数学建模课件线性规划

数学建模课件线性规划第1页，共77页，2023年，2月20日，星期六单变量优化例3.1再来考虑售猪问题。但现在考虑到猪的生长率不是常数的事实。假设现在猪还小，生长率是增加的。什么时候将猪售出从而获得最大收益？第2页，共77页，2023年，2月20日，星期六求解模型—图像法clearall;closeall;symsxy=(0.65-0.01*x)*200*exp(0.025*x)-0.45*x;ezplot(y,[0,40]);gridon第3页，共77页，2023年，2月20日，星期六第4页，共77页，2023年，2月20日，星期六ezplot(y,[18,22]);gridon

第5页，共77页，2023年，2月20日，星期六ezplot(y,[19,20]);gridon

第6页，共77页，2023年，2月20日，星期六数值方法求解--Matlabdydx=diff(y,x)xmax=solve(dydx);xmax=double(xmax)xmax=xmax(1)ymax=subs(y,x,xmax)第7页，共77页，2023年，2月20日，星期六Newton法求方程F(x)=0的根.牛顿法：x(n)=x(n-1)-F(x(n-1))/F’(x(n-1))第8页，共77页，2023年，2月20日，星期六F=dydx;F1=diff(F,x);formatlongN=10;%numberofiterationsx0=19%initialguessfprintf('iterationxvalue\n\n');fori=1:Nx1=x0-subs(F,x,x0)/subs(F1,x,x0);fprintf('%5.0f%1.16f\n',i,x1);x0=x1;enddisplay('Hence,thecriticalpoint(solutionofF=0)is(approx)'),x1第9页，共77页，2023年，2月20日，星期六灵敏性分析考虑最优售猪时间关于小猪增长率c=0.025的灵敏性。第10页，共77页，2023年，2月20日，星期六xvalues=0;forc=0.022:0.001:0.028y=(0.65-0.01*x)*200*exp(c*x)-0.45*x;dydx=diff(y,x);xmaxc=solve(dydx);xmaxc=double(xmaxc);xmaxc=xmaxc(1);xvalues=[xvalues;xmaxc];endxvalues=xvalues(2:end);第11页，共77页，2023年，2月20日，星期六cvalues=0.022:0.001:0.028;cvalues=cvalues';%transposestherowintoacolumnformatshort;display([cvalues,xvalues])第12页，共77页，2023年，2月20日，星期六例3.2更新消防站的位置。对响应时间数据的统计分析给出：对离救火站r英里打来的求救电话，需要的响应时间估计为。下图给出了从消防管员处得到的从城区不同区域打来的求救电话频率的估计数据。求新的消防站的最佳位置。3.2多变量最优化第13页，共77页，2023年，2月20日，星期六3014212112325330128521001063131023111第14页，共77页，2023年，2月20日，星期六设(x,y)为新消防站的位置，对求救电话的平均响应时间为：问题为在区域0=<x=<6,0=<y=<6上求z=f(x,y)的最小值。第15页，共77页，2023年，2月20日，星期六绘制目标函数图形clearallsymsxyr1=sqrt((x-1)^2+(y-5)^2)^0.91;r2=sqrt((x-3)^2+(y-5)^2)^0.91;r3=sqrt((x-5)^2+(y-5)^2)^0.91;r4=sqrt((x-1)^2+(y-3)^2)^0.91;r5=sqrt((x-3)^2+(y-3)^2)^0.91;r6=sqrt((x-5)^2+(y-3)^2)^0.91;r7=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)^0.91;r8=sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)^0.91;r9=sqrt((x-5)^2+(y-1)^2)^0.91;z=3.2+1.7*(6*r1+8*r2+8*r3+21*r4+6*r5+3*r6+18*r7+8*r8+6*r9)/84;ezmesh(z)第16页，共77页，2023年，2月20日，星期六第17页，共77页，2023年，2月20日，星期六绘制等值线图ezcontourf(z,[0606])colorbar,gridon第18页，共77页，2023年，2月20日，星期六随机搜索算法算法：随机搜索算法变量：a=x的下限，b=x的上限

c=y的下限，d=y的上限

xmin,ymin,zmin输入：a,b,c,d,N过程：开始

x=random{[a,b]}第19页，共77页，2023年，2月20日，星期六

y=random{[c,d]}zmin=f(x,y)

