时间序列分析

时间序列分析第1页，共150页，2023年，2月20日，星期六经济分析中所用的三类重要数据中，时间序列数据是其中最常见的，也是最重要的一类数据。因此对时间序列数据的分析就成了计量经济分析最为重要的内容之一。迄今为止，对时间序列的分析是通过建立以因果关系为基础的结构模型进行的。第2页，共150页，2023年，2月20日，星期六本章所提的时间序列分析方法是伯克斯－詹金斯（Box－Jenkins）1970年提出的，特指ARIMA模型。它适用于各种领域的时间序列分析。

时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。（原因是：该类模型并非产生于经济领域）⑵明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。第3页，共150页，2023年，2月20日，星期六时间序列模型的用处：研究序列本身的变化规律便于结构模型和时间序列模型的预测是非经典计量经济学的基础之一，如协整、VAR模型、面板、ARCH、GARCH模型等。第4页，共150页，2023年，2月20日，星期六建立时间序列模型主要包括三个步骤：第一，时间序列的识别及模型形式的选择；第二，模型参数的估计；第三，模型的诊断检验。上述三个步骤中最重要的是第一步。通过对相关图及偏相关图的分析，确定模型的形式。对于给定的时间序列，模型形式的选择确定并不是唯一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式的选择就越准确合理。第5页，共150页，2023年，2月20日，星期六注意：1.通常说的时间序列模型就是B－J模型；通常说的时间序列分析方法就是指B－J模型的分析方法。2.B－J模型不考虑以经济理论为依据的解释变量的作用，只是根据变量本身的变化规律来建立B－J模型。3.B－J模型是一组精度较高的短期预测模型。4.对同一个样本，B－J模型不是唯一的，但有一个最好的，关键在于模型的识别和经验。5.B－J模型只适用于平稳序列，对非平稳序列建模前必须平稳化处理。6.B－J方法不能建立多变量之间的时序模型。第6页，共150页，2023年，2月20日，星期六第一节时间序列分析的基本概念

经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。或者变量之间存在着长期均衡关系。然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量并不满足这一假设。第7页，共150页，2023年，2月20日，星期六这种情况下，就会出现“伪回归”问题。估计方法所给出的经典t检验和F检验，会给出产生误导作用的结果。为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量的非平稳性的系统性检验和协整。在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些术语和定义。第8页，共150页，2023年，2月20日，星期六一、随机过程与平稳时间序列（平稳随机时间序列）

（一）随机过程（StochasticProcess，简称S.P）由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，简称为过程。记为{x(s,t),sS,tN}（简记x(t)或xt）。S为样本空间，N为样本容量。对于每一个t，tN，x（，t）是样本空间S中的一个随机变量；对于每一个s，sS，x（s，）是随机过程在有序数集N中的一次实现。其中，t称为参数，T称为参数集。第9页，共150页，2023年，2月20日，星期六随机变量与随机过程的区别：1.随机变量是定义在样本空间的单值实函数；随机过程是一组时间t的函数。2.对应一定的试验和样本空间S，随机变量与t无关；随机过程与t有关。3.随机变量描述的是某一特定时点的静态值，随机过程描述的是事物发展过程。联系：1.随机过程具有随机变量的特性，而且有普通函数的特性。2.随机变量是随机过程的特例或子集。3.当随机过程固定于某一时间t时，就得到了相应时点的随机变量。第10页，共150页，2023年，2月20日，星期六常见的参数集有：

T={0，1，2，…},T={1,2,…},T={…,-2,-1,0,1,2,…},Y=[a,b],T=[0,+∞),T=[-∞,+∞]

等等。第11页，共150页，2023年，2月20日，星期六

比如要记录某市日电力消耗量数值，就可把每日的电力消耗量看做一个随机变量，并构成一个随机过程{xt}，t＝1，2，…，365。当该市一年的日电力消耗量观测值被记录之后，这组数据就是一个时间序列。（二）时间序列与随机过程关系随机过程的一次记录结果称为时间序列，简称随机时序或时序。也用{xt}或x(t)表示。如记录某一年的水位值等。第12页，共150页，2023年，2月20日，星期六（三）随机过程的平稳性S.P平稳S.P非平稳S.P强平稳S.P（狭义平稳）宽平稳S.P（广义平稳）白噪声S.P正态过程强非平稳S.P宽非平稳S.PS.P的统计特性是否随时间t而变化；如果是，则为非平稳S.P；如果否，则为平稳S.P。第13页，共150页，2023年，2月20日，星期六

