数学试卷讲评课教学的扫描与特写

数学试卷讲评课教学的“扫描”与“特写”

数学试卷讲评课在整个高三复习教学中占有相当的比重（尤其是在复习的最后冲刺阶段），其功能不可替代，其作用举足轻重。伴随着信息技术辅助教学的常态化进行，不可避免地给以纸质文本为主要载体的试卷讲评课教学造成一定的冲击。面对整份试卷，立足一节课，如何提高试卷讲评课的可操作性和时效性？这就成了数学教师普遍关心的一个教学疑难问题。本文所谈及的试卷讲评课指处在复习冲刺阶段的数学试卷讲评课，它既不同于第一轮基础复习的单元练习讲评课（通常是拉网式的），也不同于第二轮专题复习的章节考试讲评课（通常是板块式的）。而数学试卷讲评课（通常是直入式的）的根本要求和鲜明特点是纵向深入推进，“点、线、面、体”结合，珍视学生劳动，强调解法优化。提高试卷讲评课的可操作性和时效性，其基础工作就是要仔细统计学生各题的答题正确率（简称正答率），从而准确判断学生答题的成败、得失和优劣，全面把握试卷的结构、难度和特点。下面笔者围绕“浙江省测试卷”讲评课的教学设计谈些体会。首先感谢这份测试卷的设计者和提供者，因为它是一份呕心沥血的精品，不可多得之佳作。全卷与浙江省2009年高考试卷题型相同，结构相仿，难度相当。选择题有10道题，每题5分，共50分；填空题有7道题，每题4分，共28分；解答题有5道题，共72分。选择题和填空题第1～17题主要考查数学基础知识、基本方法和基本技能。第18题主要考查正弦、余弦定理，三角公式变换，三角形面积公式及向量数量积运算等基础知识，同时考查运算求解能力。第19题主要考查排列组合、随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括能力。第20题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。第21题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。第22题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。以下是笔者所任教班级学生考试中各题的正答率统计表。由上表我们可以把全卷试题大致分为三类：容易题为第1，2，3，5，6，7，11，12，13，14，16，18，19题；中等题为第4，8，9，10，15，17题；难题为第20，21，22题。针对考情，结合学情，确定出该试卷讲评课的如下总体思路。一、用“扫描”方法讲评试卷中的中等题和容易题1.中等题讲评教学中的“慢移”数学试卷讲评课也要有一个“早进高潮”的考量。针对试卷中学生错误较多、解法欠佳的中等难度题（尤其是选择题和填空题），我们应毫不吝啬地给以“慢移”扫描。通常采用实物投影仪展示，以及学生板演抄录解答过程两种方法，让学生们共同分享学习成果，一起分析问题症结。本节课笔者主要采用了后者，即在批改试卷、了解实情的基础上，有选择地请6位学生（以学习中等生为主）板演抄录以下6题的解答过程（为方便读者审视全卷，笔者保留了题序）。情景回放：设z=a+bi(a,b∈R)，通过解方程组求出z，然后检验排除，故答案选A。课堂反馈这是对而不好！它的奇思妙想由另一位学生给出：由可知，z、是方程的两个根，故答案选A。这里的“妙”在于灵活运用了两个共轭复数的性质。(8)若某多面体的三视图（单位：cm）如图1所示，则此多面体的体积是()。图1情景回放：画出这个多面体的直观图，如图2所示，（单位正方体中削去一个正四面体），故答案选C。图2课堂反馈师生的强烈感觉是三视图作为必考知识点，有可能成为命题的“实验田”，涉及多面体的三视图的考题，似乎难度会有所提高。(9)过双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，如图3所示．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是()。图3情景回放：设出直线FP的方程，然后用直线FP与圆相切的条件，以及利用中点的坐标公式直接求解，故答案选A。课堂反馈其实这是在杀鸡用牛刀。