弯曲剪切计算

第1页，共101页，2023年，2月20日，星期六本章内容10.1

梁弯曲时横截面上的正应力10.2

梁的正应力强度计算10.3

提高梁抗弯强度的途径10.4

梁的剪应力和剪应力的强度计算10.5

梁的主应力第2页，共101页，2023年，2月20日，星期六10.1梁弯曲时横截面上的正应力图10.1(a)所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图10.1(b)、(c)所示。由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。第3页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.1第4页，共101页，2023年，2月20日，星期六取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图10.2(a))。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图10.2(b))。可以观察到如下现象：

（1）梁变形后，横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。

（2）纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。10.1.1现象与假设第5页，共101页，2023年，2月20日，星期六根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：(1)

平面假设假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。(2)

单向受力假设将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间无挤压。第6页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.2第7页，共101页，2023年，2月20日，星期六(1)

变形的几何关系将梁变形后截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ之间的一段截取出来进行研究(图10.3)。若把OO′纵线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图10.4所示。纵线cd的线应变为10.1.2纯弯曲梁的正应力第8页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

物理关系由于假设纵向纤维之间无挤压，只受到单向轴向拉伸或压缩，所以在正应力不超过比例极限时，由拉压虎克定律可得

σ=Eε=Ey/ρ对于确定的截面，E与ρ均为常数。式(b)说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即应力沿截面高度方向成线性规律分布，如图10.5所示。第9页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

静力关系在横截面上取一微面积dA，其微内力为σdA，梁发生纯弯曲时，横截面上内力简化的结果只有弯矩M，如图10.6所示。第10页，共101页，2023年，2月20日，星期六

计算正应力时，M和y均可代入绝对值，正应力σ的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界，梁变形后凸出边的正应力为拉应力，取正值；凹入边的正应力为压应力，取负值(图10.7)。第11页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P作用(图10.8(a))。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。【解】(1)

计算固定端截面上的弯矩M

M=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm(2)

计算固定端截面上a点的正应力

Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4

σa=M/Izya=13.9MPa第12页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

计算固定端截面上的最大正应力固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力，其应力分布如图10.8(b)所示。最大正应力值为

σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa第13页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.2】简支梁受均布荷载q作用，如图10.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力σlmax和最大压应力σymax以及它们发生的位置。【解】(1)

求支座反力由对称性有

RA=RB=ql/2=5.25kN

(2)

作出弯矩图，如图10.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其值为

Mmax=ql2/8=0.44kN·m第14页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

由型钢表查得10号槽钢截面

Iz=25.6cm4=25.6×104mm4

y1=1.52cm=15.2mm

y2=3.28cm=32.8mm(4)

计算正应力最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处

σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa最大压应力发生在跨中截面的上边缘处

σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa第15页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.3第16页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.4第17页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.5第18页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.6第19页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.7第20页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.8第21页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.8第22页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.9第23页，共101页，2023年，2月20日，星期六10.2梁的正应力强度计算在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。该截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。(1)

对于中性轴是截面对称轴的梁

最大正应力的值为

σmax=Mmax/Wz式中Wz称为抗弯截面系数

10.2.1最大正应力第24页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

对于中性轴不是截面对称轴的梁例如图10.10所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为

σlmax=M/Iz·y1

σymax=M/Iz·y2令Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2则σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy第25页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.10第26页，共101页，2023年，2月20日，星期六(1)

当材料的抗拉和抗压能力相同时，即［σl］=［σy］=［σ］，则梁的正应力强度条件为

σmax=Mmax/Wz≤［σ］①强度校核在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。②截面设计当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数

Wz≥Mmax/［σ］再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。10.2.2正应力强度条件第27页，共101页，2023年，2月20日，星期六③确定许可荷载如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最大弯矩

Mmax≤Wz［σ］再由Mmax与荷载间的关系计算出许可荷载。(2)

