全国高考数学复习微专题圆锥曲线中的面积问题

22一、基础知识：、面积问题的解决策略：（1求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高（2面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形个图形面积的关系的转化键求存异些图形的底和高中是否存同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最，在寻底找高的过程中选长为定值的线段参与运算可以使函数解析式较为简单，便于分析、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质（）椭圆：设为椭圆tanVPFF2

2ya2b2

上一点，且

PF12

，则（2双曲线：设2VPFF

P

为椭圆

aa2

上一点，且

PF12

，则二、典型例题：例设F为圆的右焦点椭中心任一直线与椭圆交于1当四边形PF的积最大时，PF的等于___________11

两点，思路：由椭圆中心对称的特性可知,Q关于原点中心对称，所

VF与VQFF121

关于原点对称，面积相等。且四边形

PF可拆成与VQFF1112

的和，所以四边形

PF1的面积最大即

VF12

面积最大，因为

VF

1F1

p

，所以当

最大时，VF12

面积最大。即P位于短轴顶点时，

VF12

面积最大。由

可知

22211122221112c

以

12

3,0

而算出

2

的值为

答案：

例2：已知点

P

是椭圆

16x

上的一点，且在

轴上方，

F12

分别为椭圆的左右焦点，直线PF的斜率为则VPFF21

的面积是（）

323

243

C.

32

24思路：将椭圆化为标准方程为

x22100

，进而可得

c

，所以

F2

，计算

VF12

的面积可以以

F

为底，

P

为高，所以考虑利用条件计算出

P

的纵坐标，x25设

x,y

，则有

k

PF

y3x

y，所以x

可解得

43

或

6419

（舍去以

S

1F3VF1答案：例3：知

为抛物线

y

的焦点，点

A,B

在该物线且位于

轴的侧，OA2

，则

与

AFO

面积之和的最小值是（）

C.

178

思路：由

OA

入手可考虑将向量坐标化，设

,y1

2

，则xxy112

，进而想到可用韦达定理。所以设

AB

与

轴交于

M

直线ABx

。

联

立

方

程

2xty

y2

，

所

以yyxx12

y

所由

xx2可：1212

2m2

所以

y1

，

不

妨

设

A

在

轴

上

方，

如

图

可

得：S

VABO

V

119OMyOFyy，y知y2

21

，

11221122消元后可得：

V

VAFO

9292y8y8y11

，等号成立当且仅当

y

43

，所以

VABO

V

的最小值为

答案：例：抛物线

y2

的焦点为

，准线为

l

，经过

斜率为3的直线与抛物在

轴上方的部分相交于点

A

，

，垂足为AKl3

，则

VAFKC.

的面积是（）3

思路：斜率为3可直线的倾斜角为

3

，从而可得KAF，3所以在计算面积时可利用两边夹角，所以可得

VAKF

12

，由抛物线性质可得

AF

，所以只需求得焦半径AF即需解出点横坐标利用几何关系可得

OFFM

12

AF

，另一方面，由焦半径公式可得：

，所以可得方程：

12

，从而

，所以

VAKF

1sin4323答案：小炼有话说）题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角

3

，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。（2）本题的x也通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下：A由抛物线方程可得：

Fy

，联立方程：2x

x

，整理可得：

x

x或

13

PMFVPMFPFFF11212PMFVPMFPFFF11212

xy23

或

1x32y3

（舍）

xA例5椭圆

9

的顶点为焦点点顶点的双曲线

左焦点分别为

F12

，已知点M的坐标为双线C上点Py0PFFF121，S等于（）PFF11

0

满足

2

4

C.

1

思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，

9

的顶点为

，即为观察

F的标，椭圆的点为，而512121可想到投影，即在PF的影与MF在F的影相PFF11等，由几何关系可得

1

为

F1

的角平分线。由

M

MF

，即平分F221

，从而M为VPFF12

的内心，且内切圆半径

ryM

。从而

VPMF

V

11rPFPF2222答案：A例已知点

P

为双曲线

2y2ba2b2

右支上一点，

F1

分别是双曲线的左右焦点，且

FF12

ba

，

I

为三角形

PFF1

的内心，若

IPFIPF

IFF

成立，则

的值为（）

12

3

C.

