计必须要重视低起点，强化通性通法 低起点就是从最简单的基础知识出发，设计最简单的题目，让学生熟练掌握解决问题的基础知识和基本方法.例1（1）（2021年全国）曲线y=2x-1在点(-1,3)处的切线方程为x+2_______．（2）（2012年辽宁）函数y=1x2-lnx的单调递减区间是()2A．(1,1]B．(0,1]C．[1,+¥)D．(0,+¥)（3）（2016年四川）已知a为函数fx()=x3-12x，则a等于()A．-4B．-2C．4D．21（4）（2022年全国）函数fx()=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2]的最小值、最大值分别为（）A．-pp,22+2B．-3,pp2 2+2C．-pp,22D．-3,pp2 2这道例题主要目的使学生熟悉利用导数求曲线的切线方程，研究函数的单调性、极值和最值的相关概念、知识和基本方法，突出解决问题的通性通法.题目设计较简单，计算量较小，面向全体学生，不同思维层次的学生，都能得到不同解题体会，特别基础不太好的学生也能够学得一些东西，能够提高全体学生学习的积极性.二、作业设计必须要有梯度，多变式题目设计的梯度必须切实符合学生的实际水平，在学生的最近发展区内，不可太高，这样会让学生丧失信心题目，也不能太低，达不到练习的目的，要有坡度，螺旋式上升，要让学生“跳一跳就能摘到”，一般采取变式题逐步扩展.例2（1）(2019年全国)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,e)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1 B. a=e,b=1C. a=e,-1b=1 D.a=e,-1b=-1（2）（2022年新高考）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是.（3）（2016年全国）若函数fx()=-1sin2x+asinx在(-¥+¥)上单调3递增,则a的取值范围是()A.[1,1]B. 1

