高等数学教案第五章

第五章函数本章知识原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质基本积分公式不定积分的换元积分法、分部积分法微分方程初步定积分的概念及其基本性质变上限积分和牛顿莱布尼茨公式定积分的换元积分法和分部积分法无限积反常积分定积分的简单应用本章重点：不定积分的概念，不定积分的基本性质，定积分的概念及其基本性质，变上限积分求导公式和牛顿莱布尼茨公式，定积分的简单应用本章难点：求不定积分，定积分的应用原函数与不定积分的概念原函数与不定积分原函数的定义若在某一区间上，则在这个区间上，函数F(x)叫做函数f(x)的一个原函数。定理1 若函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上的原函数一定存在。定理2 若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函.定理3 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)F(x)+C（C为任意常数。不定积分的定义定义若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分，记为 f(x)dx F(x)C其中∫称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，C称为积分常数，f(x)dx称为被积表达式。fF(x)Cy=F(x)y轴上下平移而得到的一族积分曲线。不定积分的基本性质不为零的常数因子，可移动到积分号前。kfxdxkfxdx两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和f(xf(x)dxg(x)dx3.[ f(x)dx]'f(x) df(x)dxf(x)dx或4.

f'(x)dxfC f或基本积分公式就对应地有一个不定积分公式。FF(x)f(x)f(x)dxF(x)C(kxC)kkdxkxC(11x1)xxdx11x1C(1)(lnx)1x1dx lnxx C(axlna)axadxxaxlnaC(ex)exexdxexC(sinx(sinx)cosxcosxdxsin xC(cosx)sinx(tanx)sec2xsec2xdxtanxC(cotx)csc2xcsc2xdxcotxC(arcsinx)11x211x11x2dxarcsinxC(arctanx)11x2dxarctanxC第一换元积分法形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。定理1 设f具有原函数F可导，则有f[(x)](x)dx[f(u)du] F[(x)]Cu(x)凑微分常见类型1）

f1a

fb1FbCa

a02）

f(xn1)xndx

f(xn1)d(xn1)n13）f)exdx3）

f(ex)dexfdxflnx4） x5）(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx5）6）7）

f(tanx)sec2xdxf(tanx)d(tanx)fdxf(arctanx)d(arctanx)1x21x2f(arcsinnx)dxf(arcsinx)1x28）第二换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法x＝φ(t)，而积分f(x)dxf[(t)]'(t)dt可用基本积分公式求解。目的：去根号或化为基本积分公式定理设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ’(t)≠0，x＝φ(t)的反函数t=φ-1(x)存在且可导，并且f[(t)]'(t)dtF(t)C即： f(x)dxF[1(x)]C分部积分法设函数uux,vvx的导数都存在且连续，则uxvxdxuxvxuxvxdx指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数位于前面的用dv，位于后面的用u微分方程初步微分方程的基本概念引例微分方程的一般概念微分方程：联系着自变量、未知函数及函数的导数（或微分）的方程。常微分方程：自变量只有一个的微分方程.::.:定解条件：用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为定解条件（初始条件）特解:确定了通解中任意常数以后的解，即满足初始条件的解.初值问题：求微分方程满足初始条件的问题，称为初值问题。特解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.可分离变量的微分方程形如f对f两边不定积分，得f设F分别是f的一个原函数，那么微分方程f的通解为GxFC其中C为任意常数。这种将微分方程中的变量分离开来，然后求解的方法称为分离变量法一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:dyP(x)yQ(x)dx当Q(x) 0,以上方程称为一阶齐次线性微分方.当Q(x) 0,以上方程称为一阶非齐次线性方一阶线性微分方程的解法线性齐次方程dyP(xyQ(x)使用分离变量dxdyP(x)dx,ydyy