当材料的抗拉和抗压能力不相同时，即［σl］≠［σy］，则梁的正应力强度条件为

σlmax=Mmax/Wl≤［σl］

σymax=Mmax/Wy≤［σy］第28页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.3】重物安装在如图10.11(a)所示的结构上，重物P=40kN，对称地固定在两根同型号的工字钢外伸梁上，已知工字钢的许用应力［σ］=60MPa。试选择工字钢的型号。【解】(1)

外伸梁的计算简图和弯矩图分别如图10.11(b)、(c)所示。危险截面为A截面，最大弯矩值为

Mmax=40kN·m(2)

求抗弯截面模量

Wz≥Mmax/［σ］=40×106/60mm3=667cm3

Wz是两根工字钢的抗弯截面系数，对于单根的工字钢，抗弯截面系数第29页，共101页，2023年，2月20日，星期六

Wz′=Wz/2≥667/2cm3=333cm3查型钢表有22b号工字钢，其抗弯截面系数Wz=325cm3，比所求略小，但误差仅为2.4%，没有超过5%，是允许的。故选22b号工字钢。第30页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.4】矩形截面的木搁栅两端搁在墙上，承受由地板传来的荷载(图10.12(a))。若地板的均布面荷载p=3kN/m2，木搁栅的间距a=1.2m，跨度l=5m，木材的许用应力［σ］=12MPa。试求：(1)当截面的高宽比h/b=1.5，试设计木梁的截面尺寸b、h；(2)当此木搁栅采用b=140mm、h=210mm的矩形截面时，试计算地板的许可面荷载［p］。【解】(1)

设计木搁栅的截面尺寸木搁栅支承在墙上，可简化为简支梁计算(如图10.12(b))。每根木搁栅的受荷宽度a=1.2m，所以其承受的均布线荷载为第31页，共101页，2023年，2月20日，星期六

q=pa=3×1.2kN/m=3.6kN/m最大弯矩发生在跨中截面

Mmax=ql2/8=3.6×52/8kN·m=11.25kN·m由强度条件可得所需的抗弯截面系数为

Wz≥Mmax/［σ］=937.5×103mm3由于h=1.56，有

Wz=bh2/6=b(1.5b)2/6=2.25b3/6所以2.25b3/6≥937.5×103得b≥136mm为施工方便，取b=140mm，则

h=1.5b=210mm第32页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

求地板的许可面荷载［p］当木搁栅的截面尺寸为b=140mm、h=210mm时，抗弯截面系数为

Wz=bh2/6=140×2102/6mm3=1.029×106mm3木搁栅能承受的最大弯矩为

Mmax≤Wz［σ］=1.029×106×12N·mm

=12.3×106N·mm=12.3kN·m而Mmax=ql2/8=pal2/8即pal2/8≤12.3kN·m

p≤12.3×8/1.2×52kN/m2=3.25kN/m2所以，地板的许可面荷载［p］=3.25kN/m2。第33页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.5】T形截面外伸梁的受力如图10.13(a)所示。已知材料的许用拉应力［σl］=32MPa，许用压应力［σy］=70MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。【解】(1)

画出M图如图10.13(b)，由图中可知，B截面有最大的负值弯矩，C截面有最大的正值弯矩。(2)

计算截面形心的位置及截面对中性轴的惯性矩。取下边界为参考轴z0，确定截面形心C的位置(图10.13(c))

yC=∑yiAi/∑Ai=139mm计算截面对中性轴z的惯性矩

Iz=40.3×106mm4

第34页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

校核强度由于梁的抗拉强度与抗压强度不同，且截面中性轴z不是对称轴，所以梁的最大负弯矩和最大正弯矩截面都需校核。校核B截面的强度：

B截面为最大负弯矩截面，其上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力。

σlmax=MB/Izy上=30.3MPa<［σl］

σymax=MB/Izy下=69MPa<［σy］校核C截面强度：第35页，共101页，2023年，2月20日，星期六

C截面为最大正弯矩截面，其上边缘产生最大压应力，下边缘产生最大拉应力。

σymax=MC/Izy上=5.1MPa<［σy］

σlmax=MC/Izy下=34.5MPa＞［σl］所以梁的强度不够。C截面弯矩的绝对值虽不是最大，但因截面的受拉边缘距中性轴较远，而求得的最大拉应力较B截面大。因此对于抗拉与抗压性能不同的脆性材料，当截面中性轴z不是对称轴时，对梁的最大正弯矩与最大负弯矩截面均要校核强度。第36页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.11第37页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.12第38页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.13第39页，共101页，2023年，2月20日，星期六10.3提高梁抗弯强度的途径一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应力强度条件

