微积分基本概念

微积分基本概念第1页，共17页，2023年，2月20日，星期六推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第2页，共17页，2023年，2月20日，星期六第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念第3页，共17页，2023年，2月20日，星期六一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束第4页，共17页，2023年，2月20日，星期六在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束第5页，共17页，2023年，2月20日，星期六2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.第6页，共17页，2023年，2月20日，星期六(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E

的导集

.E

的边界点)第7页，共17页，2023年，2月20日，星期六D(3)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;第8页，共17页，2023年，2月20日，星期六例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束第9页，共17页，2023年，2月20日，星期六

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o

对区域D,若存在正数

K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称

D

为有界域

,界域.否则称为无第10页，共17页，2023年，2月20日，星期六3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.第11页，共17页，2023年，2月20日，星期六的距离记作中点

a

的

邻域为机动目录上页下页返回结束规定为与零元O

的距离为第12页，共17页，2023年，2月20日，星期六二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束第13页，共17页，2023年，2月20日，星期六二：

二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．第14页，共17页，2023年，2月20日，星期六例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第15页，共17页，2023年，2月20日，星期六例1

求