对n=1到N循环开始

x=random{[a,b]}y=random{[c,d]}z=f(x,y)

若z<zmin,则

xmin=x,ymin=y,zmin=z

结束结束输出：xmin,ymin,zmin第20页，共77页，2023年，2月20日，星期六代码实现a=0;b=6;c=0;d=6;N=1000;x0=a+(b-a)*rand(1);y0=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(z,[x,y],[x0,y0]);fprintf('Iterationxminyminzminvalue\n\n');forn=1:Nxnew=a+(b-a)*rand(1);ynew=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]);ifznew<zminxmin=xnew;ymin=ynew;zmin=znew;fprintf('%4.0f%1.6f%1.6f%1.6f\n',n,xmin,ymin,zmin);endend第21页，共77页，2023年，2月20日，星期六灵敏性分析a=1.5;b=2;c=2.5;d=3;N=100;x0=a+(b-a)*rand(1);y0=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(z,[x,y],[x0,y0]);fprintf('Iterationxminyminzminvalue\n\n');forn=1:Nxnew=a+(b-a)*rand(1);ynew=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]);ifznew<zminxmin=xnew;ymin=ynew;zmin=znew;fprintf('%4.0f%1.6f%1.6f%1.6f\n',n,xmin,ymin,zmin);endend第22页，共77页，2023年，2月20日，星期六例3.3一家草坪家俱厂商生产两种草坪椅。一种是木架的，一种是铝管架的。木架椅的生产价格为每把18美元，铝管椅为每把10美元。在产品出售的市场上，可以售出的数量依赖于价格。据估计，若每天售出x把木架椅，y把铝管椅，木架椅和铝管椅的出售价格分别不能超过，求最优生产量。第23页，共77页，2023年，2月20日，星期六问题在生产量的可行域x>=0,y>=0上求利润函数z=f(x,y)的最大值。第24页，共77页，2023年，2月20日，星期六绘制目标函数及等值线图clearall,closeallsymsx1x2z=x1*(10+31*x1^(-0.5)+1.3*x2^(-0.2))-18*x1+x2*(5+15*x2^(-0.4)+.8*x1^(-0.08))-10*x2;ezsurfc(z,[0.1100.110]);title('ObjectiveFunctionz');第25页，共77页，2023年，2月20日，星期六最优值点大致位于x=5,y=6第26页，共77页，2023年，2月20日，星期六随机搜索求近似最优值a=0;b=10;c=0;d=10;N=1000;x10=a+(b-a)*rand(1);x20=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(-z,[x1,x2],[x10,x20]);fprintf('Iterationx1minx2minzminvalue\n\n');forn=1:Nx1new=a+(b-a)*rand(1);x2new=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(-z,[x1,x2],[x1new,x2new]);ifznew<zminx1min=x1new;x2min=x2new;zmin=znew;fprintf('%4.0f%1.6f%1.6f%1.6f\n',n,x1min,x2min,zmin);endend第27页，共77页，2023年，2月20日，星期六牛顿法求较精确的近似值牛顿法见书p.56x=[x1;x2];F=diff(z,x1);G=diff(z,x2);Dz=[F;G];%thegradientvectorofz即求方程组Dz=0的解。第28页，共77页，2023年，2月20日，星期六牛顿法代码实现dFdx1=diff(F,x1);dFdx2=diff(F,x2);dGdx1=diff(G,x1);dGdx2=diff(G,x2);D2z=[dFdx1dFdx2;dGdx1dGdx2];%JacobianofDz(sameasHessianofD2z)x0=[5;5];%initialguessN=10;%numberofiterationsfori=1:NDz0=subs(Dz,[x1,x2],[x0(1),x0(2)]);D2z0=subs(D2z,[x1,x2],[x0(1),x0(2)]);xnew=x0-inv(D2z0)*Dz0;x0=xnew;endxmax=xnewzmax=subs(z,[x1,x2],[xmax(1),xmax(2)])第29页，共77页，2023年，2月20日，星期六xmaxfigure,ezcontourf(z,[0.1100.110])holdonplot3(xmax(1),xmax(2),zmax,'mo','LineWidth',2,...'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor',[.491.63],...'MarkerSize',12);title('Countourplotandoptimalvalue');第30页，共77页，2023年，2月20日，星期六3.3线性规划例3.4一个家庭农场有625英亩的土地可用来种植农作物。这个家庭可考虑种植的农作物有玉米、小麦、燕麦。预计有1000英亩-英尺的灌溉用水，农场工人每周可以投入的工作时间为300小时。其他数据如下表。为获得最大收益，每种作物应各种植多少？第31页，共77页，2023年，2月20日，星期六农场问题的有关数据条件（每英亩）作物玉米小麦燕麦灌溉用水（英亩-英尺）3.01.01.5劳力（人-小时/周）0.80.20.3收益（美元）400200250第32页，共77页，2023年，2月20日，星期六变量：x1,x2,x3=种植玉米、小麦、燕麦的亩数