如果运用圆的切线性质和根据中点条件，就会判断出△OFP是等腰直角三角形，从而，我们的解题体会是解析几何问题的解决需要重视发挥平面几何知识的功能。(10)在直角坐标系中，如果两点A(a，b)，B(-a，-b)在函数y=f(x)的图象上，那么称[A，B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）。函数，关于原点的中心对称点的组数为()。(A)1(B)2(C)3(D)4情景回放：画出了函数图象，但接下来无所适从。课堂反馈大家经过讨论（如图4所示），得出解答：图4画出y轴右侧的图象关于原点对称的部分，两者有2个交点，故答案选B。解完这道题，仿佛喝了一杯香茶，值得细细品味。这是一道绝好的试题，既考查了对数函数、三角函数、分段函数的图象和性质，又考查了灵活运用对称性解题的基本技能。(15)如图5所示，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A，测得A、C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角（∠CAD）为45°，则这座电视发射塔的高度CD为______米。图5情景回放：着眼于CD=BD-BC，然后解BD、BC所在的两个直角三角形，得CD=169。课堂反馈另一位学生提出“一步到位”：设，从而CD=169。这样求解更为直接、简捷！(17)若函数，在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是＿＿。情景回放：画出函数图象，如图6所示，由，解得a的取值范围。课堂反馈学生们再一次强烈感受到了“画图一遍，思路出现”的解题成功体验！2.容易题讲评课教学中的“快闪”数学试卷讲评课还有一个节奏变化的问题。教学的前段节奏明快、内容丰富、信息量大、兴奋点多，根据心理学原理，教学的中段应该适当做些调整，其主色调是通过扫描中的“快闪”镜头放飞学习心情、调节课堂气氛、评价试题特点。我们可以让学生在报告答案的同时，从知识考点、题目难度、关联程度等诸方面加以扼要点评，以便大家更好地把握考试的重点、热点、冷点，做到心中有“点”、心中有“题”、心中有“法”。本卷第2题考查二项展开式的通项，第3题考查充要条件知识和求差比较方法，第5题考查程序框图的运行，第6题考查向量数量积的运算，第7题考查解直角三角形知识，第11题考查线性规划，第12题考查数列通项，第14题考查圆心到直线距离的计算，第16题考查均匀分组的方法，第18(1)题利用正弦定理化边为角，第18(2)题运用三角形面积和向量数量积公式，第19题虽然考查随机变量的分布列、数学期望概念，但更多的是考查排列、组合知识。这些小题大都属常见题、容易题和易错题，难度与课本练习题、习题和复习题基本相当，限于篇幅这里就不再一一列出。现仅分别摘录两位学生（以学习后进生为主）对其中两题的发言记录。一言两语答案选B。考查集合的概念，同时又与简易逻辑中的全称量词和存在量词的知识综合在一起，虽属基础题，但可谓“小而新”。一言两语答案为。考查归纳推理的知识，难点在于符号的处理，仿佛在观察数列的通项，答案一般不写成分段形式。二、用“特写”镜头讲评试卷中的难题数学试卷讲评课既要注重广度，又要挖掘深度；既要关注学生的“面”，也要照顾学生的“片”。难题犹如堡垒，虽攻之不易，但解题的成就感高，学习的幸福感强。在讲评难题的过程中，都会使各个层次的学生都学有所得，学有所长，学有所进。由此可见，讲评难题应成为数学试卷讲评课教学的重头戏。1.让解题的思路来得宽广些培养学生的发散性思维能力，是数学课堂教学的一项任务。具体到高三数学试卷讲评课，我们决不能因时间紧而忽视这项任务一而贯之的落实。其实，数学解题的“强攻”和“轻取”“通法”和“技巧”有时是同样重要的，考场中妙法解决固然可贺，但“笨法”成功更加可喜。因此，在试卷讲评课中，我们两手都要抓，两手都要硬，要让解决难题的思路尽可能来得宽广些。(20)如图7所示，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α-EF-β，BP⊥平面α，点P为垂足。图7(1)求△ACP的面积；(2)求异面直线AB与EF所成角的正切值。