2

2思路：由三角形内心的性质可得

I

到三边的距离相等，所以VIPF,IPFVIFF12

的

高

均

为

r

，

从

而

VIPFVIFF1221VIPFVIFF1221

IF

PFF即1

F11

a

所只需利用

FF12

ba

确定

,

的关系即可。解：QI

为三角形

PFF1

的内心

VIPF

11PFSFF222

IF

PFF1

FFPFPF1

QP

在双曲线上，且

F12

是焦点PFFF11

a

即

为离心率由

FF12

b可得：caa

2ac

2

2

，两边同时除以

2

得：ee

，解得

22

e2

即

答案：例7已知点

:

2yaa22

3的离心率为，是椭圆的2右焦点，直线

AF

的斜率为

233

，

为坐标原点（1求E的方程（2设过点A的直线l与E相于Q两点，当OPQ面积最大时，求l的程解）

F

AF

23

c3Qe

3a

a

2c3

2

b22:

4

2思路首设

:y

，yy12

由像可得

VOPQ

12

d

，

221222221222考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用

k

表示出

d

O

PQ

，从而

OPQ

也可用

k

进行表示：

V

4242

442

442

，再利用均值不等式即可得到最大值。等号成立的条件

4k2

44k2

即为

的值意线与椭圆相交，所以消元后的方程

）（2设直线

ykx，P12

联立方程可得：

ykxxy

x

2

，整理后可得：

2

kx12

，因为方程有两个不等实根

解得：

3或2

VOPQ

1dd

22

2

12

2

x1

2

1由方程

2

kx

可得：x1

16k12,x4kk

代入

可得：

642424k24S

VOPQ

24k2144k2

44k2

44k2

由均值不等式可得：

4

44

2

44

4

2222等号成立条件：

4k

2

44k

4

2

4

72

OPQ

此

72l

的方程为

7或x2例8知椭圆

2ya2b

1的离心率为过右焦点F的直线l与C交于2

两点，当

l

的斜率为

时，坐标原点

O

到

l

的距离为

22（1求椭圆

的方程（若

PQ,M,N

是椭圆

上的四点，已知

PF

与

FQ

共线，

MF

与

共线，且

，求四边形

PMQN

面积的最小值解）

ea2

，设

F

l:x

c

2

a

2

2

xy43（2由（）可得：

F

，因为

PFMF

1MNPMQN设

y12

，

，联立方程可得：x

，消去可：3x

2

k

2

整理后可得：

2

2

k

2

2

12x11

k14424k

①

222y222y设

MN:

11，以替换①中的可：MN

1124

12k3k2S

PMQN

122PQ3k2124k212425k12k设

u2

12

，可得

u2,

PMQN

u12u

11225时

min

28849例：在平面直角坐标系

中，已知点

，

P

是动点，且三角形

的三边所在直线的斜率满足

k

PA（1求点

P

的轨迹方程（2若Q是迹上于点P的个点，且

P，线O与QA于点，：是否存在点P使V和V的积满足

PQM

S

？若存在，求出点P的标，若不存在，请说明理由。（1）思路：本题设点

，且

OA

已知，直接利用条件列出等式化简即可解：设

P

可得：

y,kk

，依题意

kk

可得：x

整理后可得：yx

2

，其中

x0,x所以P的轨迹方程为

x

‘

211VPQMVPAM211VPQMVPAM（2）思路：从图中可得PQA

和

V

的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即

2

PAM

QA2AM

，再由

可得OA

，进而2AMOPOM由OPM

共线再转成向量关系则只需求出的标即可解出

P

的坐标解：设

11

2

22

QOAOAk

PQ

k

OA

，即

x2x2

x2k

QA

x2x2:

因为

OP:y1M:

y1

可解得

xM

121Q,SAM2QAAMQOA

且SPPQMVPAMAMOM，OMPMP所以存在符合条件的

P例10设抛物线

y

2

2x

的焦点为，过点M

3,0

相于A,两，与抛物线的准线相交于

BF

与

ACF

的面积之比

（）

44C.D.532思路：由

联想到焦半径公式，从而解得

22S2dACBQ2x1y22422122S2dACBQ2x1y