w=需要的灌溉用水（英亩-英尺）

l=需要的劳力（人-小时/周）

t=种植作物的总英亩数

y=总收益（美元）第33页，共77页，2023年，2月20日，星期六假设：w=3.0x1+1.0x2+1.5x3<=1000l=0.8x1+0.2x2+0.3x3<=300t=x1+x2+x3<=625y=400x1+200x2+250x3x1,x2,x3>=0目标：求y的最大值第34页，共77页，2023年，2月20日，星期六建模方法—线性规划线性规划简介见书p.59可以用lindo/lingo软件求解第35页，共77页，2023年，2月20日，星期六模型求解MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3<=10000.8X1+0.2X2+0.3X3<=300X1+X2+X3<=625END第36页，共77页，2023年，2月20日，星期六reducedcost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题)也可理解为：为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量第37页，共77页，2023年，2月20日，星期六灵敏性分析增加1英亩-英尺灌溉水量对最优解的影响MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3<=10010.8X1+0.2X2+0.3X3<=300X1+X2+X3<=625END第38页，共77页，2023年，2月20日，星期六玉米收益的少量提高对最优解的影响农作物每英亩收益会随气候及市场变化MAX450X1+200X2+250X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3<=10000.8X1+0.2X2+0.3X3<=300X1+X2+X3<=625END第39页，共77页，2023年，2月20日，星期六燕麦收益的少量提高对最优解的影响MAX400X1+200X2+260X3SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3<=10000.8X1+0.2X2+0.3X3<=300X1+X2+X3<=625END第40页，共77页，2023年，2月20日，星期六新品种玉米这种玉米新品种需要较少的灌溉用水2.5英亩-英尺（而不是3.0）。MAX400X1+200X2+250X3SUBJECTTO2.5X1+X2+1.5X3<=10000.8X1+0.2X2+0.3X3<=300X1+X2+X3<=625END第41页，共77页，2023年，2月20日，星期六新增另一新的作物—大麦一英亩大麦需要1.5英亩-英尺的水和0.25人-小时的劳力，预期可获得200美元的收益。用一个新的决策变量x4表示种植大麦的英亩数。MAX400X1+200X2+250X3+200x4SUBJECTTO3X1+X2+1.5X3+1.5x4<=10000.8X1+0.2X2+0.3X3+0.25x4<=300X1+X2+X3+x4<=625END第42页，共77页，2023年，2月20日，星期六例3.5运输问题一家大建筑公司正在三个地点开掘。同时又在其他4个地点建筑，这里需要土方的填充。在1，2，3处挖掘产生的土方分别为每天150，400，325立方码。建筑地点A,B,C,D处需要的填充土方为每天175，125，225，450立方码。也可以从地点4用每立方码5美元的价格获得额外的填充土方。填充土方运输的费用约为一货车容量（10立方码）每英里20美元。下表给出了各地点间距离的英里数。求使公司花费最少的运输计划。第43页，共77页，2023年，2月20日，星期六建筑地点间的距离挖掘地点接受填充土方的地点ABCD1526102457537644491062第44页，共77页，2023年，2月20日，星期六变量：xij=从地点i运到地点j的土方量（立方码）si=从地点i运出的土方量（立方码）rj=运到地点j的土方量（立方码）cij=从地点i运到地点j的土方运输费用（美元/立方码）dij=地点i到地点j的距离（英里）C=总运费（美元）第45页，共77页，2023年，2月20日，星期六假设s1=x1A+x1B+x1C+x1Ds2=x2A+x2B+x2C+x2Ds3=x3A+x3B+x3C+x3Ds4=x4A+x4B+x4C+x4DrA=x1A+x2A+x3A+x4ArB=x1B+x2B+x3B+x4BrC=x1C+x2C+x3C+x4CrD=x1D+x2D+x3D+x4D第46页，共77页，2023年，2月20日，星期六S1<=150,s2<=400,s3<=325;rA>=175,rB>=125,rC>=225,rD>=450;cij=2dij,i=1,2,3cij==2dij+5,i=4C=c1Ax1A+c1Bx1B+c1Cx1C+c1Dx1D+c2Ax2A+c2Bx2B+c2Cx2C+c2Dx2D+c3Ax3A+c3Bx3B+c3Cx3C+c3Dx3D+c4Ax4A+c4Bx4B+c4Cx4C+c4Dx4D目标：求C的最小值。