2018年文科数学全国三卷真题及答案

2018年数学试题文（全国卷3）一、选择题（本题共12小题,每小题5分共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）.已知集合A={%I%-1三0}B={。1,2},则AIB二.已知集合A={%I%-1三0}B={。1,2},则AIB二({0}{1}{1,2}{0,1,2}.(1+i)(2-i)=()B.—3+i3—i3+i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫棒头，凹进,俯视方向4.生•一1若sina=—3则cos2a=(A．5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7.函数f(%)=,an”的最小正周期为()1+tan2%A.己 B.三 C.九 D. 2冗.下列函数中，其图像与函数y=ln%的图像关于直线%=1对称的是( )A. y=ln(1—%) B. y=ln(2—%) C. y =In(1+%) D. y=In(2+%).直线%+y+2=0分别与%轴，y轴交于A,B两点，点P在圆（%—2»+y2=2上，则AABP面积的取值范围是（ ）A.L6〕B.【4，8〕A.L6〕B.【4，8〕D.)9.函数y=-%4+%2+2的图像大致为（b>0）的离心率为22,则点（4,0）到C的渐近线的10.已知双曲线C：上-

a2距离为( )A.<2 B.2 C./ D.2v2.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为a2+b"2，则C=4B.C.4B.C.4.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，^ABC为等边三角形且其面积为9v3，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（ ）A.12<318^324A.12<318^324<354v3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.已知向量a=(1,2),b=(2,—2),c=(1,力.若c〃(2a+b)，则X=.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是2%+y+3三0,15.若变量％,y满足约束条件L-2y+4三0,则z=%+1y的最大值是.%-2W0..已知函数f（%）=lnC/1-%2一％）+1,f（a）=4，则f（-a）=.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分。.（12分）等比数列｛a｝中，a=1,a=4a.⑴求｛a｝的通项公式；n⑵记Sn为｛an｝的前n项和.若S=63，求m.18.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图:第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689S77654332314452110090

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附：n(ad附：n(ad-bc)2+b无+dm+kd)'P(k2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.（1219.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧匚口所在平面垂直，M是口口上异于C,D的点.⑴证明：平面AMD，平面BMC；⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC〃平面PBD?说明理由.20.（12分）已知斜率为k的直线/与椭圆C：三+£=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m〉0).4 3⑴证明：k<-12uuruuruuruuruiiruur⑵设uuruuruuruuruiiruur⑵设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0.证明：2FP=FA+FB21.(12分)已知函数f(x)=a2+x-1.ex⑴求由线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;⑵证明：当a三1时，f(x)+e三0.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy中，。0的参数方程为5=。吗(9为参数)，Iy=sin9过点Q,―、;2)且倾斜角为a的直线l与。O交于A,B两点.过点⑴求a的取值范围；⑵求AB中点P的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)设函数f(x)=|2x+1|+卜-1|.⑴画出y=f(%)的图像；⑵当%£［0,+8),f(x)wax+b，求a+b的最小值.参考答案一、选择题.答案：C解答：A={XIX-1>0]={XIX>1},B={0,1,2},・・.AIB={1,2}.故选c..答案：D解答：(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i,选d..答案：A解答：根据题意，A选项符号题意；.答案：B27....解答：cos2a=1-2sm2a=1--=9.故选b..答案：B解答：由题意P=1-0.45-0.15=0.4.故选b..答案：C解答：sinx“、tanxcosX sinxcosx . 1,f(x)= =―c0sx-= =sinxcosx=-sin2x,+tan2xrsin2xsin2x+cos2x 2+—cos2X“、一2兀，f(x)的周期T=~r~=兀.故选C..答案：B解答：f(x)关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=ln(2-x).故选B..答案：A解答：由直线X+y+2=0得A(-2,0),B(0,-2),AIAB1=初+22=2<2，圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0),・•.圆心到直线x+y+2=0的距离为工上2=2<2,+1・•.点P到直线x+y+2=0的距离的取值范围为2<2-蜀<d<2<2+<2，即七一一口 1<2<d<3v2,•S=-IABI-dg[2,6].AABP2.答案：D解答：当X=0时，y=2，可以排除A、B选项；..一 ,.<2..v2, .又因为y=-4X3+2x=-4x(x+--)(x--—)，则f(x)>0的解集为(-8,-U(0,Z-)，f(X)单调递增区间为(-8,----),(0,Z—)；f'(X)<0的解.J2一一 — .J2i.云集为(——5—,0)U(一4+②)，f(x)单调递减区间为(—-$-,0)，(-$-,+8).结合图象，可知D选项正确..答案：D解答：c b由题意e=-=V2，则一=1,故渐近线方程为X土y=0,则点(4,0)到渐近线的距离a aI4土0II4土0I=2<2.故选D..答案：C解答：a2.答案：C解答：a2+b2-c2 2abcosC 1, 「S= = =—abcosC,AABC 4 4 2又S=—absinC，故tanC=1,tsABC 2一九,C=—.故选C.4.答案:B解答：如图，AABC如图，AABC为等边三角形，点O为a,b,D外接球的球心，G为AABC的重心，由2S =9”3,得AB=6,取BC的中点H一•.AH=AB•sm600=3<3一•.AG=—AH=2v3,KABC 3二球心O到面ABC的距离为d=《42-(2<3)2=2一,.三棱锥D—ABC体积最大值V =1义9d3义(2+4)=18v3.D-ABC31.答案：2解答：rr rrr 12a+b=(4,2),・.・c//(2a+b),.・.1x2-九x4=0，解得X=-.2.答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.答案：3解答：由图可知在直线x-2j+4=0和x=2的交点(2,3)处取得最大值，故z=2+3x3=3..答案：-2解答：f(-%)=lnf(x)+f(一％)=ln(<1+%2一％)+1+ln(<1+x2+x)+1=ln(1+x2—%2)+2=2,:,f(a)+f(-。)=2，:.f(-a)=-2.三、解答题17.答案：(1)a=2n-1或a=(-2)n-1；(2)6.一、 a 一解答：（1）设数列｛a｝的公比为q，,q2=T=4，二q=±2.a3・•.an=2n-1或an=(-2)n-1.1-2n-T 1+(-2)n 1T一(2)由(1)知，S=--=2n-1或S=J/=日1-(-2)n]，

