流体力学课件第6章：可压缩气体一元流动

本章介绍从流体力学原理出发研究可压缩性一元流动的一般方法

伯努利方程等熵关系式连续性方程状态方程介绍长管可压缩流动的研究方法

第六章可压缩气体一元流动

可压缩流体：≠const

6.1

问题的提出可压缩流动下，流速受什么因素限制？密度为变数的情况下，如何从质量守恒和能量守恒关系导出流动参数的变化规律？如何获得超声速气流？如何避免不利因素而对流动装置进行优化设计？

热力学基本公式状态方程：热力学第一定律：加入系统的能量=内能的增加+系统对外界所作的功（：比容）比热：单位质量的气体，温度升高1K所需的热量焓和熵气体做绝热且没有摩擦损失的流动时，熵不发生变化，称为等熵流动。6.2压缩性气体的能量方程沿流线伯努利方程写为考虑一个短管内的高速一元定常流动，假定①忽略重力，②忽略散热—绝热等熵流动利用等熵关系式积分或或上式可写成：比不可压流动多一项于是可见：等熵流动时，温度与速度有关，速度提高则温度降低。6.3小扰动波的传播及声速

在可压缩流体中，如果某处产生一个局部的微弱压力扰动，这个压力扰动将以波面的形式（称为小扰动波）在流体内传播，其传播速度称为音速（或声速），记作c(a)。

如用锤击鼓时，引起鼓膜的震动，势必挤压邻近的一层空气，使其压强和密度稍微升高，于是它有挤压外层的空气，依次传递下去‥‥‥当鼓膜一凸一凹震动时，会使邻近空气压强一升一降，使密度一密一疏的产生微弱扰动。

因此，音速实际上是发声器所发出的微弱扰动而引起周围空气的一种微弱扰动波（小扰动波），一般称为声波或音波。扰动在流体内的传播是以“波”的形式进行的，称为“扰动波”。扰动波通过流体的某一部分介质后使其流动参数发生变化。在受扰部分与未受扰部分之间有一个界面，称为“波阵面”。

声速就是小扰动波阵面在流体中的传播速度。说明：①扰动波的传播速度与流体本身的运动速度完全不同。②声音的传播依赖于产生扰动波的介质。

如图6-1所示，在一个截面积为A、足够长的直圆管中充满了静止的气体，将圆管左端的活塞以微小速度dV向右轻微地推动一下，使活塞右侧的气体压强升高一个微小增量dp，dp所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧贴活塞的那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次一层一层地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃，就是压缩波mn，它以速度c

向右推进。压缩波面mn是受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强为p、密度为ρ、温度为T，波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样的微小速度dV向右运动，其压强增高到p+dp，密度和温度也相应增加到ρ+dρ和T+dT。图6-1微弱扰动波的一维传播

显然，这是非定常流动。为了得到定常流动，可以设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由ρ、T增加到ρ+dρ、T+dT。如图6-1(b)所示，取包围压缩波的控制面，根据连续性条件，在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等，即化简后，得

（6-1）由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。于是对于控制面，根据动量定理利用连续方程，得（6-2）由式（6-1）和式（6-2）得略去小量，得（6-3）式（6-3）与物理学中计算声速的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是声速。在式（6-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。不同介质的压缩性不同，压缩性小的扰动波传播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反映了流体可压缩性的大小。由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与流体来不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为微小，摩擦阻力被忽略，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝热过程，即等熵过程（Laplace，1816）。根据等熵过程关系式和理想气体状态方程代入（6-3），得到气体声速（6-4）由式（6-4）可知，气体中的声速与气体常数γ、R及温度有关。在同一流场中，不同时刻，不同点的温度若不同，则声速也不同。所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。对于空气：γ=1.4，R=287N·m/(kg·K)