第47页，共77页，2023年，2月20日，星期六线性规划的标准形式Miny=10x1A+4x1B+12x1C+20x1D+8x2A+10x2B+14x2C+10x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4D约束条件：第48页，共77页，2023年，2月20日，星期六x1A+x1B+x1C+x1D<=150x2A+x2B+x2C+x2D<=400x3A+x3B+x3C+x3D<=325x1A+x2A+x3A+x4A>=175x1B+x2B+x3B+x4B>=125x1C+x2C+x3C+x4C>=225x1D+x2D+x3D+x4D>=450xij>=0,i=1,2,3,4;j=A,B,C,D.第49页，共77页，2023年，2月20日，星期六问题求解MIN10x1A+4x1B+12x1C+20x1D+8x2A+10x2B+14x2C+10x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECTTOx1A+x1B+x1C+x1D<=150x2A+x2B+x2C+x2D<=400x3A+x3B+x3C+x3D<=325x1A+x2A+x3A+x4A>=175x1B+x2B+x3B+x4B>=125x1C+x2C+x3C+x4C>=225x1D+x2D+x3D+x4D>=450END第50页，共77页，2023年，2月20日，星期六稳健性分析MIN10x1A+4x1B+12x1C+20x1D+8x2A+10x2B+14x2C+10x2D+14x3A+12x3B+8x3C+8x3D+23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECTTOx1A+x1B+x1C+x1D=150x2A+x2B+x2C+x2D=400x3A+x3B+x3C+x3D=325x1A+x2A+x3A+x4A>=175x1B+x2B+x3B+x4B>=125x1C+x2C+x3C+x4C>=225x1D+x2D+x3D+x4D>=450END第51页，共77页，2023年，2月20日，星期六3.4离散最优化例3.6仍考虑农场问题。这个家庭有625英亩的土地用来种植。有5块每块120英亩的土地和另一块25英亩的土地。这家人想在每块地上种植一种作物：玉米、小麦或燕麦。与前面一样，有1000英亩-英尺可用的灌溉用水，每周农场工人可提供300小时的劳力。其他数据下表给出。求应在每块地中种哪种植物，从而使总收益达最大。第52页，共77页，2023年，2月20日，星期六农场问题的有关数据条件（每英亩）作物玉米小麦燕麦灌溉用水（英亩-英尺）3.01.01.5劳力（人-小时/周）0.80.20.3收益（美元）400200250第53页，共77页，2023年，2月20日，星期六变量x1=种植玉米的120英亩地块数x2=种植小麦的120英亩地块数x3=种植燕麦的120英亩地块数x4=种植玉米的25英亩地块数x5=种植小麦的25英亩地块数x6=种植燕麦的25英亩地块数w=需要的灌溉用水（英亩-英尺）l=需要的劳力（人-小时/周）t=种植作物的总英亩数y=总收益（美元）第54页，共77页，2023年，2月20日，星期六假设w=120(3.0x1+1.0x2+1.5x3)+25(3.0x4+1.0x5+1.5x6)l=120(0.8x1+0.2x2+0.3x3)+25(0.8x4+0.2x5+0.3x6)t=120(x1+x2+x3)+25(x4+x5+x6)y=120(400x1+200x2+250x3)+25(400x4+200x5+250x6)w<=1000,l<=300,t<=625x1+x2+x3<=5,x4+x5+x6<=1,x1,…,x6为非负整数。目标：求y最大值。第55页，共77页，2023年，2月20日，星期六整数规划的标准形式：maxy=48000x1+24000x2+30000x3+10000x4+5000x5+6250x6s.t.375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6<=1000100x1+25x2+37.5x3+20x4+5x5+7.5x6<=300x1+x2+x3<=5x4+x5+x6<=1x1,…,x6为非负整数.