应用电工学电路暂态分析

1第1页，共45页，2023年，2月20日，星期六基本要求：1、了解电路的稳态和瞬态、激励和响应的概念；3、理解电路的换路定律，掌握一阶电路瞬态分析的三要素法。2、理解储能元件的储能特性、电压电流关系和在稳态直流电路中的作用。第2章电路的瞬态分析※2第2页，共45页，2023年，2月20日，星期六2.1瞬态分析的基本概念稳定状态（稳态）电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流不变，此工作状态称为稳态。换路

引起电路工作状态变化的各种因素的统称。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。瞬态(暂态)

电路从一个稳定状态变化到另一个稳定态有一个过渡过程，这个过渡过程所处的状态称为过渡状态，简称暂态(瞬态)

。一、稳态和瞬态：※3第3页，共45页，2023年，2月20日，星期六二、激励和响应：激励：电路从电源或信号源输入的信号统称为激励或输入。

响应：电路在外部激励的作用下，或在内部储能的作用下产生的电压和电流统称为响应或输出。按响应原因的不同分为：

(1)零输入响应：电路在无外部激励的情况下，仅由内部储能元件所储存的能量引起的响应。

(2)零状态响应：在储能元件未储存能量时换路，由外部激励引起的响应。

(3)全响应：零输入响应+零状态响应。

阶跃响应：直流电源作用下的相应。※4第4页，共45页，2023年，2月20日，星期六稳态暂态稳态初始值稳态值暂态过程的变化规律Us+_SRCV1AV2t=0例：tUS0u2u1ii※5第5页，共45页，2023年，2月20日，星期六Wc=12Cu2=Cdtdui=dtdq电压电流关系储存的电场能在直流稳态时，I=0电容相当于开路。——隔直作用C为储能元件iuC+–一、电容：表征电路中电场能储存的理想元件。C=qu2.2储能元件和换路定律单位：法[拉](F)p=ui=Cudtdu瞬时功率P>0，吸收功率P<0，释放功率※6第6页，共45页，2023年，2月20日，星期六电容串联C2C

C1=+等效电容第2章2

2uC1+–C2u1u2+––+电压分配关系电容并联uC1+–C2等效电容u1=C1C2+uC2u2=C1C2+uC1=C

1C11+C11※7第7页，共45页，2023年，2月20日，星期六u=Ldtdi电压电流关系WL=12Li2储存的磁场能在直流稳态时，U=0电感相当于短路。L为储能元件iu+–e+–L二、电感：表征电路中磁场能储存的理想元件磁链（Wb）L=i单位：亨[利](H)瞬时功率p=ui=LidtdiP>0，吸收功率P<0，释放功率※线圈匝数

磁通

8第8页，共45页，2023年，2月20日，星期六无互感存在时等效电感为串联第2章2

2L1L2L2L1并联L2L

L1=+=L

1L11+L11电感的串并联：※9第9页，共45页，2023年，2月20日，星期六电路产生暂态过程的原因:电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即换路定律:在换路瞬间，电感的电流iL和电容的电压uC不能跃变。三、换路定律电感元件的储能WL=12L

iL2不能跃变WC=12C

uC2电容元件的储能不能跃变※10第10页，共45页，2023年，2月20日，星期六iL(0+)=iL(0-)uC(0+)=uC(0-)设

t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。则换路定律用公式表示为：(1)作出t=0-的等效电路，在t=0-的等效电路中，求出iL(0-)和uC(0-)。(2)作出t=0+的等效电路，求出待求电压和电流的初始值。(3)在t=∞的等效电路中，求出稳态值。步骤:

注意：换路定律只适用于换路瞬间，用来确定换路后iL和uC的初始值。※11第11页，共45页，2023年，2月20日，星期六0短路U00断路I0U0+–I0uct=0–

t=0+iL+–暂态过程在直流激励下的初始值和稳态值的确定

t=时电容相当于断路,电感相当于短路。※12第12页，共45页，2023年，2月20日，星期六例2-1已知iL(0-)=0,uC(0-)=0,试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。t=0+时的等效电路为uC(0+)=uC(0–)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0–)=0UUR1u1(0+)=i1(0+)R1=Uu2(0+)=0uL(0+)=U解：SCLR2R1+-t=0根据换路定律及已知条件可知，iL(0+)=iL(0–)=0uC(0+)u2(0+)+-R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)+

-u1(0+)i1(0+)+-++--U电路中各电压电流的初始值为iL(t)+

uC(t)※13第13页，共45页，2023年，2月20日，星期六例2-2已知US=5V，IS=5A，R=5。开关S断开前电路已稳定。求S断开后R、C、L的电压和电流的初始值和稳态值。SCLR+iRiLiCISUS解：

设待求的各电压、电流参考方向如图所示1.求初始值作t=0时的等效电路–uL+–uC+–uR+–SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–※14第14页，共45页，2023年，2月20日，星期六t=0-时的等效电路1.求初始值在此电路中只需求出iL(0-)和uC(0-)iL(0–