对这道题目，许多学生第一念头就是用向量的方法，这样去解难度有些大，成功率不很高。如果把向量方法的参考答案用投影仪展示出来，就会发现：建立坐标系不易，运算量颇大，功底不深厚的学生算出最后结果很困难。（投影仪展示。）向量方法的参考答案(1)解：如图8所示，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角。以点P为坐标原点，以直线PM为x轴，与EF平行的直线为y轴，射线PB为z轴的正半轴，建立如图8所示的空间直角坐标系P-xyz。图8考试中，不少学生用传统的方法去解居然旗开得胜，大获成功，（投影仪展示。）传统方法的参考答案(1)解：如图9所示，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角。图9教学随想为了顺利地实施新课程，我们刻意营造了立体几何学习的一个“向量氛围”，命制立体几何高考题时也给向量方法做了一些倾斜，这样处理在实施伊始，人们还是可以理解的。但传统方法解立体几何题，毕竟是立体几何学习的本质和精髓。那种厚“向量方法”，薄“传统方法”的教学现象应该终结。浙江省这份测试卷所传递出的信息多么清晰，何等重要！对于(1)，传统方法的参考答案还可以进一步改进，课堂上请生，做了展示。如图10所示，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角。图10图112.让解题的思路来得简捷些让解决难题的思路既来得宽广些，又来得更优些、更好些，这是我们课堂教学的不懈追求。对于试卷讲评课，我们更关注学生解题品质的提高，由此，后者往往比前者更为重要。教学中要通过比较学生各种思路和方法的好坏，摸索出解决难题的规律，总结出解决难题的捷径，并让学生们在方法的取舍中学会交流、合作和共享。(21)如图12所示，已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(0，1)。(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。图12对于(1)，学生几乎都能运用抛物线的标准形式，求出抛物线C的方程。（投影仪展示。）(2)解：设，则抛物线C在点P处的切线方程是，直线PQ的方程是。将上式代入抛物线C的方程，得，经检验，符合题意。所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）。教学随想提高解析几何解题品质的关键是重视运算的方法和技巧。现在，许多学生对解析几何问题是“思路想得到，结果做不出”。究其原因，大多是被过程中的运算卡住了壳，这显然是平时不重视运算的简捷性所产生的后果。因此，讲评解析几何问题中“只讲思路分析、轻视运算过程”的现象要加以改变，要多让学生展示中间运算少而巧的解题过程。对(2)，给出了新思路和好方法，其运算量明显减少。①当QP斜率不存在时，不满足题意；②设直线QP的方程为了y=kx+b，又因为PQ与C在点P处切线垂直，所以。所以P(-4，4)或(4，4)。3.让解题的思路来得自然些思路、方法、技巧是数学试卷讲评课教学的三个关键词。思路打不开，方法怎形成？方法没掌握，技巧哪会来？技巧不讲究，魅力咋感受？说实在的，如果数学里没有技巧性的东西，就会大大削弱其吸引力。但“传授”技巧不能“从天而降”，要让学生在熟练掌握方法的基础上自然形成解题技巧，要让学生明白“不是技巧的技巧才是最好的技巧”，要使技巧“常态化”，要让技巧“草根化”。(1)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为2，求a的取值范围。对(1)，学生们不难求出函数f(x)的单调递增。（投影仪展示。）(2)解：一方面由题意，得且f(2)=2，所以当时，f(x)在区间[0，2]上的最大值是2。综上，所求a的取值范围是。教学随想对本题第(2)题，命题者提供了以上这种技巧性极强的解法。考察特殊情形、猜想取值范围、验证结论正确，太不常规了。难怪在测试中竟然没有一位学生按照这种思路和方法来求解。由此可见，这种解法虽然巧妙，但很不自然，学生高不可攀。事实上，这类问题并不