第56页，共77页，2023年，2月20日，星期六问题求解MAX48000x1+24000x2+30000x3+10000x4+5000x5+6250x6SUBJECTTO 375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6<=1000100x1+25x2+37.5x3+20x4+5x5+7.5x6<=300x1+x2+x3<=5x4+x5+x6<=1ENDGIN6第57页，共77页，2023年，2月20日，星期六灵敏性分析有100英亩-英尺的额外灌溉水量可用。只要灌溉水量不低于1000-25=975，最优解不会改变。可用水量只有950时，又如何？以上灵敏性分析显示，IP问题解的不可预期的特点。第58页，共77页，2023年，2月20日，星期六稳健性分析最小地块尺寸0125102050100125150200250300500玉米（英亩）187.542188451906020020012515020025000小麦（英亩）437.51436104304040040025030040025000燕麦（英亩）0582057005200025015000600500收益（美元）162500162500162400162500162000162000160000160000162500157000160000150000150000125000第59页，共77页，2023年，2月20日，星期六例如最小地块为2时，问题为：Maxy=800x1+400x2+500x3s.t.6.0x1+2.0x2+3.0x3<=10001.6x1+0.4x2+0.6x3<=300x1+x2+x3<=312x1,x2,x3为非负整数。第60页，共77页，2023年，2月20日，星期六问题求解MAX800x1+400x2+500x3SUBJECTTO6.0x1+2.0x2+3.0x3<=10001.6x1+0.4x2+0.6x3<=300x1+x2+x3<=312ENDGIN3第61页，共77页，2023年，2月20日，星期六例3.7仍考虑例3.5中的土方问题。在使用10立方码载重量的卡车运输的情况下，公司已经确定了最优的运输方案。公司又有3辆更大的卡车可用于运输，载重量为20立方码。使用这些车辆可能会在运输中节省一些资金。载重10立方码的卡车平均用20分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量20美元。载重量20立方码的卡车30分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量30美元，为最大限度地节省运输费用，应如何安排车辆的使用？第62页，共77页，2023年，2月20日，星期六第一步，提出问题路线从到英里数运量11B212522A417533C422543D410054D4350第63页，共77页，2023年，2月20日，星期六哪条路上使用哪种卡车？假设每条路上只使用一种类型的卡车。由于大卡车运量是小卡车的2倍，而费用却不到小卡车的2倍，因此，我们希望将这些卡车安排到能节约资金最多的路线上。计算每条路上使用不同类型的卡车能节约的费用。第64页，共77页，2023年，2月20日，星期六例如路线1：从1到B运125立方码，距离2英里。小卡车一次装车20分钟，卸车5分钟，每小时20英里要开6分钟，因此运一次需要31分钟。125立方码的土需要运13次，共需13*31=403分钟。假设一个工作日是8小时，这样每辆卡车工作时间不超过480分钟。因此，路线1用一辆卡车就足够。第65页，共77页，2023年，2月20日，星期六小卡车运输费用：13（次）*2（英里/次）*20（美元/英里）=520美元如果线路1用大卡车，运一次需要30+5+6=41分钟，为运走125立方码的土，需要7次，共需7*41=287分钟，因此一辆大卡车足够。大卡车运输费用为420美元，比用小卡车节省100美元。第66页，共77页，2023年，2月20日，星期六类似计算其他路线上的情况路线2：需要大卡车1辆，节约费用360美元路线3：需要大卡车2辆，节约费用400美元路线4：需要大卡车1辆，节约费用200美元路线5：需要大卡车2辆，节约费用640美元第67页，共77页，2023年，2月20日，星期六变量及假设变量：xi=1如果在路线i上使用大卡车xi=0如果在路线i上使用小卡车T=用的大卡车总数y=节约的总费用（美元）第68页，共77页，2023年，2月20日，星期六假设T=1x1+1x2+2x3+1x4+2x5y=100x1+360x2+400x3+200x4+640x5T<=3目标：求y的最大值第69页，共77页，2023年，2月20日，星期六第二步，选择建模方法二值整数规划--BIP第70页，共77页，2023年，2月20日，星期六第三步，将问题表为标准形式MAXy=100x1+360x2+400x3+200x4+