1.强平稳S.P对时间t的任何子集（t1，t2，…，tn）以及实数k，（ti+k）N（i=1，2，…，n），若某随机过程x(t)的概率分布满足F（t1，t2，…，tn）=F(t1+k,t2+k,…,tn+k),则称x(t)为强平稳随机过程（概率分布与时间无关），也称狭义的S.P。第14页，共150页，2023年，2月20日，星期六由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之。一个时间序列是“弱平稳的”，如果：(1)均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（8.1）(2)方差Var(Xt)=E(Xt－μ)2=σ2，t=1,2,…（8.2）(3）协方差Cov（Xt,Xt+k）=E［〔Xt－μ〕（Xt+k－μ）］＝rk，t=1,2,…，k≠0（8.3）

协方差与t，t+k的位置无关，只与k有关。rk为自协方差函数。如果说一个序列是平稳的，则一般指二阶宽平稳。2.弱平稳性（宽平稳

S.P）第15页，共150页，2023年，2月20日，星期六强、宽平稳之间的联系：1.强平稳宽平稳2.

宽平稳强平稳3.强平稳+二阶矩存在宽平稳4.对于正态过程，强平稳宽平稳，正态过程是平稳的。3.白噪声S.P（二阶宽平稳）对于某随机过程x(t),若满足：E[x(t)]=0,Var[x(t)]=σ2=常数，Cov(xt,xt+k)=0,tN,t+kN(k0),则称此过程为白噪声过程。Cov(xt,xt+k)=σ2,k=00,k0第16页，共150页，2023年，2月20日，星期六4.随机漫步(随机游走过程）（Randomwalk）

随机漫步是一个简单随机过程，Xt由下式确定：Xt=Xt－1+εt（8.4）其中εt为白噪声。则称该过程为随机游走过程。Xt的均值：E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1）+E(εt）=E(Xt－1）这表明Xt的均值不随时间而变。为求Xt的方差，对（8.4）式进行一系列置换：

Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt第17页，共150页，2023年，2月20日，星期六其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0，则Var(Xt）=Var｛X0+｝=(εt)=tσ2这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件不满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。可是，若将（8.4）式写成一阶差分形式：ΔXt=εt（8.5）这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白噪声εt，而后者是平稳时间序列。

第18页，共150页，2023年，2月20日，星期六5.

带漂移项（常数项在时间序列里的称谓）的随机漫步(Randomwalkwithdrift)

Xt=μ+Xt－1+εt（8.6）其中μ是一非0常数，εt为白噪声。μ之所以被称为“漂移项”，是因为（8.6）式的一阶差分ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序列也是非平稳时间序列。

第19页，共150页，2023年，2月20日，星期六6.平稳时间序列

对时间序列xt，若满足：E[xt]=u(常数)，Cov(Xt,Xt+k)=E［Xt-μ(Xt+k-μ)］＝rk，t=1,2,…，k=0,1,2,…,则称为平稳时间序列，简称平稳时序。第20页，共150页，2023年，2月20日，星期六二、非平稳时序的平稳化实际生活中，多数经济中的时间序列都是非平稳的。但建随机模型的前提是时序平稳，因此可以利用差分的方法使非平稳时序转化为平稳时序。（前提是含有随机趋势，而非确定性趋势）第21页，共150页，2023年，2月20日，星期六设时序yt，其一阶差分为：式中，为一阶差分算子；L为一阶滞后算子；Lyt＝yt-1K阶滞后算子：Lkyt＝yt-k二次一阶差分：第22页，共150页，2023年，2月20日，星期六

k阶差分可表示为

xt-xt

-k=(1-Lk

)xt=xt–Lkxtk阶差分常用于季节性数据的差分。第23页，共150页，2023年，2月20日，星期六注：1.对实际经济序列，为消除序列不平稳，在差分之前常对观测值取对数（ln），从而消除时序中的异方差。2.对实际经济时序，一般进行一次或两次差分就可使其变为平稳时序。如果一个时序存在受季节因素的影响，则应消除季节因素，进行季节差分。设季节周期为s，则一次季节差分为：二次季节差分：如：数据为季度数据，则s＝4；数据为月度数据，则s＝12；若为年度数据，则一般不受季节因素影响。第24页，共150页，2023年，2月20日，星期六第二节伯克斯－詹金斯模型与平稳可逆条件时间序列模型一般可分为四种类型：一、自回归模型（AutoregressiveModels，AR(p)）若一个过程yt可表示为:即ut与yt的滞后值不相关。第25页，共150页，2023年，2月20日，星期六与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归模型AR（p），如果特征方程：(L)=0的所有根的绝对值都大于1(即全在单位圆之外)，则AR(p)是一个平稳的随机过程。充分必要条件第26页，共150页，2023年，2月20日，星期六StationaryConditionsforAR(2):Examplesyt=1yt-1+2yt-2+t(B)=1–1B–2B2=0(r)=r2-1r–2=0yt=0.8yt-1+0.3yt-2+t yt=1.4yt-1-0.7yt-2+t

