初三数学培优之旋转变换

111111111122221＝S11初三数学培优之旋转变换阅读与考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：（1对应点到旋转中心的距离相等；（2对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．例题与解【例1如图，边长为的eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)B的心为，将正eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)B绕心O旋转到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)B，使得A丄BC，两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．知”上海市竞赛试）解思：

六

S

CD

，解题的关键是寻找，CB，，CD之的关．AA12B

1

B2

OD

F

C

C

【例】如图，已eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)COD都等腰直角三角形，＝∠CQD90°NM，分别为AB，，CD，AD的点．求证：四边形NMQP为方形．解思连BDAC并长AC交点则可以看作是eq\o\ac(△,)OBD绕点逆针旋转得到的，且AED90°，这是证明本例的关．B

EA

P

O

D

【例】如图，巳知eq\o\ac(△,在)，＝，为内一点，且＜∠APC求证：＞PC．（京市竞赛试题解思以为中心APB旋一个∠BACAB与AC边合eq\o\ac(△,时)APBAP的位置APPB

【例】点，，E在一直线上，点A，D在直线CE的同侧＝ACECED∠BAC＝∠，线，交于点F．（1如图，若∠BAC60°则＝＿＿＿＿；如图，若BAC＝90°，则＝＿＿＿；（2如图3若BAC＝，∠＝＿＿＿（用含的子表示（3将图中eq\o\ac(△,的)ABC绕C旋（点F不点，B重图4或．在图4中，∠与∠的量关系是＿＿＿；在图5中∠AFB与的量关系是＿＿＿．请你任选其中一个结论证明．（武汉市中考试题）D

D

DA

AF

A

B

E

B

E

B

E图1

图

图3DA

B

DA

EB

E图4

图5解思：从特殊到一般，在动态的转过程中，有两组不变的关系ABC△EDC△∽△，这是解本例的关键．

【例】如图，已知凸五边形ABCDE，AB＝＝＝DE＝EA∠ABC∠．求证：＝．（北市竞赛试题）解思：以B旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与重，落eq\o\ac(△,)CBE位置，则ABE≌CBE，AE＝CE，＝，∠CBE＝ABE．A

EB

D【例】如图，已知正方形内一动点E到AC三的距离之和的最小值为6，此正方形的边长．

（广东省竞赛试题）解思本是费马点相关的问题变形，解题的关键是确定最小值时E点位置，通过旋转变换，把EA，EBEC连结起来．ADEB

能力训A级．图，巳知正方形中点在边DC上DE2＝，把线段AE绕A旋转，使点E落在直线上点处则，C两的距离为＿＿＿＿．（上海市中考试题）AD

B

EB

P

A

P

AB

D

第1题

第2题

第题．如图是△内的一点，且PA6，＝，PC．将绕A逆针旋转后，得到eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)'，点P点之间的距离为＿＿＿，APB＝＿＿＿＿（青岛市中考试题）．如图，直角梯形ABCD中∥，⊥，＝，＝3＝45°．将CD以D为中心逆时针旋转至，结AE，eq\o\ac(△,)ADE的积是＿＿＿＿．

．如图，在Req\o\ac(△,t)eq\o\ac(△,)ABC中已知C＝90°，B＝，点在上BD＝CDeq\o\ac(△,)绕着点D逆针旋转（＜＜度如点恰落在初始eq\o\ac(△,)的上么＝＿＿＿．（上海市中考试题）A

BB

B

A

D

A

D

K

P

G

H

D

B

D

E

第4题

第5题

第6题．如图，将边长为1的方形ABCD点A按时针方向旋转至CD则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．（全国初中数学联赛试）．如图，在eq\o\ac(△,)ABC中∠＝90°，＝AC＝以斜边BC上离点的为中心把个三角形按逆时针方旋转90°则转前后两个三角形重部分的面积为＿＿＿．（黄冈市竞赛试题）．如图，eq\o\ac(△,)ABC绕C（，1旋转180°eq\o\ac(△,)AB，点的坐标为（a，点的坐标为（）A，