σmax=Mmax/Wz≤［σ］可以看出，梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。所以提高梁的弯曲强度主要从降低最大弯矩值和增大抗弯截面系数这两方面进行。第40页，共101页，2023年，2月20日，星期六(1)

合理布置梁的支座以简支梁受均布荷载作用为例(图10.14(a))，跨中最大弯矩Mmax=1/8ql2，若将两端的支座各向中间移动0.2l(图10.14(b))，最大弯矩将减小为Mmax=ql2/40，仅为前者的1/5。因而在同样荷载作用下，梁的截面可减小，这样就大大节省材料，并减轻自重。10.3.1降低最大弯矩值第41页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

改善荷载的布置情况若结构上允许把集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩值。例如简支梁在跨中受一集中力P作用(图10.15(a))，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(图10.15(b))，最大弯矩将减小为Mmax=1/8Pl，仅为前者的1/2。又如将集中力P分散为均布荷载q=P/l(图10.15(c))，其最大弯矩减小为Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原来的1/2。第42页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

合理布置荷载作用位置将荷载布置在靠近支座处比布置在跨中时，最大弯矩值要小得多。例如承受集中力P作用的简支梁，荷载作用在梁中点时(图10.16(a))，最大弯矩Mmax=1/4Pl，若荷载靠近支座作用(图10.16(b))，则最大弯矩Mmax=5/36Pl，减小近一半，且随着荷载离支座距离的缩小而继续减小。第43页，共101页，2023年，2月20日，星期六(4)

适当增加梁的支座由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，增加支座可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。例如均布荷载作用的简支梁，在梁中间增加一个支座(图10.17)，则｜Mmax｜=1/32ql2，只是原梁的1/4。第44页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.14第45页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.15第46页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.16第47页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.17第48页，共101页，2023年，2月20日，星期六(1)

选择抗弯截面系数Wz与截面面积A比值高的截面梁所能承受的弯矩与抗弯截面系数Wz成正比，Wz不仅与截面的尺寸有关，还与截面的形状有关。梁的横截面面积愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面应该是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。表10.1列出几种常用截面形状Wz/A的比值。从表中可看出，圆形截面的比值最小，矩形截面次之，工字钢及槽钢较好。10.3.2选择合理的截面形状第49页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

根据材料的特性选择截面由正应力强度条件

σlmax=Mmax/Wl=Mmax/I·y1≤［σl］

σymax=Mmax/Wy=Mmax/I·2≤［σy］可知，当截面的最大拉应力与压应力同时达到其许用值时，材料才能得到充分利用，故同时满足以上两式的截面形状才是合理的。由以上两式取等号相比得

［σl］/［σy］=y1/y2第50页，共101页，2023年，2月20日，星期六

对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，由于［σl］=［σy］，则要求y1=y2，应采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等截面。

对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，由于［σl］≠［σy］，则要求y1≠y2，应采用不对称于中性轴的截面，如T形、槽形等截面。还应注意脆性材料的［σy］往往比［σl］大得多，因此受压边缘离中性轴的距离y2应较大。第51页，共101页，2023年，2月20日，星期六表10.1几种常用截面Wz/A的比值第52页，共101页，2023年，2月20日，星期六

等截面梁的截面尺寸是由最大弯矩Mmax确定的，其他截面由于弯矩小，最大应力都未达到许用应力值，材料未得到充分利用。为了充分发挥材料的潜力，在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种横截面沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若变截面梁各横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，称为等强度梁。等强度梁的Wz(x)沿梁轴线变化的规律为