第27页，共150页，2023年，2月20日，星期六ANecessaryConditionforStationaryAR(p)AnecessaryconditionforAR(p)tobestationary:1+2+…+p<1and|p|<1第28页，共150页，2023年，2月20日，星期六对于一阶自回归模型yt=1yt-1+ut[3],保持其平稳的条件是特征方程(L)=(1-1L)=0的根的绝对值必须大于1。即当L>1时，满足1/1>1或1<1一阶自回归模型可改写为：第29页，共150页，2023年，2月20日，星期六第30页，共150页，2023年，2月20日，星期六二、移动平均模型（MovingAverageModels，MA(q)）若一个剔出均值或确定性成分后的过程yt可表示为:第31页，共150页，2023年，2月20日，星期六由定义知任何一个q阶移动平均模型都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均模型都是平稳的。与移动平均模型常联系在一起的是可逆性（看能否化成自回归过程）问题。对于移动平均模型MA（q）具有可逆性的条件是特征方程的所有根的绝对值都大于1(即全在单位圆之外)。以MA（1）模型为例，模型可转换为：第32页，共150页，2023年，2月20日，星期六InvertibilityofMA(1)yt=t+t-1=(1+B)t=(B)tLet(B)-1(B)=1/(1+B),then(B)yt=t (B)=1/(1+B)=1-B+2B2-3B3+4B4-… (B)yt=yt-yt-1+2yt-2-3yt-3+4yt-4-…=t yt=yt-1-2yt-2+3yt-3-4yt-4+…+tQ:Whenis(B)invertible,soMA(1)AR()?A:Ifandonlyif||<1,then(B)isinvertiblesoMA(1)canberepresentedasaAR()也只有满足这一条件，才能满足转换后的自回归过程是平稳的。第33页，共150页，2023年，2月20日，星期六自回归模型AR(p)和移动平均模型MA(q)之间的关系总结如下：1.平稳的自回归模型(L)yt=ut可转换为无穷阶移动平均模型:yt=-1(L)

ut2.可逆的移动平均模型(L)ut=yt可转换为无穷阶自回归模型：ut=-1(L)yt3.对AR(p)过程只需考虑平稳性条件，条件是(L)=0的根的绝对值必须大于1。4.对MA(q)过程只需考虑可逆性条件，条件是(L)=0的根的绝对值必须大于1。第34页，共150页，2023年，2月20日，星期六StationarityandInvertibilityof

AR(p)andMA(q)

Stationary InvertibleAR(p) rootsof(B) AlwaysMA() |B|>1 MA(q) Always rootsof(B)AR() |B|>1

第35页，共150页，2023年，2月20日，星期六三、自回归移动平均模型（ARMA(p，q)）由自回归和移动平均两部分共同构造的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q),其中p，q分别表示自回归和移动平均的阶数。ARMA(p,q)的一般表达式：其中(L)和(L)分别表示L的p，q阶多项式，分别称为自回归算子和移动平均算子。第36页，共150页，2023年，2月20日，星期六ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即(L)＝0的全部根取值在单位圆之外。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即(L)＝0的根取值应在单位圆之外。实际中，用的最多的是：ARMA(1,1)和ARMA(2,2)、ARMA(1,2)、ARMA(2,1)。第37页，共150页，2023年，2月20日，星期六四、单整自回归移动平均模型（ARIMA(p,d,q)）对于ARMA(p,q)模型，讨论(L)＝0，其根有三种情况：1.全部根在单位圆之外，ARMA(p,q)序列平稳；2.若干或全部根在单位圆之内，序列ARMA(p,q)强非平稳（即使用差分方法，也无法使其平稳）。3.全部根恰在单位圆上。在单位圆上的根称为单位根，此时序列是非平稳的，当可经过差分转换为平稳序列。设(L)＝0，有d个单位根，经研究知：对该序列进行d次差分，可使其平稳化。许多没有季节因素的宏观经济时间序列，皆属这种齐次非平稳序列。第38页，共150页，2023年，2月20日，星期六考虑如下模型：此模型称为单整自回归移动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。第39页，共150页，2023年，2月20日，星期六这表明随机过程xt经过d次无限累加之后可以得到ytARIMA(p,d,q)模型，当p0,d=0,q=0时，AR(p);当p=0,d=0,q0时，MA(q);当p0,d=0,q0时，ARMA(p,q);当p=0,d=0,q=0时，yt=ut－－白噪声第40页，共150页，2023年，2月20日，星期六第三节模型识别Todeterminetrendstationary(TS)ordifferencestationary(DS),andtheorderofARMA(p,q)。MethodCorrelogram:ACF,PACFgraphsDiagnostictests:normalityoftInformationcriteria:AIC,BIC第41页，共150页，2023年，2月20日，星期六一、自协方差与自相关函数ACF1.自协方差函数rk（有量纲，与yt有关）平稳随机时序yt的均值是常数，即E(yt)＝；方差也是常数，即Var(yt)＝E[(yt-)2]=y2(常数）。第42页，共150页，2023年，2月20日，星期六相隔k期的两个随机变量yt、yt－k之间的协方差为：自协方差序列rk，k=0,1,…,K；称为自协方差函数，是k的函数。自协方差rk是有量纲的，它的测量与变量的测量单位有关。为消除量纲，给出更方便的自相关系数定义。2.自相关函数k（无量纲）第43页，共150页，2023年，2月20日，星期六自相关系数序列k，k=0,1,…,K；称为自相关函数，是k的函数。由k定义可知，k

