应力与应变间的关系

应力与应变间的关系第1页，共30页，2023年，2月20日，星期六二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系或G为剪切弹性模量，单位为N/m2.第2页，共30页，2023年，2月20日，星期六（1）符号规定xyzo上面右侧面前面xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

1、各向同性材料的广义胡克定律(a)三个正应力分量：拉应力为正压应力为负。三、复杂应力状态下应力与应变的关系第3页，共30页，2023年，2月20日，星期六xyzo上面右侧面前面(b)三个剪应力分量:

若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致,或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正,反之为负。图中表示的均为正方向第4页，共30页，2023年，2月20日，星期六

线应变:以伸长为正,缩短为负。

剪应变:使直角减小者为正,

增大者为负。

xOy

yOzzox。xyzO上面右侧面前面第5页，共30页，2023年，2月20日，星期六在xyz分别单独存在时,x方向的线应变x依次为:2、各向同性材料的广义胡克定律(1)线应变的推导第6页，共30页，2023年，2月20日，星期六在xyz同时存在时,x方向的线应变x为在xyz同时存在时,y,z方向的线应变为第7页，共30页，2023年，2月20日，星期六剪应变xy,yz,zx与剪应力xy,yz,zx之间的关系为公式的适用范围:

在线弹性范围内,小变形条件下,

各向同性材料。(2)剪应变的推导第8页，共30页，2023年，2月20日，星期六公式的适用范围:

在线弹性范围内,小变形条件下,各向同性材料。第9页，共30页，2023年，2月20日，星期六3、特例（1）平面应力状态下(假设Z=0)第10页，共30页，2023年，2月20日，星期六（2）广义胡克定律用主应力和主应变表示时三向应力状态下：(7-7-6)第11页，共30页，2023年，2月20日，星期六平面应力状态下设3=0,则第12页，共30页，2023年，2月20日，星期六材料的三个弹性常数E,G,间存在如下关系:第13页，共30页，2023年，2月20日，星期六例题7-6已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变2的数值和方向。第14页，共30页，2023年，2月20日，星期六解：一，一对应。由于构件自由表面，所以主应力2=0。所以该点为平面应力状态。由解得第15页，共30页，2023年，2月20日，星期六该点处另一主应变2的数值为2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的外法线方向。第16页，共30页，2023年，2月20日，星期六四、各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料在空间应力状态下的体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示。

第17页，共30页，2023年，2月20日，星期六公式推导

设单元体的三对平面为主平面,其三个边长为dx,dy,dz变形后的边长分别为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3,因此变形后单元体的体积为:213dxdydz第18页，共30页，2023年，2月20日，星期六体积应变为第19页，共30页，2023年，2月20日，星期六将广义胡克定律代入得第20页，共30页，2023年，2月20日，星期六在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x，y，z有关。仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,

各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与剪应力无关。第21页，共30页，2023年，2月20日，星期六特例在平面纯剪切应力状态下：代入得可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。第22页，共30页，2023年，2月20日，星期六例题7-7

边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力.体积应变以及最大剪应力。aaaPyxz第23页，共30页，2023年，2月20日，星期六解：铜块上截面上的压应力为yyZxzx(b)由第24页，共30页，2023年，2月20日，星期六解得铜块的主应力为第25页，共30页，2023年，2月20日，星期六体积应变和最大剪应力分别为第26页，共30页，2023年，2月20日，星期六例题9-8

壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45°和135°角即x,y

两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m

的扭转力偶,如图所示已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa和=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=80MPa,试求k点处的线应变x,y以及变形后的筒壁厚度。Dtymkx第27页，共30页，2023年，2月20日，星期六Dtxymkxyk可求得:解:

从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示第28页，共30页，2023年，2月20日，星期六k点处的线应变x,y