数学思想与方法

数学思想与方法第1页，共46页，2023年，2月20日，星期六教学安排1．教材:《数学思想方法》2．共五次课（单周周日13:00-18:00）1）第一、二章数学史2）第三至五章数学发展趋势及抽象与概括3）第六、七章猜想与反驳；演绎与化归4）第八至十章算法、建模及其他方法5）第十一至十三章数学思想方法教学及案例第2页，共46页，2023年，2月20日，星期六教学安排３．网上答疑（一小时，4月24日）４．小组活动（4月17日）５．E-mail：bbcmh@163.com

第3页，共46页，2023年，2月20日，星期六课程综述数学思想与方法:是研究数学思想方法及其教学的一门课程。小学教育专业必修课。本课程的目标：1）了解数学思想的发展脉络2）灵活掌握各种数学方法3）体会这门课程对小学数学教育的意义

第4页，共46页，2023年，2月20日，星期六课程综述本课程的内容：介绍数学思想发展的概貌、重要的数学方法，最后将数学思想与方法落实到教学过程中。本课程的意义：1）培养数学素养和数学能力2）指导小学数学教学实践3）有意识地指导自己的教育行为

第5页，共46页，2023年，2月20日，星期六学习数学的意义数学：是研究数量关系与空间形式的一门学科。1）数学无处不在2）数学是自然科学和人文科学的基础3）数学有利于提高个人能力

第6页，共46页，2023年，2月20日，星期六学习数学史的意义数学史：研究数学发展历史的学科。主要研究数学分支的原始创新、重要概念和思想的产生、发展和完善的历史过程，以及主要代表人物的思想方法和治学做人。

“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状”（庞加莱）第7页，共46页，2023年，2月20日，星期六第一章

数学思想方法的两个源头1．希腊的《几何原本》：古希腊数学概况；《几何原本》的形成、基本内容、特点和意义。2．中国的《九章算术》：中国古代数学概况；《九章算术》的形成、基本内容、特点和意义。

第8页，共46页，2023年，2月20日，星期六

古希腊数学

——现代理论数学的摇篮１．古希腊概况２．毕达哥拉斯学派３．欧几里得与《几何原本》４．阿基米德第9页，共46页，2023年，2月20日，星期六１．古希腊概况第10页，共46页，2023年，2月20日，星期六１．古希腊概况希腊的数学内容包括算术（含代数）、几何学和三角形。“算术、“几何”、“三角学”名称均来自希腊

希腊人善于通过精细的思考和严密的推理去认识世界

解决了“为什么要这样做”的问题，“经验数学”

“理论数学

第11页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．毕达哥拉斯学派（1）毕达哥拉斯(Phthagoras，公元前580?一501年？

)毕达哥拉斯学派第12页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．毕达哥拉斯学派（2）毕达哥拉斯发现了勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

1）它的证明是论证数学的发端；

2）它是历史上第一个把数与形（代数与几何）联系起来的定理；

3）它导致了无理数的发现，由此引发了第一次数学危机；4）它是欧氏（欧几里得）几何的基础定理。

第13页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．毕达哥拉斯学派（3）“万物皆数”——毕派的信念第一次数学危机——不可公度量：1）几何量不能完全由整数及其比表示，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位2）直觉和经验不一定靠得住，推理证明才可靠。从此,希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立起几何学体系。第14页，共46页，2023年，2月20日，星期六

２．毕达哥拉斯学派（4）

毕达哥拉斯学派将抽象的数与形结合起来，使数学逐渐成为一门独立的学科。他们在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，是欧几里得公理化体系的先驱。

第15页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（1）

欧几里得(Euclid，约公元前330—275)伟大的数学家、教育家。欧几里得使几何脱离哲学而独立成为真正的演绎科学。

第16页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（2）《几何原本》（Elements）是世界数学史上最伟大的著作之一。总结前人工作，并作了许多修订和补充

重视数学命题的逻辑证明，力求把数学知识建立在必然性的理论基础上，追求严密的公理化体系第17页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（3）公理化体系：

23个定义，5个公设、5个公理

465个定理

《几何原本》仅次于《圣经》，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书。（斯威克）第18页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（4）《几何原本》的主要贡献在于：

1）成功地将零散的数学理论编辑为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构；

2）对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系；

3）为人们提供了使知识条理化和严密化的强有力的手段，成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。第19页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（5）《几何原本》的不足：1）定义并不严格2）公理并不总是自明的：如第五公设第20页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（6）第五公设的等价公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行

高斯、罗巴切夫斯基、波约

——创立非欧几何这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的束缚，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的局面

第21页，共46页，2023年，2月20日，星期六３．欧几里得与《几何原本》（7）欧几里得有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪。欧几里得结束了开创初等几何学和使几何学成为逻辑体系的时代。第22页，共46页，2023年，2月20日，星期六