＝－

k

（以0为对称）。二、自回归过程的自相关函数（拖尾）第44页，共150页，2023年，2月20日，星期六第45页，共150页，2023年，2月20日，星期六第46页，共150页，2023年，2月20日，星期六第47页，共150页，2023年，2月20日，星期六（2）AR（p）过程的自相关函数用yt-k(k>0)同乘平稳的p阶自回归过程第48页，共150页，2023年，2月20日，星期六第49页，共150页，2023年，2月20日，星期六(1)当Gi为实数时，(5)式中的AiGik将随着k的增加而几何衰减至零，称为指数衰减。(2)当Gi和Gj表示一对共轭复根时，(5)式中的AiGik随着k的增加而正弦振荡形式衰减，称为正弦衰减。(由三角函数的特性决定)(3)实际中的平稳自回归过程的自相关函数常是由指数衰减和正弦衰减两部分混合而成，k的这种特性称为k的托尾性。(4)当特征方程的根远离单位圆时，k（滞后期）不必很大，自相关函数很快就能衰减至0；当有一个实根接近于1时，k将衰减很慢，尽似于线性衰减；当有两个实根接近于1时，k将衰减更慢。第50页，共150页，2023年，2月20日，星期六第51页，共150页，2023年，2月20日，星期六三、移动平均过程的自相关函数（截尾）1.MA（q）过程的自相关函数第52页，共150页，2023年，2月20日，星期六第53页，共150页，2023年，2月20日，星期六第54页，共150页，2023年，2月20日，星期六2.平稳的MA(1)序列的自相关函数第55页，共150页，2023年，2月20日，星期六1234567891010-11>01234567891010-11<0可见，MA(1)过程的自相关函数具有截尾特征，当k>1时，k=0。第56页，共150页，2023年，2月20日，星期六四、自回归移动平均过程的自相关函数（拖尾）1.ARMA（p,q）过程的自相关函数用yt-k(k>0)乘ARMA（p,q）过程第57页，共150页，2023年，2月20日，星期六第58页，共150页，2023年，2月20日，星期六当k<q时，则可知1,…,q的值既与移动平均参数i,(i=0,1,…,q)有关，也与自回归参数i,(i=0,1,…,p)有关。对于ARMA(1,1)过程，自相关函数从1开始指数衰减（因为ma过程截尾）。1的大小取决于1和1。若1>0时，指数衰减是平滑的；若1<0时，自相关函数为正负交替指数衰减。

这时，ARMA(p,q)的自相关系数完全取决于自回归部分的自相关函数。第59页，共150页，2023年，2月20日，星期六五、相关图（样本自相关函数）对于一个有限时间序列（y1,y2,…,yN),用样本平均数来估计总体均值，用样本方差估计总体方差y2。用样本矩估计随机过程的自相关函数，称其为相关图或估计的自相关函数，记为第60页，共150页，2023年，2月20日，星期六注：1.实际中，N不应太小（30<N<40),最好大于60。对于相关图，一般取k=15就足够了。2.相关图是对自相关函数的估计。由于MA过程和ARMA过程中的MA分量的自相关函数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计MA过程的阶数q。六、偏自相关函数偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用kj表示k阶自回归式中第j个回归系数。例如，滞后6期的偏自相关系数，度量的是当y（-1）,y（-2）,…,y（-5）已经在模型中时，y（-6）的回归系数,即y对y（-1）,y（-2）,…,y（-5），y（-6）回归时，y（-6）的回归系数。第61页，共150页，2023年，2月20日，星期六第62页，共150页，2023年，2月20日，星期六第63页，共150页，2023年，2月20日，星期六第64页，共150页，2023年，2月20日，星期六第65页，共150页，2023年，2月20日，星期六第66页，共150页，2023年，2月20日，星期六第67页，共150页，2023年，2月20日，星期六第68页，共150页，2023年，2月20日，星期六第四节时间序列模型的建立第69页，共150页，2023年，2月20日，星期六