)=USRuC(0–

)=0作t=0+时的等效电路=1A5A5ViL(0–)=1AuC(0–

)=0iC(0+)=iL(0+)+IS=1+5=6A(0+)=1AiR(0+)=5VuR5uL(0+)=US-uR(0+)=0V解：SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–1A+–uL5A5V5SCuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–L※15第15页，共45页，2023年，2月20日，星期六作t=时的等效电路2.求稳态值iC()=0iL()=–IS=–5AiR()=–IS=

–5AuL=0()=uCUS–uR()=30VuR()=iR()R=

–25V5A5V5SCLuCuRuLiRiCISRiL+US–+–+–+–※16第16页，共45页，2023年，2月20日，星期六1.RC电路的零输入响应RCt=0ba+-U0iCS根据KVL

uR+uC

=0uC(0-)=U0S合向b后2.3RC电路的瞬态分析uRuC+–+–RCduC

dt+uC=0duC

dtiC=C

把代入上式得uC

=

Aest通解——线性齐次常微分方程零输入响应：换路后外部激励为0。17第17页，共45页，2023年，2月20日，星期六代入通解，得：A=U0则由特征方程RCs+1=0得s=–1/RC

通解uC

=

Ae–t/RC

确定积分常数A，

uC

=

U0e

–t/RC

※uC

=

Aest将初始条件t=0、uC(0+)=uC(0–)=U0

RCt=0ba+-U0iCSuRuC+–+–线性齐次常微分方程的通解√uC从初始值以指数规律衰减18第18页，共45页，2023年，2月20日，星期六RCt=0ba+-U0iCSuRuC+–+–

uC

=

U0e

–t/RC

uR

=–uC

=–U0e

–t/RC

e

–t/RCU0RiC=––—otU0-U0U0RuCuRiC小结(2)在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。(1)R、C应理解为等效的电阻和电容※负号表示实际方向与参考方向相反！波形图19第19页，共45页，2023年，2月20日，星期六uC

0tU00.368U01233>2>1

=RC—时间常数uC()=0.368U0FS时间常数越大，过渡过程进行得越慢。理论上电路经过无穷大的时间才能进入稳态，由于当t=3时，uC已衰减到0.05U0，所以工程上通常在t>3以后认为暂态过程已经结束。

uC

=

U0e

–t/RC

※

uC

=

U0e

–t/τ

决定uC衰减的快慢20第20页，共45页，2023年，2月20日，星期六例:下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，t=0时开关S由a点合向b点，试求:t≥0时uc、i1、

i2和

i3

随时间的变化规律，画出变化曲线。t=0ba+-SuC

4k2k4k8k10µF+-10Vi1i2i3uC(0+)=uC(0-)=104/(2+4+4)=4V解:这是一个零输入响应电路，各部分电压和电流的变化规律都是由初始值按同一指数规律衰减到零。故，只需求出电路的时间常数及各待求量的初始值即可得到解答。U0=4V※

uC

=

U0e

–t/τ

21第21页，共45页，2023年，2月20日，星期六U0=4VR0=(4//4)+8=10k=R0

C=101031010–6=10–1s=

U0

e–t/uC=4e

–10tV解:求时间常数电路时间常数=R0

CR0是从动态元件两端看进去的等效电阻i2(0+)=–4(4//4)+8=–0.4Ai1(0+)=i3(0+)12=i2(0+)=–0.2AbSuC

4k4k8k+i1i2i3–CR0※而C=10µF22第22页，共45页，2023年，2月20日，星期六Cduc

dti2=i1=

i3

=i2/2=

U0

e–t/uC=4e

–10tV然后根据电容元件的伏安关系求得i2=–0.4e

–10tmA进而得出=–0.2e

–10tmAt=0ba+-SuC

4k2k4k8k10µF+-10Vi1i2i3※负号表示实际方向与参考方向相反！注意单位！23第23页，共45页，2023年，2月20日，星期六i1=

i3

=i2/2uc4Vi2–0.4mAi1

i3–0.2mA0tiu=

U0

e–t/uC=4e

–10tVi2=–0.4e

–10tmA=–0.2e

–10tmA各电压电流随时间变化曲线※24第24页，共45页，2023年，2月20日，星期六uC(0-)=0RCuRt≥0ba+USiSucS合向a后2.RC电路的零状态响应–+–+–根据KVL，列出t≥

0时电路的微分方程uR+uC

=USRCduC

dt+uC

=US特解可取换路后的稳态值uC()

=US的通解为AeSt=

Ae

–t/RC

对应的齐次微分方程RCduC

dt+uC

=0其通解=对应的齐次方程的通解+任一特解(2.3.5)零状态响应：换路前电容中无储能。※一阶线性非齐次常微分方程25第25页，共45页，2023年，2月20日，星期六RCuRt≥0ba+USiSuc–+–+–RCduC

dt+uC

=US(2.3.5)上式的通解为uC=Ae–t/RC+US

积分常数由初始值确定，将t=0，uC=0，代入通解，得A=–USuC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/)于是求得e