Wz(x)=M(x)/［σ］10.3.3采用变截面梁第53页，共101页，2023年，2月20日，星期六

从强度观点看，等强度梁是最理想的，但因截面变化，这种梁的施工较困难。因此在工程上常采用形状简单的变截面梁，来代替理论上的等强度梁。

例如，在房屋建筑中的阳台及雨篷挑梁，如图10.18所示，梁的截面高度是变化的，自由端较小，固定端较大。第54页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.18第55页，共101页，2023年，2月20日，星期六10.4梁的剪应力和剪应力的强度计算(1)

矩形截面梁的剪应力矩形截面梁横截面上各点处的剪应力方向都与剪力Q的方向一致，距中性轴z距离为y的任意一点处的剪应力

τ=QSz/(Izb)剪应力沿截面宽度方向均匀分布，沿截面高度方向按抛物线规律分布，如图10.19(b)、(c)所示。在中性轴处剪应力最大，其值为

τmax=3Q/2A10.4.1梁横截面上的剪应力第56页，共101页，2023年，2月20日，星期六(2)

工字形截面梁的剪应力工字形截面由腹板和翼缘组成。腹板是一个狭长的矩形，其剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，距中性轴距离为y处的剪应力

τmax=QSz/（Izd）剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布，最大剪应力产生在中性轴处，如图10.20(b)所示，其值为第57页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

圆形截面梁的最大剪应力圆形截面梁横截面上的剪应力分布较复杂，但最大剪应力仍产生在中性轴处，其方向与剪力Q的方向相同，如图10.21(a)所示，其值为

τmax=4Q/3A薄壁圆环形截面梁，最大剪应力也产生在中性轴上，如图10.21(b)所示，其值为

τmax=2Q/A第58页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.6】一矩形截面的简支梁，在跨中受集中力P=50kN的作用(图10.22(a))。已知l=10m，b=100mm，h=200mm。试求：

(1)m-m截面上距中性轴y=50mm处K点的剪应力；

(2)比较梁的最大正应力和最大剪应力；

(3)若采用32a号工字钢梁，计算最大剪应力；

(4)计算工字钢梁m-m截面上腹板与翼缘交界处E点的剪应力。【解】(1)计算m-m截面上K点的剪应力画出梁的剪力图和弯矩图(图10.22(b)、(c))，m-m截面的剪力为

Q=25kN第59页，共101页，2023年，2月20日，星期六计算Iz和Sz

Iz=bh3/12=100×2003/12mm4=66.7×106mm4

Sz=100×50×75mm3=375×103mm3

K点的剪应力为

τK=QSz/Izb=25×103×375×103/66.7×106×100MPa

=1.41MPa(2)

比较梁的σmax和τmax梁的最大剪力为

Qmax=25kN所以最大剪应力为

τmax=3/2Qmax/A

=3/2×25×103/(100×200)MPa=1.88MPa第60页，共101页，2023年，2月20日，星期六抗弯截面系数

Wz=bh2/6=100×2002/6mm3=66.7×104mm3所以最大正应力为

σmax=Mmax/Wz=125×106/66.7×104MPa=187MPa故σmax/τmax=187/1.88=99.5可见，梁中的最大正应力比最大剪应力大得多，故在梁的强度计算中，正应力强度计算是主要的。(3)

计算32a号工字钢梁的最大剪应力由型钢表查得

Iz/Szmax=27.5cmd=0.95cm第61页，共101页，2023年，2月20日，星期六

h=32cmb=13cm

t=1.5cmIz=11075.5cm4最大剪应力为

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)=9.58MPa(4)

计算m-m截面上E点的剪应力

E点以下截面对中性轴的静矩为

Sz=bt(h/2-t/2)=130×15×(320/2-15/2)mm3

=297.4×103mm3所以，E点的剪应力为

τE=QSz/Izd=7.06MPa

第62页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.19第63页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.20第64页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.21第65页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.22第66页，共101页，2023年，2月20日，星期六梁的最大剪应力产生在剪力最大的横截面的中性轴上，所以梁的剪应力强度条件为

τmax=QmaxSzmax/Izb≤［τ］在以下几种特殊情况下，需作剪应力强度校核：

(1)

梁的跨度较短；

(2)

