数理方程第四章

数理方程第四章第1页，共24页，2023年，2月20日，星期六下面引入格林函数的概念。在第二格林公式中，取

u,v为内调和函数，则第2页，共24页，2023年，2月20日，星期六注意到积分区域相同，二式相加则如果存在调和函数v,使得第3页，共24页，2023年，2月20日，星期六引入记号：则称为拉普拉斯方程格林函数。

奇性部分正则部分第4页，共24页，2023年，2月20日，星期六如果能找到格林函数中的v，则狄利克雷问题的解如果存在,必可以表示为第5页，共24页，2023年，2月20日，星期六类似的,若泊松方程的解存在,必然可以表示为因此，求解狄利克雷问题,就转化为求相应区域的格林函数问题。第6页，共24页，2023年，2月20日，星期六可以看出,格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解条件中的边界条件无关。因此如果求得某个区域的格林函数,就可以解决这个区域的一切狄利克雷问题。一些特殊的区域,如半空间、球域,可以通过初等方法，如“电象法”得到格林函数。从格林函数的表达式知,确定格林函数,需要找到满足的调和函数v。第7页，共24页，2023年，2月20日，星期六

§4.4两种特殊区域的格林函数

及狄利克雷问题的解所谓电象法，就是在点放置单位正电荷，在区域外找出关于边界的象点然后在点放置适当单位的负电荷，它产生的负电位与处正电荷产生的正电位在上互相抵消。由于在边界的内部，在边界的外部，处的点电荷形成电场的电位在内部是调和函数v，且有故和处的电荷形成的电场在上的电位就是所要求的格林函数。

第8页，共24页，2023年，2月20日，星期六

要解决问题：具体步骤：(1)对应于

Ω

内的一点

M0寻求关于区域边界对称的区域外的点

M1,1.等效点电荷的位置

2.等效点电荷的电量(2)在

点置电量为

q的负电荷，使得在区域边界上,由该负电荷产生的电位与点单位正电荷产生的电位互相抵消，即：第9页，共24页，2023年，2月20日，星期六1)半空间的格林函数

求解拉普拉斯方程在半空间内的狄利克雷问题，就是求函数u(x,y,z)，它满足第10页，共24页，2023年，2月20日，星期六为解上述方程，首先找格林函数在点()放置单位正电荷，在点放置单位负电荷，则它与处的正电荷所产生的正电位在平面z=0上互相抵消。zyxP0由于在上半空间内为调和函数，在闭域上具有一阶连续偏导数，第11页，共24页，2023年，2月20日，星期六因此就是上半空间z>0的格林函数.为了求出原问题的解：需要计算zyxP0第12页，共24页，2023年，2月20日，星期六第13页，共24页，2023年，2月20日，星期六将上式代入到即得到原问题的解:思考:半空间x>0的格林函数及狄利克雷问题的解.第14页，共24页，2023年，2月20日，星期六2)球域的格林函数

设是以原点为中心，半径为R的球内任一点,

是关于球面的反演点。

在点放置单位正电荷，在点放置q单位负电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消,即P

o

R第15页，共24页，2023年，2月20日，星期六故q必须不依赖于P的选取且满足：

由

∽，得即只要在点放置个单位负电荷,它形成电场的电位P

o

R第16页，共24页，2023年，2月20日，星期六具有性质:在所围的球域内部是调和函数,在上一阶连续可微,而且所以,球域的格林函数为第17页，共24页，2023年，2月20日，星期六Mo

R第18页，共24页，2023年，2月20日，星期六Mo

R利用球坐标可知现在利用格林函数求球内的狄氏问题：第19页，共24页，2023年，2月20日，星期六球的Poisson公式第20页，共24页，2023年，2月20日，星期六注：拉普拉斯方程的基本解称为拉普拉斯方程的基本解，其中r表示空间中两点之间的距离。基本解的物理意义：点处单位正电荷所产生的电位。第21页，共24页，2023年，2月20日，星期六例：建立二维情况下调和函数的积分表达式。P100,3然后与三维情形做同样处理第22页，共24页，2023年，2月20日，星期六例：在平面上建立上半平面

y>0