[1,]3C.[-11

,]33D.[1,-1]2x23（4）（2017年全国）若x=-是函数fx()=(+ax-1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为（）2A.-1B.-2e-3C.5e-3lnx b+xD.1-2，则（5）（2022年全国）当x=1时，fx()=a取得最大值D.1f¢(2)=（）C.1A.-1B.-122例2是例1的进一步的加深，都采用逆向思维的方式变式题目.由例1到例2的题目的设计由浅入深，层次分明，重点突出，很好地加深了学生对利用导数研究曲线的切线、函数的单调性、极值和最值等知识的深刻理解，灵活地应用所学的知识和方法解决问题.使理性思维的广度和深度，知识掌握牢固程度、基本解题方法地灵活应用程度、运算求解娴熟程度，不同的学生都得到了充分的显示，提升了学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.三、作业设计必须重视数学思想方法用数学思想方法指导基础知识的复习，在基础知识的复习中培养思想方法；用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识，注重分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想方法的指导下，合理提取相关的知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设和结论间的差异的过程；用数学思想方法指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性.例3(2019年全国)已知函数fx()=2x3-ax2+b.-1且最大值为（1）讨论fx()的单调性；（2）是否存在当a，b，使得fx()在区间[0,1]的最小值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.本题以学生熟悉的多项式函数为出发点，第（1）问利用导数的符号判断函数单调性，由于所选的函数中含有参数，所以必须针对参数进行讨论，通过求导将导函数转化为含有参数a的二次函数问题，求原函数单调性时实际上转化为含有参数a的一元二次不等式，利用分类讨论的思想解含有参数a的一元二3次不等式，这对学生思维的全面性和严谨性提出了一定的要求.第（2）问以开放的形式设计，为学生提供广阔的想象空间.该问的解决需要综合利用函数的特征和单调性，结合第（1）问的结论，判断函数fx()在[0,1]的最值必在区间的端点或驻点处取得，然后对驻点处函数值和端点处函数值的大小比较进行分析讨论，从而解决问题.本题从多角度考查学生灵活运用导数研究函数性质的方法，对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、转化与化归的思想和分类讨论思想提出了较高的要求.例4（2015年全国）设函数f¢()是奇函数fxxÎR)的导函数，f-(1)=0，当x>0时，xf¢()-fx()<0，则使得fx>0成立的x的取值范围是()A．(-¥-,1)U(0,1)B．(1,0)U(1,+¥)C．(1,0)D．(-¥-,1)U(0,1)U(1,+¥)本题给出了一个抽象函数和其满足的若干个条件要解一个不等式，此题的解法多样，可以根据题目的条件，构造一个符合题意且又能解不等式的特殊的具体函数；也可以先根据导数的运算法则，构造一个符合题意抽象函数，然后研究该函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，把解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.本题渗透了数学的转化思想、函数思想，对学生构造函数的能力和运用所学知识寻找合理的解题途径提出了较高的要求.四、作业设计必须重视综合性数学的系统性和严谨性决定了数学知识之间的有深刻的横向和纵向的联系，要求学生能够综合运用不同学科之间的知识、思想方法、多角度、多方面的观察、思考，从本质上抓住这些联系.教师要在知识的交汇处设计作业，使学生把学过的知识的相互联系搞清楚，从而达到对数学基础知识的深刻理解，提高学生的分析问题和解决问题的能力.例5（2017年全国）已知函数fx()=-1-alnx.（1）若fx³0，求a的值；4（2）设m为整数，且对任意正整数n,(1 1+2)(1 1+22)L(1 1+2n)<m，求m的取值范围.本题将对数函数的性质、不等式的求解及恒成立、等比数列求和等知识巧妙地综合，体现了在知识地交汇处设计题目，达到对知识融会贯通的目的.本题分步设问，逐步推进，多角度的考查了利用导数研究函数的性质、不等式的性质和函数最值，综合考查了学生运算求解能力、逻辑推理能力和转化与化归能力.例6（2022年全国）已知△ABC中，点D在边BC上，ÐADB=120°，AD=2，CD=2BD.当AC取得最小值时，BD=.AB本题将利用导数求函数的最值与解三角形有机的结合.利用余弦定理分别求出AC和AB，此两个值中都含有BD这个所求的量，于是AC可以构造关于BDAB的函数，该函数解析式较复杂，利用导数求得该函数的最值，从而解决问题.五、作业设计必须重视应用性能应用数学所学的知识解决实际生活中的简单问题，将实际问题抽象转化为数学问题，构造数学模型，利用数学知识和方法加以解决，加深对数学内容的理解，积累数学实践经验，提升数学抽象和数学建模素养.例7（2017年全国）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.本题把求简单几何体的体积问题设计成一个实际问题，给出该简单几何体的展开图，学生需要利用解三角形的知识，分析展开图中各种边角之间的位置关系和数量关系，从而利用三棱锥的体积公式得到体积的函数模型，求该体积的函数最大值时需要利用导数求函数的最值.本题既综合了立体几何、解三角形和函数导数等知识，又深刻的考查了学生的数学建模和数学运算素养.5六、作业设计必须重视创新性高考对创新意识的考查，主要是要求学生不仅能理解概念、定义、掌握定理、公式，更重要的是运用这些知识和方法解决数学中与实际生活中的新颖试题，通过增加研究型、探索型、开放型试题来考查学生的独立思考能和创新性思维.例8（2021年新高考）已知函数fx()=(x-1)ex-ax2+b.fx()有且（1）讨论fx()的单调性；（2）从下面的①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：只有一个零点.①1<£2

e,b>2a；②1<£2

e,b£2a.2222本题第（2）问是开放性的结构不良问题，题目给出了题干和两个可以选择的条件，要求学生挑选其中一个条件补充到题干中求解.由于给出了几个不同的条件，答案并不唯一，要多角度分析，考虑多种情况，可以寻找不同的解题路径来解决问题，充分考查学生思维的灵活性、深刻性和创造性.高三复习课单元作