数学分析 第七章 课件 定积分

数学分析第七章课件定积分第1页，共84页，2023年，2月20日，星期六第一节 定积分的概念例1：变力作功例2：变速直线运动的路程例3：曲边梯形的面积这些例子，都归结为一种和式的极限，我们把它抽象出来，得到定积分的定义:一.背景（引入）第2页，共84页，2023年，2月20日，星期六思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（二）变速直线运动的距离第3页，共84页，2023年，2月20日，星期六（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第4页，共84页，2023年，2月20日，星期六xyoab(三)求曲边梯形的面积第5页，共84页，2023年，2月20日，星期六abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第6页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第7页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第8页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第9页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第10页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第11页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第12页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第13页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第14页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第15页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第16页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第17页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第18页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第19页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第20页，共84页，2023年，2月20日，星期六观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第21页，共84页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形面积求法：第22页，共84页，2023年，2月20日，星期六曲边梯形面积为第23页，共84页，2023年，2月20日，星期六二、定积分的定义定义7.1设函数在区间上有定义，(1)分割在内任意插入个分点。

它将分成个小区间，第个小区间的长度记为在每个小区间上任取一点(2)取点(3)作和 记作和式第24页，共84页，2023年，2月20日，星期六（4）求极限令若和式的极限存在（设为I）且不依赖于分法，也不依赖于的选取，则称在是可积的，否则称为不可积。称为在的定积分，记为即第25页，共84页，2023年，2月20日，星期六上述定义用语言给出。有了积分概念以后，上面的例子便可用其表示。例1：变力使质点从移到所作的功为例2：变速直线运动的路程，就是速度在时间段上的定积分，即第26页，共84页，2023年，2月20日，星期六例3：曲边梯形（由轴及曲线所围成的图形）的面积为几点说明：定义中的两个任意性。2.定义中，表示对无限细分的过程，但第27页，共84页，2023年，2月20日，星期六3.当我们已知可积的情况下，可取区间的特殊分法和的特殊取法来求积分和。这就是用定义求积分的依据。4.定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关，与积分变量无关。即例用定义求积分：第28页，共84页，2023年，2月20日，星期六5.规定：第29页，共84页，2023年，2月20日，星期六第二节 定积分的基本性质定理7.1(可积函数必有界)在上可积，则在上有界。但反过来不成立。例如：函数在是不可积的第30页，共84页，2023年，2月20日，星期六定理7.2(积分的线性性质)第31页，共84页，2023年，2月20日，星期六定理7.3（定积分区间的可加性）第32页，共84页，2023年，2月20日，星期六定理7.4（积分的单调性）推论7.1第33页，共84页，2023年，2月20日，星期六若在可积，则定理7.5第34页，共84页，2023年，2月20日，星期六函数的一致连续性概念设在某一区间（或开，或闭）连续，按照定义，也就是在区间中的每一点都连续，即使当时，一般说来：对同一个，当不同时，也不同

