数学物理方法解析函数

数学物理方法解析函数第1页，共94页，2023年，2月20日，星期六教材：

《数学物理方法》（第二版）

姚端正梁家宝编著任课教师：刘辛第2页，共94页，2023年，2月20日，星期六3数学物理方法复变函数篇数学物理方程篇特殊函数篇第3页，共94页，2023年，2月20日，星期六数学物理方法复变函数篇4第4页，共94页，2023年，2月20日，星期六1.1复数及其运算数的扩张（完善化）自然数（+负整数）整数（+分数）有理数（+无理数）实数（+虚数）复数5第一章解析函数复数概念：一对有序的实数（x，y）代数表示z=x+iyx=Real(z)（实部）,y=Imagine(z)（虚部）,i2=-1(虚单位）第5页，共94页，2023年，2月20日，星期六几何表示关系x=rcosφy=rsinφφ=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小（模比较大小）矢量性复数有方向6第6页，共94页，2023年，2月20日，星期六任一复数z≠0有无穷多个辐角（相差2kπ），以argz表示其中在2π范围内变换的一个特定值，称之为辐角的主值，通常取

-π＜argz≤π

则Argz=argz+2kπ（k=0，±1，±2，…）

z处于第一象限：argz=arctan（y/x）；第二象限：argz=arctan（y/x）+π；第三象限：argz=arctan（y/x）-π；第四象限：argz=arctan（y/x）。7第7页，共94页，2023年，2月20日，星期六三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|（模）,φ=Arg(z)（辐角）指数表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ代数表示z=x+iyx=Re(z),y=Im(z)复数的表示8第8页，共94页，2023年，2月20日，星期六9

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例解.,的积是实数两个共轭复数zz结论：共轭复数第9页，共94页，2023年，2月20日，星期六10共轭复数的性质以上各式证明略.第10页，共94页，2023年，2月20日，星期六11例1证.(2);(1)

:

,

,

2121212121zzzzzzzzzz+£+=证明为两个任意复数设第11页，共94页，2023年，2月20日，星期六12两边同时开方得同理可证：第12页，共94页，2023年，2月20日，星期六13设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1±

z2=(x1±

x2)

+i(y1±

y2)

复数加减法满足平行四边形法则z1+(-

z2)-

z2复数的运算交换律、结合律、分配律成立第13页，共94页，2023年，2月20日，星期六14乘法运算

两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算

两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减第14页，共94页，2023年，2月20日，星期六乘方运算当r=1时上式对所有n取整数，恒成立。15第15页，共94页，2023年，2月20日，星期六16开方运算第16页，共94页，2023年，2月20日，星期六从这个表达式可以看出：1）当k=0,1,2…n-1时，得到n个相异的值；当k取其他整数值时，将重复出现上述n个值。因此，一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。2）上述n个方根具有相同的模，而每个相邻值的辐角差为2π/n，故在几何上，w的n个值分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆内接正n边形的顶点上。17第17页，共94页，2023年，2月20日，星期六模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对应的。复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一个“点”，称为无限远点，记为∞，其模大于任何正数，辐角不定。平面上的具体点难以描绘无限远点，为此引入复球面的概念。

把一个球放在复平面，使其南极S与复平面相切于原点，复平面上任一点A与球的北极N连线交与球面A’点，则复平面上每一有限远点与球面上的点一一对应（此对应称测地投影），A无限远离o

时，A‘点无限趋近于N，故可将N看做无限远点的代表点。此球面称为复球面或黎曼球面，复平面上只有一个无穷远点。AxyoSA‘N18第18页，共94页，2023年，2月20日，星期六19复平面上的点集

定义

由不等式(δ为任意的正数)所确定的复平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0为中心的δ邻域或邻域。而称由不等式

所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。δ第19页，共94页，2023年，2月20日，星期六20

定义

设D为点集，z0为D中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于D，则称z0为D的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于D，则称点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称点z0为D的边界点，点集D的全部边界点称为D的边界。内点，外点，边界点开集