一、模型的识别

模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析。

（1）识别的第一步是通过相关图判断随机过程平稳性。如果发现自相关函数衰减很慢，即可认为该时间序列是非平稳的。（2）如果发现该时间序列非平稳，应对其进行差分，以判断d值，通常只取0,1或2。第70页，共150页，2023年，2月20日，星期六模型自相关函数特征偏自相关函数特征若1>0,平滑地指数衰减；若1<0,正负交替地指数衰减；若11>0,k=1时有正峰值然后截尾；若11<0k=1时有负峰值然后截尾；

若1>0,k=1时有正峰值然后截尾；若1<0,k=1时有负峰值然后截尾；若1>0,交替式指数衰减；若1<0,负的平滑式指数衰减；指数或正弦衰减k=1，2时有两个峰值然后截尾k=1，2时有两个峰值然后截尾指数或正弦衰减k=1时有峰值然后指数衰减k=1时有峰值然后指数衰减k=1时有峰值然后指数或正弦衰减k=1，2时有两个峰值然后按指数衰减ARMA(1,2)k=1,2时有两个峰值然后指数衰减k=1有峰值然后按指数或正弦衰减ARMA(2,2)k=1，2时有两个峰值然后按指数或正弦衰减k=1，2时有两个峰值然后按指数或正弦衰减第71页，共150页，2023年，2月20日，星期六

识别实际上是利用相关图、偏相关图（几种常见模型形式见word文档）分别估计自相关函数与偏自相关函数。二、模型参数的估计如果模型参数是线性的，则用极大似然估计法和普通最小二乘法估计参数是一样的；如果模型参数是非线性的，则估计方法：直接搜索法、线性迭代法等。Eviews采用非线性最小二乘法。第72页，共150页，2023年，2月20日，星期六这一阶段主要检验拟合的模型是否合适。检验内容及相应统计量包括：一是检验模型参数的估计值是否具有显著性（t统计量）；二是为保证模型的平稳性，模型的特征根的倒数皆小于1；三是检验残差序列的随机性。模型拟合的优劣以及残差序列随机性（白噪声）的判别是用伯克斯－皮尔斯(Box-Pierce1970)提出的Q统计量进行检验完成的。三、模型的诊断与检验第73页，共150页，2023年，2月20日，星期六若拟合的模型合适，统计量第74页，共150页，2023年，2月20日，星期六第五节时间序列模型的预测第75页，共150页，2023年，2月20日，星期六UnconditionalDistributionofAR(1)yt=yt-1+t,wheret~N(0,2) E[yt]=0 Var(yt)=2/(1-2) mustsatisfy||<1yt~N(0,2/(1-2))第76页，共150页，2023年，2月20日，星期六ConditionalDistributionofAR(1)yt+1=yt+t+1,wheret+1~N(0,2) GiveninformationsetIt{yt,yt-1,yt-2,…,}, E[yt+1|It]orEt[yt+1]=yt Var(yt+1|It)orVart(yt+1)=2yt+1|It~N(yt,2)95%confidenceinterval:yt1.96*第77页，共150页，2023年，2月20日，星期六k-period-aheadForecastofAR(1)yt+k=yt+k-1+t+k,wheret+k~N(0,2) Et[yt+k]=?andVart(yt+k)=? Et[yt+k]=kyt

Vart(yt+k)=(1-2k)/(1-2)2

yt+k|It~N(kyt,(1-2k)/(1-2)2)95%confidenceinterval:kyt1.96*[(1-2k)/(1-2)]1/2第78页，共150页，2023年，2月20日，星期六AR(p)Forecastyt+k=1yt+k-1+…+pyt+k-p+t+kEt[yt+k]=1Et[yt+k-1]+…+pEt[yt+k-p]Startingvalue:Et[yt+k]=yt+kfork0,usethemostrecentlyobservedvalues)Example:yt=1.4yt-1–0.7yt-2+t,Ifyt=0.06,yt-1=0.04,thenEt[yt+1]=1.4*0.06–0.7*0.04=0.056Et[yt+2]=1.4*0.056–0.7*0.06=0.0364Et[yt+3]=1.4*0.036–0.07*0.056=0.012…第79页，共150页，2023年，2月20日，星期六AR(p)Forecast–ConfidenceIntervalyt+k=1yt+k-1+…+pyt+k-p+t+kByWoldrepresentationAR(p)MA()yt+k=t+k+1t+k-1+2t+k-2+…+k-1t+1

kt+k+1t-1+…Et[yt+k]=

kt+k+1t-1+…(theoreticalmean)Vart[yt+k]=

2(1+

12+22+…+k-12)yt+k|It~N(Et[yt+k],Vart[yt+k])第80页，共150页，2023年，2月20日，星期六AR(p)Forecast:ConfidenceInterval95%C.I.Et[yt+k]1.96*(1+