在支座附近有较大荷载；

(3)

工字形截面的梁其腹板厚度很小；

(4)

对于木梁中顺纹的［τ］较［σ］小很多。10.4.2梁的剪应力强度计算第67页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.7】简支梁AB如图10.23(a)所示。已知l=2m，a=0.2m；梁上的荷载q=20kN/m，P=190kN；材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa。试选择工字钢梁的型号。【解】(1)

画出梁的Q图和M图，如图10.23(b)、(c)所示。(2)

根据正应力强度条件选择工字钢型号由M图可见，最大弯矩为

Mmax=48kN·m由正应力强度条件

Wz≥Mmax/［σ］=48×106/160mm3=300cm3查型钢表，选用22a号工字钢，其Wz=309cm3。第68页，共101页，2023年，2月20日，星期六(3)

剪应力强度校核由型钢表中查出22a号工字钢：

Iz/Szmax=18.9cm，d=0.75cm由Q图知，最大剪力为

Qmax=210kN由剪应力强度条件

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)=148MPa>［τ］因τmax远大于［τ］，应重新选择更大的截面。现以25b号工字钢进行试算，由型钢表查得：

Iz/Szmax=21.27cm，d=1cm第69页，共101页，2023年，2月20日，星期六再次进行剪应力强度校核

τmax=Qmax/(Iz/Szmax·d)

=210×103/21.27×10×10MPa

=98.6MPa<［τ］最后确定选用25b号工字钢。第70页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.8】施工吊车轨道矩形截面枕木如图10.24(a)所示。已知矩形截面尺寸的比例为b∶h=3∶4，枕木的许用应力［σ］=15.6MPa，［τ］=1.8MPa，吊车车轮压力P=55kN。试选择枕木截面尺寸。【解】(1)

画出梁的Q图和M图，如图10.24(c)、(d)所示。(2)

根据正应力强度条件设计截面尺寸由M图可知，最大弯矩为

Mmax=55×0.2=11kN·m由正应力强度条件

Wz≥Mmax/［σ］=11×106/15.6mm3

=705.1×103mm3第71页，共101页，2023年，2月20日，星期六由于b∶h=3∶4，有

Wz=bh2/6=h3/8所以h3/8≥705.1×103mm3得h≥178mm取h=140mm，则

b=3/4h=3/4×140mm=135mm(3)

剪应力强度校核由Q图可知，最大剪力为

Qmax=55kN最大剪应力为

τmax=3Qmax/2A=3.40MPa>［τ］=1.8MPa第72页，共101页，2023年，2月20日，星期六原设计的截面尺寸不能满足剪应力强度条件，必须根据剪应力强度条件重新设计截面尺寸。(4)

根据剪应力强度条件设计截面尺寸

τmax=3Qmax/2A=≤1.8得h2≥3×55×103×4/2×3×1.8mm2=61111mm2

h≥247mm取h=248mm，则

b=3/4h=186mm最后确定的枕木矩形截面尺寸为h=248mm，b=186mm。第73页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.8】一民用房屋的三角形屋架，桁条采用圆木，桁条间距为90cm，屋面上总荷载(包括瓦、屋面板、桁条等重量)为1.1kN/m2，木材的许用应力［σ］=12MPa，［τ］=1.3MPa。试选择桁条的梢径d0。【解】(1)

桁条的计算简图如图10.25(c)，荷载q为

q=1.1×0.9kN/m=0.99kN/m(2)

画出桁条的Q图和M图，如图10.25(d)、(e)所示。(3)

根据正应力强度条件设计桁条直径d由M图可知，

Mmax=1/8ql2=1/8×0.99×42kN·m=1.98kN·m第74页，共101页，2023年，2月20日，星期六由正应力强度条件

Wz≥Mmax/［σ］

=1.98×106/12mm3=165×103mm3

Wz=πd3/32≥165×103mm3

d≥118.9mm=11.89cm圆木直径是沿长度变化的，一般变化规律是直径沿每米长度变化为0.9cm。圆木直径一般用梢径表示，而上面求出的d是跨中的直径，故梢径d0为

d0=11.89-0.9×4/2=10.09cm取梢径d0=11cm。第75页，共101页，2023年，2月20日，星期六(4)