声速是相对于流体运动而言的小扰动传播速度。

声速是标志着流体压缩性的一个重要参数。声速小使密度改变dρ所需的压强dp小，流体易压缩。反之，声速大表明流体难压缩。对于不可压缩流体声速趋于无限大，即小扰动在不可压缩流体中的传播是瞬时的，而在压缩性流体中的传播是需要一段时间的，这是不可压缩流体和可压缩流体的本质区别之一。对于液体和弹性介质，压强的变化对温度的变化影响很小，弹性模量可写为声速对20℃的水，查附表A-1得，E=2.18x109N/m2，ρ=998.2kg/m3，所以声速c=1478m/s。对于理想刚体，弹性模量E趋于无限大，声速也趋于无限大。实际计算中，常用气体速度V与当地声速c的比值来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准Ma称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一个重要参数。马赫数Ma表征流体的惯性力与压缩的弹性力之比。按Ma的大小，可压缩流体流动分成三种类型。Ma<1，亚音速流动；Ma≈1，跨音速流动；1<Ma≤3，超音速流动；Ma>3，高超音速流动。

（6-5）微弱扰动波的空间传播

前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论微弱扰动波在空间流场中的传播。为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源，每隔1s发生一次微弱扰动，现在分析前3s产生的微弱扰动波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的，是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。a．静止流场(V=0)b.亚声速流场(V<c)c.声速流场（V=c）d.超声速流场（V>c）

1．静止流场(V=0)

在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周传播，形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在3s末的传播情况如图(a)所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传播是无界的。2．亚声速流场(V<c)

在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图(b)所示。由于扰动源本身以速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播也是无界的。3．声速流场（V=c）

在声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图(c)所示。由图可见，由于V=c，所以扰动波已不能逆流向上游传播，所有扰动波面是与扰动源相切的一系列球面。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但无论它怎样扩大，也只能在扰动源所在的垂直平面的下游半空间内传播，永远不可能传播到上游半空间。也就是说，微弱扰动波在声速气流中的传播是有界的。

4．超声速流场（V>c）

在超声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s末的传播情况如图5-2(d)所示。由图可见，由于V>c，所以相对气流传播的扰动波不仅不能向上游传播，反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自扰动源点出发的圆锥面的一系列内切球面，这个圆锥面就是马赫锥。随着时间的延续，球面扰动波不断向外扩大，但也只能在马赫锥内传播，永远不会传播到马赫锥以外的空间。也就是说，微弱扰动波在超声速气流中的传播也是有界的，界限就是马赫锥。

马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用θ表示。由图(d)可以容易地看出，马赫角θ与马赫数Ma之间的关系为

马赫角从90°[这时相当于扰动源以声速V=c流动的情况，如图(c)所示]开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。（6-6）

马赫锥外面的空气不受影响，故又称为寂静区。当飞机作超音速飞行时，在飞机的前方听不道声音，只有当飞机掠过头顶时才能听到声音。因此，陆地上的交通车辆不应以超音速行始，否则行人将听不到车辆的鸣笛声。例：子弹在15℃的大气中飞行，以测得其头部的马赫角是40°，求子弹的飞行速度u。

上述关系也适用于气流流过一静止微小障碍物时的情况。假如气体以与上述扰动源的运动速度数值相等而方向相反的速度作等速直线运动，则扰动源就成为静止微小障碍物，即图(a-d)中的3点就是静止扰动源，而扰动源所发出的扰动波（图中的各圆）不断地被气流以速度-V带走。很明显，在（即）的亚声速流动时，带走的各扰动波在一定时间后可达到空间中的任何一点。也就是说，扰动波不仅能顺流传播，而且也能逆流传播。但在（即）的超声速流动时，带走的各扰动波只能在马赫锥内顺流传播，不能逆流传播，也就是说在超声速流动中的微弱扰动不能传播到整个空间。这就是超声速流动和亚声速流动的一个重要差别，从而使这两种流动的图形有着根本的不同。一元定常流的连续方程或由考虑管道截面变化对一元可压缩流的影响，忽略摩擦效应和热交换，忽略重力。