P(x)dx,lnyP(x)dxlnC,yCePx)dx.dyPxyQx).dx常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.新未知函数u(x)原未知函数y(x),作变换yu(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dxu(x)[P(x)]eP(x)dx,将y和y代入原方程得u(x)eP(x)dxQ(x),u(x)Q(x)eP(x)dxdx一阶线性非齐次微分方程的通解为:y[Q(x)eP(x)dxdxC]eP(x)dxCeP(x)dx

eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx定积分的概念及其基本性质引例曲边梯形的面积由边际成本求可变成本定积分的概念定义:设函数fx在区间a,b上有定义，用区间a,b内任意n1个分点ax

xx1

x bn1 n将区间a,b分成n个小区间，小区间的长度为xxx ni ii 在每个小区间上任取一点x,x ，作和I n

if

i

i1记

ni1, ,

i i,

0x x x1 2

x n1 n

，若极限limn0i1

fi

xi存在，则称此极限值为函数f

记作

f

dx即bfxdxlimn0

fi

axia i1 这时称函数fx在区间a,b上可积，其中fx称为被积函数，x称为积分变量，fxdx称为被积表达式，b称为积分上限，a称为积分下限定积分的几何意义曲边梯形的面积：a

f(x)dxA 曲边梯形的面积的负值a

f(x)dxA一般情况下，定积分a

fxdx表示曲线y=f(x)与x轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。ba

f(x)dxSSS1 2 3定积分的基本性质性1 bfxgxdx

fxdxbgxdxa a a性2 bkfxdxkbfxdx为常数a a性3 积分区间可加性

fxdx

fxdx

fxdxa a cgxfxdx性4设在区上有fx gxfxdx

b

bgxdxa a，则fxdx1上有fx，则fxdx

b 0推论2 b

fxdx

afxdxa a5设函数fxa,b上有最大值，和最小值，则mbab

fxdxMba6设函数f上连续，则至少存在一点

a,b使得bfxdxfbaa微积分基本定理变上限积分及其导数公式设函数上连续，并且设x上的一点，考察定积分x

f(x)dx

f(t)dt是x的函数，记x)a

a af(t)dt为积分上限函数或称积分上限函数。定理 若fx在[a,b]上连续则积分上限函数(x)xa

f(t)dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数是

dxf(t)dtf(x)dxa推论 设f在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必存在原函数。推论 f上连续上可导，ub dffdxa微积分基本定理微积分基本定理也可叫做牛顿-莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。定理（牛顿-莱布尼茨公式）：若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则bf(x)dxF(b)F(a)a定积分的换元积分法和分布换元法

定理换元积分公式 设函数f x在a,b上连续，函数xt:在区间或,上单调，且具有连续导数当t在x上变化，且a, b则有ba

fx

fttdt上式称为定积分的换元积分公式定积分的分部积分法设函数ux,vx在区间a,b上具有连续导数，则有buxvxdxuxvxbbuxvxdx上式称为定积分的分部积分公式a a a反常积分定义设函数∞b是∞内任一实数，若极限limbf()dx存在，ba则称此极限值为函数f(x)在区间[a,+∞)内的反常积分，记作a

f(x)dx lim b a

f(x)dx并称此时反常积分收敛，否则，若limbf()dx.ba∞上的反常积分：b

f(dxlimbf(dxaa

fx)dx称为f(x)在区间(-∞，+∞)上的反常积分，若对任意实数c，反常积分和c f(dx和

c

f

都收敛，则称反常积分收敛或存在，否则称为发散．这个反常积分值的几何意义是：当a→-∞,b→+∞时，虽然图中阴影部分向左、右无限延1伸，但面积却有极限值πy面积。

1x2

的下方，x轴上方的图形定积分的应用平面图形的面积yfxAa

f(x)dxy1

fy1

fAbf2 a 2

(x)f1

(x)]dxxAdxdxcx1

fx2

fAdfx)gxc旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕x轴旋转Vb[f(x)]2dxaxyycydy轴所围成的曲边梯y轴旋转一周而成的立体，体积为Vd[y)]2dyc由边际函数求总函数已知一个总函数（如总成本函数、总收益函数等，利用微分或求导运算就可以求出其边际函数（边际成本、边际收益等分运算。当固定成本为C，边际成本为CQ,边际收益为RQ,且产销平衡，即产量、需求量和销量均为Q时；0

CQQCtdtC;0 0RQQRtdt;0LQRQCQQRtCtdtC0 0本章小结：原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质知道不定积分的基本性质基本积分公式熟练基本积分公式，熟练运用不定积分的换元积分法和分部积分法熟练运用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，掌握几种常见的第一类换元积分