12+22+…+k-12)1/2k=1:Et[yt+1]1.96*k=2:Et[yt+2]1.96*(1+12)1/2k=3:Et[yt+3]1.96*(1+12+22)1/2…yt=1.4yt-1–0.7yt-2+t,=0.07k=1:0.0561.96*0.07k=2:0.0361.96*0.07*(1+1.42)1/2k=3:0.0121.96*0.07*(1+1.42+1.262)1/2

…第81页，共150页，2023年，2月20日，星期六MA(q)Forecastingyt+k=t+k+1t+k-1+…+qt+k-qEt[yt+k]=0Vart(yt+k)=2(1+12+…+q2)

第82页，共150页，2023年，2月20日，星期六ARMA(p,q)Forecasting第83页，共150页，2023年，2月20日，星期六第84页，共150页，2023年，2月20日，星期六第85页，共150页，2023年，2月20日，星期六第86页，共150页，2023年，2月20日，星期六第87页，共150页，2023年，2月20日，星期六由上可见，随着预测期的加长，预测式(2)中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式。对于AR(p)过程，预测式永远是AR(p)形式的，对于MA(q)过程，当预测期超过q时，预测值等于零。第88页，共150页，2023年，2月20日，星期六第六节单整与单位根检验

一、单整性的定义单整性：对于随机过程{xt}，如果经过d次差分后变成一个平稳、可逆的ARMA过程，而经过d-1次差分后仍是非平稳过程，则称此过程具有d阶单整性，记为xt~I(d)。若xt经过一次差分变为平稳序列，记为xt~I(1)；同理，若xt经过二次差分变为平稳序列，记为xt~I(2)。

注意：单整过程是指单整阶数大于0的过程，即非平稳过程。第89页，共150页，2023年，2月20日，星期六第90页，共150页，2023年，2月20日，星期六第91页，共150页，2023年，2月20日，星期六若干个同阶非平稳过程的线性组合过程的单整阶数低于原非平稳过程的单整阶数，这说明在该若干个同阶非平稳过程之间存在协整关系。这种情形在后面讨论。二、单位根检验

平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。前者使用自相关函数(Autocorrelationfunction)，后者使用单位根(Unitroots)。单位根方法是目前最常用的方法。对单位根的检验就是对随机过程平稳性的检验，也是对随机过程单整阶数的检验。第92页，共150页，2023年，2月20日，星期六1.单位根检验的DF法（只适用于AR(1)）

DF检验法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。这方法只适用于AR(1)过程且要求ut同方差性且相互独立。这对序列要求很严格，许多时间序列难以满足。(1)一阶自回归检验法第93页，共150页，2023年，2月20日，星期六模型(1)的好处是便于理论分析，但对于实际经济问题来说，模型要求太严格，很难用于描述经济时间序列，为此提出如下两个模型：第94页，共150页，2023年，2月20日，星期六第95页，共150页，2023年，2月20日，星期六

在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下DF统计量也是有偏倚的(向下偏倚，呈现围绕小于零值的偏态分布)，所以DF检验与传统的t检验不同，DF统计量不服从正态分布，也不服从t分布，Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下统计量服从的分布，其临界值可查表。第96页，共150页，2023年，2月20日，星期六第97页，共150页，2023年，2月20日，星期六第98页，共150页，2023年，2月20日，星期六2.增项的单位根检验ADF

DF检验只有当序列为AR（1），且残差为白噪声过程时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，用AR(1)模型描述经济时间序列是有困难的，且误差项ut常常是序列相关的。在这种情况下，为使单位根检验更具有实用性，Dickey－Fuller提出了增项单位根检验方法，称为增项或扩展的Dickey－Fuller检验，简称ADF检验。该方法通过在回归方程右边加入因变量的滞后差分项来控制高阶序列相关。第99页，共150页，2023年，2月20日，星期六第100页，共150页，2023年，2月20日，星期六三个模型检验的假设都是：H1:ρ<0,检验H0：ρ=0，即存在一单位根。实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1；何时检验拒绝零假设，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。ADF检验原理与DF检验相同，只是对模型（9）、（10）、（11）进行检验时，有各自相应的临界值。第101页，共150页，2023年，2月20日，星期六第102页，共150页，2023年，2月20日，星期六第103页，共150页，2023年，2月20日，星期六第104页，共150页，2023年，2月20日，星期六第七节协整与误差修正模型一、虚假回归