n1—2 n 1+2 3；.S=2m-1=63或S=-[1-(-2)m]=63(舍)，m m3m=6.18.解答：(1)第一种生产方式的平均数为x1=84，第二种生产方式平均数为x2=74.7x1>x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,,第二种生产方式的效率更高.超过丸不超过丸合北第一种生产方式15520第一种生产方式超过丸不超过丸合北第一种生产方式15520第一种生产方式51520合计202040n(ad-bc)2（2）由茎叶图数据得到m=80,・••列联表为K2=40(15*15-5x5)2(3)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 20x20x20x20=10>6.635，，有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.解答：（1）...正方形ABCD1半圆面CMD,10

・•.AD1半圆面CMD，二AD1平面MCD.•:CM在平面MCD内，・•・AD1CM，又,:M是半圆弧CD上异于C,D的点，・•・CM1MD.又,:ADIDM=D，:.CM1平面ADM，•:CM在平面BCM内，.•.平面BCM1平面ADM.(2)线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：连接BD,AC交于点。，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；・•.OP//MC，•二OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，.・.mc//平面PDB.20.解答:(1)设直线l方程为y=kx+1，设A(x,y),B(x,y),y=kx+1<x2y2联立消y得(4k2+3)x2+8ktx+412-12=0,一+L=1[4 3则A=64k212-4(412-12)(3+4k2)>0,得4k2+3>12…①，-8kt 「且x+x=0-=2，y+y1 23+4k2 1 2m>0,.t>0且k<0.61=k(x+x)+21= =2m,1 2 3+4k23+4k2且t=^4T…②.(3+4k2)2由①②得442+3> ,11

k<0,.,.k<-1.2

uuruirutrruuruuurrFP+FA+FB=0,FP+2FM=0,•・•M(1,m),F(1,0),.・.P的坐标为(1,-2m).TOC\o"1-5"\h\z八 14m2. 3 3、由于P在椭圆上，，-+—=1,，m=-,M(1,--),I J I 乙y-y3x+x两式相减可得3 =---T 2x-x4y+y又x+x=2,y+y=—，,k=-1,1 2 1 2 23直线/方程为y- =-(x-1),47即y=-x+4,[4 3[4 3uuruuruur，IFAI+IFB1=21FPI.21.解答：(1)由题意：f(x)=a2+x-1得ex尸(x)(2ax+1)ex-(ax2+x-1)ex -ax2+2ax尸(x)(ex)2 ex12

……2・•・f'(0)=i=2，即曲线y=f(%)在点(0,—1)处的切线斜率为2,・•.y—(—1)=2(%—0)，即2%—y—1=0；(2)证明：由题意：原不等式等价于：e%+1+a%2+%—1>0恒成立；令g(%)=e%+1+a%2+%一1,g'(%)=e%+1+2a%+1,g〃(%)=e%+1+2a,Va>1,Ag”(%)>0恒成立，.•.g'(%)在(—8,+8)上单调递增，Ag'(%)在(—8,+8)上存在唯一%0使g'(%0)=0,Ae%0+1+2a%0+1=0，即e%°+1=—2a%「1,且g(%)在(—8,%0)上单调递减，在(%0,+8)上单调递增,・.・g(%)>g(%0).又g(%)=e%(+1+a%2+%-1=a%2+(1—2a)%一2=(a%+1)(%一2),g'( )=e1-a—1,Va>1,A0Ve1a—1<e—1,A%V——,Ag(%)>0,得证.a 0a综上所述：当a>1时，f(%)+e>0.22.解答：I%=cos。(1)eO的参数方程为《 .a，AeO的普通方程为%2+y2=1，当a=90。时，y=sin。直线：l:%=0与eO有两个交点，当aw90。时，设直线l的方程为y