４．阿基米德（1）阿基米德（Archimedes，公元前287—212）把科学的理论研究和实际应用相结合

第23页，共46页，2023年，2月20日，星期六

４．阿基米德（2）第一个提出了圆周长、圆面积和扇形面积的准确公式得出圆周率的近似值3．14（阿基米德值）微积分的鼻祖：利用穷竭法和微分三角形

第24页，共46页，2023年，2月20日，星期六

古希腊数学的伟大成就1）使数学成为一门抽象性科学

2）建立了演绎证明

3）创立几何学、三角学，奠定数论基础4）萌芽了一些高等数学5）发现定理及证明

第25页，共46页，2023年，2月20日，星期六

中国古代数学

——中华民族的智慧精粹

1．中国古代数学概况2．《九章算术》3．《几何原本》与《九章算术》比较第26页，共46页，2023年，2月20日，星期六

1．中国古代数学概况注重实际应用

从解决实际问题中发明了各种算法

数学精英：刘徽、祖冲之、杨辉等第27页，共46页，2023年，2月20日，星期六2．《九章算术》（1）流传至今的最早著作

采取问题集的形式：提出问题具体算法一类问题的普遍方法

《九章算术》共收录246个问题，包括算术、代数和几何的许多算法

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2．《九章算术》（2）第一章“方田”：面积和分数计算；第二章“粟米”：比例问题；第三章“衰分”：比例分配；第四章“少广”：开方问题；第五章“商功”：几何体体积的计算；第六章“均输”：处理输送和征税问题；第七章“盈不足”：商业中的盈亏和比例；第八章“方程”：多元一次方程组的解法；第九章“勾股”：勾股定理的应用。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期六

2．《九章算术》（3）1）成为中国古代学习数学的重要教科书。2）普及数学知识，培养数学人才3）许多人通过研究它深邃的思想方法而取得成就4）今日再研究它，希望能对现代的数学思想有所启发

第30页，共46页，2023年，2月20日，星期六3．《几何原本》与《九章算术》相同之处：集数学成就之大成者，成书历史久远，影响巨大，成为后世的教科书。不同之处：《几何原本》是西方数学最早形成的演绎体系，采用“定义——公理、公设——定理”

的公理化方法，注重逻辑的严密性，开创了推理证明的先河。《九章算术》：是中国由个别到一般的归纳体系，采用“问题——答案——算法”的体例，追求实用、讲究算法，但不注重逻辑结构。

第31页，共46页，2023年，2月20日，星期六总结

《几何原本》的演绎体系、公理化方法和《九章算术》的归纳体系、算法化方法深刻影响着数学的发展，成为数学思想方法的两大源泉。

第32页，共46页，2023年，2月20日，星期六第二章

数学思想方法的几次突破

1.从算术到代数：算术的局限性与代数产生的必然性。

2.从常量数学到变量数学：常量数学的局限性，变量数学的产生及其意义。第33页，共46页，2023年，2月20日，星期六１．从算术到代数

(1)算术：最初含义是“数和数数”，主要研究正整数、零、正分数的性质和四则运算。代数：最初主要研究代数式的运算和解方程。特点是用字母符号表示数。基本思想：题意方程求出未知数。

第34页，共46页，2023年，2月20日，星期六１．从算术到代数

(2)代数学历史悠久：古巴比伦、中国、古希腊、阿拉伯初等代数：方程（组）、求根（包括近似根）、根的各种性质，只限于实数和复数等数系。

阿贝尔(Abel，1802—1829)证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的求根公式。

第35页，共46页，2023年，2月20日，星期六１．从算术到代数

(3)伽罗瓦（Galois，1811—1832）引入“群”的概念，用群论彻底解决了代数方程可解性的问题——伽罗瓦理论，使代数学进入抽象代数阶段。抽象代数：代数方程、各种抽象对象（如向量、矩阵等）的运算关系，转向代数结构（群、环、域、摸、格等）的研究

第36页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．从常量数学到变量数学（1）客观世界的一切事物始终都在运动和变化着用数学来描述运动现象求面积、体积、速度、曲线的切线等问题数学算法

解析几何变量引进数学微积分第37页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．从常量数学到变量数学（2）解析几何思想的萌芽

解析几何：用代数方法研究几何问题，第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来。笛卡儿：引入运动点的坐标概念，引入变量和函数的概念，在平面曲线与二元方程之间建立起了联系。

第38页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．从常量数学到变量数学（3）笛卡儿（Descartes，1596—1650）

费马（Fermat，1601—1665）

第39页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．从常量数学到变量数学（4）牛顿：1）符号“ο”表示x的无穷小增量——“瞬”2）发明“正流数法”（即微分法）3）建立“反流数法”（即积分法）

4）运动学背景：以速度形式引进了“流数”（微商）的概念

5）建立微积分基本定理：微分与积分是互逆关系

第40页，共46页，2023年，2月20日，星期六２．从常量数学到变量数学（5）牛顿（Newton，1642—1727）

莱布尼兹（Leibniz，1646—