当用两个相互独立的非平稳时间序列建立回归模型时，常常得到一个具有统计显著性的回归函数，称为虚假回归（格兰杰－纽博尔博Grange-Newbold，1974年提出）。例：给定数据生成系统如下：第105页，共150页，2023年，2月20日，星期六第106页，共150页，2023年，2月20日，星期六表1模型(4)的统计量t的频数分布表组距频数组距频数组距频数[-20,-18)1[-6,-4)11[8,10)10[-18,-16)0[-4,-2)28[10,12)7[-16,-14)0[-2,0)30[12,14)4[-14,-12)4[0,2)21[14,16)4[-12,-10)3[2,4)21[16,18)2[-10,-8)6[4,6)11[18,20)3[-8,-6)17[6,8)17第107页，共150页，2023年，2月20日，星期六

由上可知，用非平稳时间序列建立回归模型很可能会带来虚假回归问题。第108页，共150页，2023年，2月20日，星期六（1）实际中，多数经济时间序列都是非平稳的.（2）某些非平稳经济时间序列的某种线性组合可能是平稳的，即变量存在长期均衡关系。例如，净收入与消费、政府支出与税收等。（3）如果若干个I(1)序列的某种线性组合是平稳的，则称具有协整性。协整概念是理解经济变量存在长期均衡关系的基础。第109页，共150页，2023年，2月20日，星期六

左图表示1989至2003年我国非农业居民与农业居民的人均收入水平；右图给出我国年进、出口总额序列。很明显两个图中四个时间序列都是非平稳的。第110页，共150页，2023年，2月20日，星期六

左图中rincome与uincome之间随时间变化相距越来越远，可见两者之间不可能存在均衡关系。右图中的两个变量随时间呈相同规模变化，两个变量的单整阶数相同，它们的线性组合有可能是平稳的，此图直观地表达了协整概念。第111页，共150页，2023年，2月20日，星期六二、协整的概念(Cointegration)

协整概念是20世纪80年代由恩格尔-格兰杰（Engle-Granger）提出的。协整理论为在两个或多个非平稳变量间寻找均衡关系，以及用存在协整关系的变量建立误差修正模型奠定了理论基础。第112页，共150页，2023年，2月20日，星期六协整定义：设xt=(x1tx2t…xNt)T是N1阶时序向量。

(1)如果xt中的元素都是I(d)的；

(2)若存在一个N1阶列向量B(B0),使得BTXt~I(d-b),则称xt中各分量是d、b阶协整，记为CI(d,b)。这里CI是协整的符号。构成N个变量的线性组合的系数向量B称为“协整向量”，其中的元素称为协整参数。协整向量的个数称为Xt的协整秩。【注意】：第一，协整向量是不唯一的；第二，最多可能存在k-1个线性无关的协整向量；第三，协整变量之间具有共同的趋势成份，在数量上成比例。第113页，共150页，2023年，2月20日，星期六【例析】1、如果存在：Wt~I(1),Vt

~I(2),Ut~I(2)且Pt=aVt

+bUt

~I(1)；Qt=cWt

+ePt~

I(0)。则：Vt,Ut~CI(?,?)；Wt,Pt~CI(?,?)2、什么情况下序列Yt,Xt的线性组合a1Yt+a2Xt是平稳的？解：当Yt，Xt～CI(d,d）时，其线性组合属于I(0），进而线性组合是平稳的。

3、已知Yt，Xt～I(1），其线性组合εt=Yt-β0-β1Xt～I(0），且E(εt）=0。试问Yt

与Xt协整吗？若是则协整向量是什么？该线性组合能代表长期均衡关系吗？解：Yt，Xt～CI(1,1），协整向量是（1,-β0,-β1），能。第114页，共150页，2023年，2月20日，星期六注意：1.如果两个变量皆为单整变量，当且仅当它们的单整阶数相同时，才可能存在协整关系；如果单整阶数不同，则不可能存在协整关系。2.当xt中含有N>2个分量时，则有可能存在多个协整向量。如果存在r(1<rN)个线性独立的协整向量，则这些协整向量可组成一个Nr阶矩阵B，称B为协整矩阵，B的秩为r。当N>2时，变量的单整阶数情况说明：