气流参数与通道面积的变化关系可得6.4压缩性气流的连续性方程马赫数声速代入连续性方程或则则②M>1，超声速流动，A↑则V↑，ρ↓，P↓，T↓①M<1，亚声速流动，A↓则V↑，ρ↓，P↓，T↓③M=1，

临界状态：流速达到声速时A为极小值（临界截面）。与不可压气体流动相反，原因是气体密度减小（膨胀）。应用：收缩性喷嘴，流速最大可达声速（最小截面处），要想得到超声速必须采用缩放型喷管—拉伐尔喷管。

讨论

可压缩流体作一元等熵流动时，当流速发生变化时，温度、压力和密度等也发生变化。这些热力学参数的变化关系，都可以表示为无量纲（如马赫数）的函数。也称为气体动力学函数。等熵流动的总能量是常数，可以用某一个参考点的参数表示。6.5压缩性气流中各参数的变化规律V=0的热力学状态参数：根据利用状态方程和等墒关系式，推出下列关系式：一、滞止参数（流体速度为零的热力学状态）气流速度加快、马赫数增大时，温度降低，压强减低，气体膨胀。对于空气，γ=1.4，当Ma=0.3时，ρ0/ρ=1.0456，密度的变化小于5％，因此通常不考虑压缩性。高速流动中温度的测定，测得温度为滞止温度T0，而不是流体温度T。故应修正：例：对空气，T0=52℃，γ=1.4，R=287J/kg，V=200m/s,则

T=32.1℃，T0-T≈20℃，可见必须予以修正。状态参数则：空气γ=1.4,另外：注意：在流动过程中声速是变化的，二、临界参数（流体速度等于声速，即Ma=1的状态）温度降至绝对零度，气流速度达到最大值的极限状态。则有三、最大速度状态习题6-166-176.6压缩性气体经喷管的流动一、收缩型喷管（或孔口出流）储气罐中的压缩气体经喷管或孔口流出，可视为绝热流动，根据得及实际应用时，需乘以流量系数加以修正喷管质量流量喷管截面积出口速度最大只能达到声速，此时喷管出口压强降至临界压强p*，流量Qm达到最大值。如果喷管出口外面压强（一般称背压）小于p*，喷管出口压强和流量不变，气体在出口外部进行膨胀。二、经拉伐尔喷管的流动拉伐尔喷管是瑞典工程师拉瓦尔（deLaval）发明的，用于产生超音速气流，它由收缩段﹑喉部及扩张段三部分组成，气流在收缩部分加速，在最小截面（喉部）上达到临界状态，然后在扩张段继续加速成超音速，整个流动为等熵流动。拉伐尔喷管内的流速和流量仍然可以用上述收缩型喷管的公式计算，流量系数一般取0.96～0.99。喉部压强为临界压强p*，将代入，可得临界质量流量和截面积喷管出口流量与喉部相同，出口与喉部截面积之比为任意两个截面面积比与马赫数的关系：连续方程等墒关系滞止参数所以考虑粘性摩擦，热交换对等径长管内一元可压缩流的影响。一、基本方程连续方程：或动量方程：6.7压缩性气体的等径管流或切应力：于是，运动方程可写为面积：定常流动加速度：假定包含流体的管段dl（含管壁）无外力功，外界传热量为dq，忽略管壁内能增量，能量方程可写为或状态方程由连续方程动量方程能量方程：①④②③即绝热无摩擦流动即绝热有摩擦等径管流即无摩擦等径管流即等径等温管流代入能量方程，整理可得讨论：(1)M<1时，dV>0，摩擦使气流沿程加速，且dT<0，降温(2)M>1时，dV<0，摩擦使气流沿程减速，且dT>0，升温(3)最大管长lmax

