微分方程初步

微分方程初步第1页，共29页，2023年，2月20日，星期六微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第2页，共29页，2023年，2月20日，星期六引例1.

一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.第3页，共29页，2023年，2月20日，星期六引例2.

列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:

设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).第4页，共29页，2023年，2月20日，星期六常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n

阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

阶常微分方程的形式是的阶.分类或第5页，共29页，2023年，2月20日，星期六引例2—

使方程成为恒等式的函数.通解—

解中所含独立的任意常数的个数与方程—

确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.第6页，共29页，2023年，2月20日，星期六分离变量方程的解法:设y＝(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.第7页，共29页，2023年，2月20日，星期六例1.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)第8页，共29页，2023年，2月20日，星期六齐次方程形如的方程叫做齐次方程.第9页，共29页，2023年，2月20日，星期六令代入原方程得解法:第10页，共29页，2023年，2月20日，星期六一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.

解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;第11页，共29页，2023年，2月20日，星期六一.差分:设函数记为,当取遍非负整数,即:则差称为函数的差分,

记为又有:

称为函数的二阶差分.时,函数值可以排成一个数列:第12页，共29页，2023年，2月20日，星期六差分方程的一般概念:差分方程不同形式之间可以互相转化的符号的方程称为差分方程.例如:都是差分方程.定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值第13页，共29页，2023年，2月20日，星期六是一个二阶差分方程,可以化为将原方程左边写成:则可以化为第14页，共29页，2023年，2月20日，星期六定义:如果一个函数代入差分方程后,方程两边把函数代入设有差分方程则有:

左边等于右边.恒等,则称此函数为差分方程的解.可以验证是常数,也是差分方程的解初始条件,通解和特解第15页，共29页，2023年，2月20日，星期六定义:形如是常数,其中为已知函数,为未知函数时称为非齐次方程,否则称为齐次的.的方程称为一阶常系数线性差分方程.第16页，共29页，2023年，2月20日，星期六常系数线性差分方程的解法:是方程的解容易验证:设和都是方程的解,则即:

也是方程的解1.通解和特解:非齐次方程的通解:第17页，共29页，2023年，2月20日，星期六常系数齐次线性差分方程的解法:设已知,容易验证:迭代法:第18页，共29页，2023年，2月20日，星期六微分方程数学实验1、MATLAB求微分方程2、案例应用3、小结第19页，共29页，2023年，2月20日，星期六一、MATLAB求微分方程MATLAB求微分方程操作命令：dsolve(‘Dy=f(x,y)’,‘x’)------

求微分方程的通解dsolve(‘Dy=f(x,y)’,‘y(a)=b’,‘x’)------

求微分方程的特解dsolve(‘D2y=f(x,y,Dy)’,‘y(a)=b’,‘Dy(α)=β’,‘x’)------

求微分方程的特解第20页，共29页，2023年，2月20日，星期六>>symsxy>>y=dsolve('Dy-2/(x+1)*y=(x+1)^(5/2)','x')y=2/3*(x+1)^(3/2)*x^2+4/3*(x+1)^(3/2)*x+2/3*(x+1)^(3/2)+C1*x^2+2*C1*x+C1解：第21页，共29页，2023年，2月20日，星期六>>symsxy解：>>y=dsolve('Dy*(cos(x))^2+y-tan(x)=0','y(0)=0','x')y=(-exp(2*i*x)+i-i*exp(2*i*x)-1+exp(-1/cos(x)*sin(x)+2*i*x)+exp(-1/cos(x)*sin(x)))/(exp(2*i*x)+1)

第22页，共29页，2023年，2月20日，星期六解：>>symsxy>>y=dsolve('D2y=Dy/x+x*exp(x)','x')y=x*exp(x)-exp(x)+C1+C2*x^2第23页，共29页，2023年，2月20日，星期六>>symsxy>>y=dsolve('D2y+4*y=cos(2*x)','y(0)=1','Dy(0)=2','x')y=(1/8*sin(2*x)*cos(2*x)+1/4*x)*sin(2*x)+1/8*cos(2*x)^3+sin(2*x)+7/8*cos(2*x)解：第24页，共29页，2023年，2月20日，星期六二、案例应用第25页，共29页，2023年，2月20日，星期六>>symstI>>I=dsolve('2*DI+10*I=3*sin(5*t)','t')I=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+exp(-5*t)*C1>>I0=dsolve('2*DI+10*I=3*sin(5*t)','I(0)=6','t')I0=-3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+123/20*exp(-5*t)第26页，共29页，2023年，2月20日，星期六Example6(市场调查）对一新产品做市场调研，把它免费提供给有100万居民的城市中的1000人，在调查期间，城市人口保持不变。假设产品被接受的速度与已拥有它和没拥有它的人数成比例。若四周后，有3000人接受了此产品，会接受此产品的人数关于时间的函数。第27页，共29页，2023年，2月20日，星期六>>symsxt>>x=dsolve('Dx=k*x*(1000000-x)','x(0)=1000','t')x=1000000/(1+999*exp(-1000000*k*t))>>k=solve('1000000/(1+999*exp(-1000000*k*4))=3000','k')k=-1/4000000*log(997/2997)>>k=-1/4000000*log(997/2997)k=2.7515e-007第28页，共