第115页，共150页，2023年，2月20日，星期六3.当且仅当若干个非平稳变量具有协整关系时，由这些变量建立的回归模型才有意义，否则是虚假回归。协整关系的检验是鉴别真假回归的标准。让我们考虑下面的关系：Yt=β0+β1Xt（1）其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。当0=Yt－β0－β1Xt时，该关系处于长期均衡状态。对长期均衡的偏离，称为“非均衡误差”，记为ut：ut=Yt－β0－β1Xt若长期均衡存在，则非均衡误差应当围绕均衡值0波动。也就是说，非均衡误差ut应当是一个平稳时间序列，即应有ut～I(0)，E(ut)=0。第116页，共150页，2023年，2月20日，星期六

按照协整的定义，由于Yt～I(1)，Xt～I(1)，且线性组合εt=Yt－β0－β1Xt～I(0)，我们可以说Yt

和Xt是（1,1）阶协整的，即Yt，Xt～CI(1,1)，协整向量是。可以证明，两个变量的协整关系只有一个（即在一个变量的系数正规化为1的假设下，则协整向量是唯一的）。

第117页，共150页，2023年，2月20日，星期六

可见，两时间序列之间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式。因此，若Yt和Xt是协整的,并且非均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方程Yt=β0+β1Xt+ut

（2）将不会产生伪回归结果。

第118页，共150页，2023年，2月20日，星期六要避免伪回归，就需要进行协整检验！！第119页，共150页，2023年，2月20日，星期六三、协整检验第120页，共150页，2023年，2月20日，星期六

1、两变量的Engle-Granger检验为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。

第一步，用OLS方法估计方程Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(staticregression)。

第121页，共150页，2023年，2月20日，星期六

的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。

注意：（1）由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项（残差以0为均值）。如使用模型1进行检验时，拒绝零假设H0：=0，意味着误差项et是平稳序列，从而说明X与Y间是协整的。

（2）对et平稳性检验的DF与ADF临界值比正常的DF与ADF临界值要小。第122页，共150页，2023年，2月20日，星期六MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。

第123页，共150页，2023年，2月20日，星期六第124页，共150页，2023年，2月20日，星期六

例9.3.1

检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，它们的回归式如下：

R2=0.9981

通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型

（-4.47）(3.93)(3.05)

检验统计量=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关系。

第125页，共150页，2023年，2月20日，星期六2、多变量协整关系的检验—扩展的EG检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：(*)其中，非均衡误差项t应是I(0)序列：

(**)第126页，共150页，2023年，2月20日，星期六然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如(***)由于vt象（**）式中的t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此（***）式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于（**）式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于（***）式的协整向量。

一定是I(0)序列。第127页，共150页，2023年，2月20日，星期六对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。

在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。

如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。

当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。

检验程序：第128页，共150页，2023年，2月20日，星期六

同样地，检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。下表给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。第129页，共150页，2023年，2月20日，星期六3、多变量协整关系的检验—JJ检验Johansen于1988年，以及与Juselius于1990年提出了一种用极大或然法进行检验的方法，通常称为JJ检验。

《高等计量经济学》（清华大学出版社，2000年9月）P279-282.E-views中有JJ检验的功能。第130页，共150页，2023年，2月20日，星期六四、误差修正模型（errorcorrectionmodelECM）第131页，共150页，2023年，2月20日，星期六

前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。

如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：

1、误差修正模型式中，vt=t-

t-1差分X,Y成为平稳序列建立差分回归模型

如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势第132页，共150页，2023年，2月20日，星期六

(1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系

Yt=0+1Xt+t且误差项t不存在序列相关，则差分式

Yt=1Xt+t中的t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；

然而，这种做法会引起两个问题：(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。

另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。第133页，共150页，2023年，2月20日，星期六可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。第134页，共150页，2023年，2月20日，星期六

误差修正模型（ErrorCorrectionModel，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、

Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。假设两变量X与Y的长期均衡关系为:Yt=0+1Xt+t由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。

第135页，共150页，2023年，2月20日，星期六由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形得

或

式中，（**）如果将（**）中的参数，与Yt=0+1Xt+t中的相应参数视为相等，则（**）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

（**）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（**）式也弥补了简单差分模型Yt=1Xt+t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。第136页，共150页，2023年，2月20日，星期六称为一阶误差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。

（**）式可以写成：

（**）知，一般情况下||<1，由关系式=1-得0<<1。可以据此分析ecm的修正作用：（***）其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则(-ecm)为负，使得Yt减少；(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X，ecm为负，则(-ecm)为正，使得Yt增大。第137页，共150页，2023年，2月20日，星期六更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

引入二阶滞后的模型为

经过适当的衡等变形，可得如下二阶误差修正模型

(*)引入三阶滞后项的误差修正模型与（*）式相仿，只不过模型中多出差分滞后项Yt-2，Xt-2，。

第138页，共150页，2023年，2月20日，星期六

多变量的误差修正模型也可类似地建立