-t/RCUSR=i

=CduC

dt时间常数=RC※√uC从0开始以指数规律增大至US。26第26页，共45页，2023年，2月20日，星期六RCuRt≥0ba+USiSuc–+–+–uC

=US–USe

–t/RC

=US

(1–e–t/)e

-t/RCUSR=i

=CduC

dtuR

=US–uC=U

Se

-t/RCtuCuRUS0ui时间常数=RC当t=时，uC

=63.2%US0.632US由于当t=3时

uC

=0.95US所以当t≥3以后，即可认为暂态过程已经结束。※27第27页，共45页，2023年，2月20日，星期六uC(0-)=U0S合向a后RCduC

dt+uC

=USuC=

US+A

e

-t/

uC(0+)=uC(0-)=U0t=0时,U0=US+A

e

-t/

A=U0–USuC

=

US+

(U0–US)e

-t/

US0tuiU0稳态分量USuC(全响应)U0–

US暂态分量(U0-

US)

e

-t/全响应=稳态分量+暂态分量3.RC电路的全响应RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–i=CduCdtUS–U0R=e

-t/iUS

–

U0RuR※28第28页，共45页，2023年，2月20日，星期六

uC

=U0e

-t/

+US(1–e

-t/

)全响应=零输入响应+零状态响应RCt≥0ba+USiSuc–+–+–U0+–US>U0求RC电路的全响应，也可应用线性电路的叠加原理得到解答。uRUS0tuU0uCUS<U0U00tuUSuC=

US+

(U0–US)e

-t/

※29第29页，共45页，2023年，2月20日，星期六SRRLiL(0+)=iL(0-)=I0=LRiL

=I0e

-t/uR

=USe

-t/uL

=-USe

-t/0tUSuR-USuLiLI0t=0–t≥01.RL电路的零输入响应2.4RL电路的瞬态分析uL–+根据KVL有uR+uL=0uR–+iL–+USLdiL

dt+R

iL=0解此方程式，可得式中设电路已处于稳态R应理解为从电感两端看进去的等效电阻

iL(0-)=USR=I0※iL从初始值开始以指数规律衰减至030第30页，共45页，2023年，2月20日，星期六SRRL

=LRiL

=I0e

-t/uR

=USe

-t/uL

=-USe

-t/0tUSuR-USuLiLI0t≥0uL–+uR–+iL–+US在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。在换路瞬间电感的电流不能突变，而其两端的电压则由零跳变到U。※31第31页，共45页，2023年，2月20日，星期六Rt≥0baS设电路已处于稳态iL(0-)=0换路瞬间=LRt0uiL2.RL电路的零状态响应uL–+–+US–+uR换路后的电路有uR+uL=USLdiL

dt+R

iL=USiLiL(0+)=0解此方程式，可得iL=（1-e

-t/）USR=IS(1-e

-t/)uL

=USe

-t/uR

=US(1-e

-t/)USiLUSRuLuR各电压、电流变化曲线※32第32页，共45页，2023年，2月20日，星期六RSRL全响应=零输入响应+零状态响应3.RL电路的全响应t≥0uL–+–+US–+uRiL设t<0时，iL(0-)=I0。在t=0时，将开关S合上，则t≥

0时电路的响应即为全响应，故可用叠加原理得到解答=LRiL=（1-e

-t/）USR+IS(1-e

-t/)e

-t/I0+令=IS

则USRiL=e

-t/I0=IS+(I0–IS)e

-t/式中※33第33页，共45页，2023年，2月20日，星期六2.5一阶电路瞬态分析的三要素法只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路，称为一阶电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。uC

=

uC()+

[uC(0+)–

uC()]e

-t/

一阶电路响应的表达式:uC

=

US+

(U0–US)e

-t/

iL=IS+(I0–IS)e

-t/f

(t)=

f

()+

[f(0+)

–

f()]e

-t/

归纳为:稳态值初始值时间常数在一阶电路中,只要求出待求量的稳态值、初始值和时间常数这三个要素，就可以写出暂态过程的解。R：在换路后的等效电路中，从储能元件两端看进去的除源等效电阻。※√34第34页，共45页，2023年，2月20日，星期六例：在下图中，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。U13V6VR2R12k1kC3FSt=0abU2uC

解：+–+–+–uC(0+)=uC(0-)=———=2VR1+R2R2•U1

uC()=———=4VR1+R2R2•U2先确定uC(0+)、uC()和时间常数

※35第35页，共45页，2023年，2月20日，星期六等效电阻R：从C两端看进去的等效电阻R2R12k1kRoRo=R1R2=(R1R2)C=—×3=2ms23uC=

uC()+

[uC(0+)–uC()]e

-t/

uC

=4–2

e–

500tVt(S)uC(V)402end36第36页，共45页，2023年，2月20日，星期六本章小结：1、稳态和瞬态、激励和响应的概念；2、储能元件的储能特性：

电感上的电流不能跃变；电容上的电压不能跃变。3、换路定律：iL(0+)=iL(0-)uC(0+)=uC(0-)4、RC、RL电路的瞬态响应：零状态响应、零输入响应、全响应5、一阶电路瞬态分析的三要素法f

(t)=

f

()+

[f(0+)

–

f()]e

-t/

※37第37页，共45页，2023年，2月20日，星期六作业1：P512.3.1P522.6.1※作业2：38第38页，共45页，2023年，2月20日，星期六+–