B，）

C，）

D，）（河南省中考试题）

B

A

A

P

P

AAB

B

B

第7题

第题

第题．如图，已知是边△ABC部一点，∠︰∠BPC∠CPA＝5︰︰7．以PA，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A．2︰3︰4B3︰4︰4︰5︰D．不能确（国初中数学通讯赛试）．如图，eq\o\ac(△,)ABC中，∠BAC＝120°P是内点，则（）A．＋PB＋PC＜ABACB．PA＋PB＋PC＞AB＋C．＋PB＋PC＝ABD．PA＋＋PC与AB＋大小关系不确定（武汉市竞赛试题）

．已知：如图，O为方形的心，分别延长OA到FOD到，使＝2OA，＝2OD．连结，△绕O时针旋转角到eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)（图

EADOB图（1探究E与的量关系，并给予证明；（2当＝30°时，求证eq\o\ac(△,：)为直角三角形．

F

AB

O图2

D（南通市中考试题）．在ABC和△DEF中，AB，＝DF∠BAC∠＝，M，N分是，CF的中点．（1若点A与重，点，分别在，（如图1AM与AN的量关系是＿＿＿＿，∠与的数关系是＿＿＿＿；（2将图中△绕点（）转（如图2）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．B

E

B

EN

A(D)

(D)

图2

B．如图eq\o\ac(△,)是边长为等边三角形eq\o\ac(△,)BDC是角BDC＝120°等腰三角形，MDN，则AMN的长＝＿＿＿＿．（重庆市竞赛试题）A

B

D

BN

A第1题

第题

第题．如图，在等腰eq\o\ac(△,t)eq\o\ac(△,)的边上两点M，使＝45°，记AM＝x，＝n，以线段x，m，为长的三角形的形状是（）A锐角三角形C．角三角形

B直角三角形D．，m，n的变化而变化（安徽省竞赛试题）．如图，直线y＝xx轴y轴别于，B两，eq\o\ac(△,)点A顺针旋转后得到，则点B（）A，）

B，5）

C，）

D，）（丽水市中考试题）．如图，正方形ABCD中，已知＝3，分在，CD上，且BAE30°，DAF，求的积．望”请赛试题）AAAD

B

D

P

DB

E

图①

图②第4题

第题）图1，在四边形中，＝，∠＝60°∠＝．求证：BCDC＝；（2如图，在四边形ABCD中，AB＝，∠＝60°P为边形ABCD内点，且∠APD120°，求证：PA＋PDPC≥BD（江苏省竞赛试题）

．如图，eq\o\ac(△,)ABC中AB，∠BAC＝eq\o\ac(△,)ADE是正三角形，点D在上已BD︰D＝2︰，eq\o\ac(△,)面积是2时eq\o\ac(△,)的积．（日本数学奥林匹克试）AOB

D

E

A

P

B第题

第题．如图，已知是锐角三角形内点，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝，P是内任一点．求证：＋PB＋PC≥＋OB＋．（杭州市竞赛试题））图1已知正方形和正方形CGEF（＞，，G同一条直线上，为线段的点探究：线段，MF的系；（2如图，若将正方形点顺针旋转，使得正方形对角线CE在方的BC的长线上M为AE的中点．试问）探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3如图3若将正方形CGEF绕C顺时针旋转，M为AE的中点．试问：第（）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）

E

A

D

A

D

A

D

B

E

B

B

G

E图1

G图

G图3

．已知正方形ABCD和腰eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)，＝，BEF90°．按图1的置，使点F在BC上取DF中点，结，．（1探索EG，CG的量关系位置关系并证明；（2将图eq\o\ac(△,)点B时针旋转，再连，取DF中G（如图（1问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3将图中BEF绕转任意角度（～之间连结DF，取DF的点G如图（1）问中的结论是否仍成立？不必证．A

DA

D

A

DE

G

B

E

G

E

GB

B

图1

图2

图3在面直角坐标系中知为标原点（04为旋转中心，eq\o\ac(△,)顺时针旋转，eq\o\ac(△,)ACD记旋转角为，为（1如图1当