用符号：当时，第35页，共84页，2023年，2月20日，星期六例：图7.7曲线对接近于原点的就取得小一些，而当离原点较远时，却可以取大一些，对后者所取的值，对前者就不一定适用。能否找到（是否存在）一个对区间内所有点都适用的。从图大致看出，在中就没有公共的，有时却需要这种对所有点都适用的存在，这就需要第36页，共84页，2023年，2月20日，星期六设函数在区间有定义，若对任给存在只与有关而与内的点无关的，使得对任意只要就有则称在区间一致连续。用符号：当时，一致连续的定义第37页，共84页，2023年，2月20日，星期六将函数在区间的定义加以比较，可见它们截然不同：前者（连续）：给定了和来决定。一般说来，随和而改变，记为而后者（一致连续）：是只给了就能决定即只随而变，我们记为第38页，共84页，2023年，2月20日，星期六而这种对任意的都可用。仍拿的情形看：对我们不妨求出满足时，的的最大值，来看看依赖于的情况。从得：第39页，共84页，2023年，2月20日，星期六不妨设从而或故只要取则它是使成立的最大的第40页，共84页，2023年，2月20日，星期六显然，当时可见的确依赖于我们得不到一个对中每点都适用的函数也就是说在不一致连续现设是一个小于1的函数下面在来考虑由前面难导，当时则对中任意和只要就有即在区间是一致连续的第41页，共84页，2023年，2月20日，星期六应当注意：函数在某区间的连续性，只与区间中每一点及其附近的的情形有关,是局部性质而一致连续性，是整体性质函数在区间非一致连续的肯定叙述：若存在某个对任意都存在两点使得但则得在非一致收敛第42页，共84页，2023年，2月20日，星期六例1：证明在一致连续，其中而在连续但不一致连续。证明:在某区间上:连续与一致连续的关系引出：定理：定理7.6：闭区间上的连续函数一定在一致连续第43页，共84页，2023年，2月20日，星期六若在连续，则在可积一个有界函数但不可积的例子。例2函数在是不可积的定理7.6康托（Cantor）定理闭区间上的连续函数一定在一致连续定理7.7第44页，共84页，2023年，2月20日，星期六定理7.8：（积分第一中值定理）第45页，共84页，2023年，2月20日，星期六特别：当时的情形，第46页，共84页，2023年，2月20日，星期六在可积，令则是上的连续函数。定理7.9第47页，共84页，2023年，2月20日，星期六第三节微积分基本定理第48页，共84页，2023年，2月20日，星期六（一）变上限积分的定义定义

第49页，共84页，2023年，2月20日，星期六（二）变上限积分的性质：定理1第50页，共84页，2023年，2月20日，星期六二、微积分基本定理（一）Newton-Leibniz公式定理2牛顿—莱布尼茨公式第51页，共84页，2023年，2月20日，星期六证令令第52页，共84页，2023年，2月20日，星期六注:①②第53页，共84页，2023年，2月20日，星期六（二）例题例2求原式解第54页，共84页，2023年，2月20日，星期六例3求解由图形可知第55页，共84页，2023年，2月20日，星期六第四节定积分的计算（一）定积分的换元法定理7.13设函数在连续，单值函数满足:1)2)在上则有连续微商，第56页，共84页，2023年，2月20日，星期六证:

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,是的原函数,因此有且它们的原函数也存在.第57页，共84页，2023年，2月20日，星期六说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限第58页，共84页，2023年，2月20日，星期六例1.

计算解:

令则∴原式=且第59页，共84页，2023年，2月20日，星期六例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零第60页，共84页，2023年，2月20日，星期六定理2.

则证:二、定积分的分部积分法第61页，共84页，2023年，2月20日，星期六例7.

证明证:令

n

为偶数

n

为奇数则则第62页，共84页，2023年，2月20日，星期六由此得递推公式于是而故所证结论成立.第63页，共84页，2023年，2月20日，星期六第五节定积分在物理学中的

应用初步第64页，共84页，2023年，2月20日，星期六小窄条上各点的压强例4.

的液体,

求桶的一个端面所受的侧压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为第65页，共84页，2023年，2月20日，星期六说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数第66页，共84页，2023年，2月20日，星期六例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a

单位处有一质量为

m

的质点

M,该棒对质点的引力.解:

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算第67页，共84页，2023年，2月20日，星期六利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为第68页，共84页，2023年，2月20日，星期六说明:2)若考虑质点克服引力沿y

轴从a

处1)

当细棒很长时,可视

l

为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b

(a<b)处时克服引力作的功,则有第69页，共84页，2023年，2月20日，星期六引力大小为注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,第70页，共84页，2023年，2月20日，星期六1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算内容小结第71页，共84页，2023年，2月20日，星期六则有4.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式5.变限积分求导公式第72页，共84页，2023年，2月20日，星期六

6.基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限第73页，共84页，2023年，2月20日，星期六习题例1.

求解:

令则原式第74页，共84页，2023年，2月20日，星期六例2.

求解:第75页，共84页，2023年，2月20日，星期六例3.选择一个常数c,使解:

令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.第76页，共84页，2023年，2月20日，星期六例4.若解:

令试证:则第77页，共84页，2023年，2月20日，星期六因为对右端第二个积分令综上所述