：气流加速到当地声速时的管长二、绝热有摩擦等径管流沿程流速(V1=入口流速）：沿程压力(p1=入口压力）：沿程温度(T1=入口温度）：讨论：⑶⑴⑵时，dV>0，沿程加速，吸热；存在最大管长lmax时，dV<0，沿程减速，放热；三、等温等径管流沿程流速V2：沿程压力p2：体积流量：对小压差流动，p1p2，则：（达西公式）习题6-186-206-226.8膨胀波与激波膨胀波是小扰动在超音速气流中传播的物理现象。所谓小扰动指的是使流动参数发生小变化是个微量，因而可以略去高阶小量而使得方程线性化。它的特点是扰动以当地音速传播，扰动波在传播过程中波形不变。

当飞机、炮弹和火箭以超音速飞行时，或者发生强爆炸、强爆震时，气流受到急剧的压缩，压强和密度发生急剧增加，这时所产生的压强扰动将以比声速大得多的速度传播，波阵面所到之处气流的各种参数发生突然的显著变化，产生突跃，这个强间断面叫做激波阵面。一.膨胀波

当超音速气流中出现微弱压力扰动时，这个微弱扰动可以传播到流场的一部分区域，扰动区和未扰动区的分界面是马赫线（马赫波）。如果扰动源是一个低压源，则气流受扰动后压强将下降，速度将增大，这种马赫波称为膨胀波—降压增速波；反之，如果扰动源是一个高压源，则气流受扰动后压强将增加，速度将减小，这种马赫波称为压缩波—增压减速波。由于通过马赫波时气流参数值变化不大，因此气流通过马赫波的流动仍可作为等熵流动过程。

如图，由于气流外折一个角度，流通面积增加，由可压缩流体连续性方程：

在超音速气流的情况下，速度增加。且马赫数增大。如图,马赫线OL与速度VL夹角就是马赫角θ。取波面控制体，联立连续性方程和等熵过程热力学方程，可得：凸壁面,dθ>0,dM>0,即马赫数增大，气流加速。凹壁面，dθ<0,dM<0,即马赫数减小，气流减速。如果气流连续折过几个微小角度，则会产生几个马赫波。

如果超音速气流折过一个有限角△θ，则会产生无数个汇交于O点的马赫波，这些发散的马赫波称为膨胀波。

求得θ与M1、M2的关系式：——普朗特-迈耶函数。二.激波1.正激波的形成

以气体中的微弱扰动波在直圆管中传播的情况为例来说明正激波形成的物理过程。如图所示，在一个充满静止气体的直圆管中，活塞向右突然加速到某一速度Vg，活塞右侧的静止气体受压后被扰动形成一个压缩波向右移动，已被扰动的气体的压强从p1升高到p2。设p2-p1是一个有限的压强量。为了分析方便起见，假定把这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量dp的总和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加dp。当活塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速c1传到未被扰动的静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速c2传到已被第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。在t=0～△t时段，活塞速度增至△V，气体被扰动产生音波：波后的温度从T1增至T1+△T1，波后气体以△V向右运动。在t=△t～2△t时段，活塞速度增至2△V，产生第二道音波：c2＞c1，第二道音波很快将赶上第一道音波。

以此类推，第三个微弱扰动波又以比第二个略快一些的声速向右传播，…。经过一段时间后，后面的微弱扰动波一个一个追赶上前面的波，波形变得愈来愈陡，最后叠加成一个垂直于流动方向的具有压强不连续面的压缩波，这就是正激波。激波的性质和原来的各个小压力波有很大的不同。气流通过激波除压强突跃地升高外，密度和温度也同样突跃地增加，而速度则下降。激波是以大于其前方气体的声速来传播的。

由于激波是无数道压缩波叠加而成的，使气流的性质发生质的变化，激波前后参数不再等熵。所以激波与声波有本质的区别。激波压缩是一个绝热，增熵过程。

激波的厚度非常小，激波不连续变化是在与气体分子平均自由行程同一数量级（在空气中约3×10-4mm左右）内完成的。例如，在标准大气压、M=2的超音速气流中的激波厚度约为2.5×10-5cm。在这个非常小的厚度内，气体的压强﹑密度﹑温度等发生急剧变化，内部结构很复杂，人们通常忽略其厚度，认为波面是一个间断面，激波前后的参数发生