剪应力强度校核由Q图知，最大剪力为

Qmax=1/2ql=1/2×0.99×4=1.98kN最大剪应力为

τmax=4Qmax/3A=0.28MPa<［τ］=1.3MPa满足剪应力强度条件。第76页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.23第77页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.24第78页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.25第79页，共101页，2023年，2月20日，星期六10.5梁的主应力前面研究了梁在横截面上的应力分布规律及其计算，并建立了横截面正应力和剪应力的强度条件：

σmax≤［σ］，τmax≤［τ］但实际上梁还可能沿斜截面发生破坏。

例如图10.26所示的钢筋混凝土梁，在荷载作用下，除了在跨中产生竖向裂缝外，支座附近会发生斜向裂缝。这说明在梁的斜截面上也存在着导致破坏的应力。第80页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.26第81页，共101页，2023年，2月20日，星期六当研究梁内任意一点A斜截面上的应力时，围绕点A取出一个边长为dx的无限小的单元体abcd(图10.27)。由于单元体的边长为无穷小，可以认为各平面上的应力是均匀分布的，且平行面上的应力是相同的。单元体两横截面ab、dc上的应力σ和τ分别为

σ=M/Iy，τ=QSz/Izb单元体上、下面ad、bc上的应力可由剪应力互等定律得到(图10.27(b))。取任意斜截面ef，其外法线n与x轴的夹角为α，规定由x轴转到外法线n为逆时针转向时，则α为正。10.5.1梁内一点斜截面上的应力第82页，共101页，2023年，2月20日，星期六取ebf为研究对象(图10.27(d))。若ef面的面积为dA，则eb面和bf面的面积分别为dAcosα和dAsinα

(图10.27(e))。取垂直和平行于斜截面的坐标轴n和τ。列平衡方程∑Fn=0

σαdA+(τdAcosα)sinα-(σdAcosα)cosα+(τdAsinα)cosα=0即σα-σcos2α+2τsinαcosα=0第83页，共101页，2023年，2月20日，星期六

∑Fτ=0

ταdA-(τdAcosα)cosα-(σdAcosα)sinα+(τdAsinα)sinα=0即

τα-σcosαsinα-τ(cos2α-sin2α)=0将三角公式

cos2α=(1+cos2α)/2

2sinαcosα=sin2α

cos2α-sin2α=cos2α第84页，共101页，2023年，2月20日，星期六代入(a)、(b)两式，简化整理后得

σα=σ/2+σ/2cos2α-τsin2α

τα=σ/2sin2α+τcos2α运用式(10.13)和式(10.14)可求得梁内一点任意斜截面上的应力σα和τα。第85页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.27第86页，共101页，2023年，2月20日，星期六图10.27第87页，共101页，2023年，2月20日，星期六对式(10.13)取导数并令dσα/dα=0得σ/2sin2α+τcos2α=0剪应力等于零的截面称为主平面，主平面上的应力称为主应力。主平面的位置可由上式确定，即tan2α0=-2τ/σ

求得最大主应力σ1和最小主应力σ3：10.5.2梁的主应力及最大剪应力第88页，共101页，2023年，2月20日，星期六

表明最大剪应力等于最大主应力与最小主应力之差的一半。比较式(10.15)和式(10.17)可以看出

tan2α1=-cot2α0=tan(2α0+90°)可见剪应力极值所在的平面与主平面的夹角为45°。第89页，共101页，2023年，2月20日，星期六【例10.10】求图10.28(a)所示梁内某点单元体的主应力值及其所在的位置。【解】(1)

计算主应力值根据公式(10.16)，可得

σ1==(-20+20√2)MPa=8.28MPa

σ3=(-20-20√2)MPa=-48.28MPa(2)

计算主平面的位置根据公式(10.15)，可得tan2α0=-2τ/σ=-2×10/-20=1由三角函数知2α0=45°，α0=22.5°则α0′=α0+90°=22.5°+90°=1