注意

区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。定义

若点集D的点皆为内点，则称D为开集Dz0开集第20页，共94页，2023年，2月20日，星期六21

定义

点集D称为一个区域，如果它满足：

(1)

属于D的点都是D的内点，或D是一个开集；

(2)D是连通的，就是说D中任何两点z1和z2都可以用完全属于D的一条折线连接起来。

通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为区域Dz1z2p第21页，共94页，2023年，2月20日，星期六22邻域z复平面上圆内点的集合

内点z

和它的邻域都属于D，则z

为D

的内点外点z

和它的邻域都不属于

D，则

z

为

D

的外点边界点不是内点，也不是外点的点边界全体边界点的集合z区域内点组成的连通集合闭区域区域和边界线的全体区域区域概念总结第22页，共94页，2023年，2月20日，星期六23xyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOy21第23页，共94页，2023年，2月20日，星期六曲线

如果曲线的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数，那么曲线Г就叫连续曲线。

对于连续曲线，则曲线没有重点（纽结），则称Г为简单曲线。当

时，则称简单闭曲线。

光滑曲线：若连续曲线在区间上存在连续的及，且两者不同时为零，则在曲线上每点均有切线且切线方向是连续变化的。第24页，共94页，2023年，2月20日，星期六简单闭曲线把扩充复平面分为两部分，一部分是不含∞的点集，称为该曲线的内部；另一部分是含∞的点集，称为该曲线的外部。这两个区域都以给的简单闭曲线（也称若尔当曲线）作为边界。曲线内外部区分（若尔当定理）第25页，共94页，2023年，2月20日，星期六26单连通域与多连通域

设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B

，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域第26页，共94页，2023年，2月20日，星期六27举例指出下列不等式中点z在怎样的点集中变动？这些点集是不是单连通区域？是否有界？第27页，共94页，2023年，2月20日，星期六281.2复变函数复变函数的定义第28页，共94页，2023年，2月20日，星期六29映射(函数)的概念1.映射的定义:第29页，共94页，2023年，2月20日，星期六30第30页，共94页，2023年，2月20日，星期六312.两个特殊的映射第31页，共94页，2023年，2月20日，星期六32且是全同图形.第32页，共94页，2023年，2月20日，星期六33第33页，共94页，2023年，2月20日，星期六34根据复数的乘法公式可知,第34页，共94页，2023年，2月20日，星期六35(如下页图)第35页，共94页，2023年，2月20日，星期六36

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.第36页，共94页，2023年，2月20日，星期六37以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线)第37页，共94页，2023年，2月20日，星期六38函数的极限1.函数极限的定义:注意:第38页，共94页，2023年，2月20日，星期六39定理一与实变函数的极限运算法则类似.2.极限计算的定理第39页，共94页，2023年，2月20日，星期六40定理二证根据极限的定义(1)必要性.第40页，共94页，2023年，2月20日，星期六41(2)充分性.第41页，共94页，2023年，2月20日，星期六42[证毕]说明第42页，共94页，2023年，2月20日，星期六43例1证(一)第43页，共94页，2023年，2月20日，星期六44根据定理二可知,证(二)第44页，共94页，2023年，2月20日，星期六45第45页，共94页，2023年，2月20日，星期六46例2证第46页，共94页，2023年，2月20日，星期六47根据定理二可知,第47页，共94页，2023年，2月20日，星期六48函数的连续性1.连续的定义第48页，共94页，2023年，2月20日，星期六49定理三例如,第49页，共94页，2023年，2月20日，星期六50定理四第50页，共94页，2023年，2月20日，星期六51例3证第51页，共94页，2023年，2月20日，星期六521.3导数(微分)1.导数的定义第52页，共94页，2023年，2月20日，星期六53在定义中应注意:第53页，共94页，2023年，2月20日，星期六54例1

解第54页，共94页，2023年，2月20日，星期六55例2

解第55页，共94页，2023年，2月20日，星期六56第56页，共94页，2023年，2月20日，星期六572.可导与连续

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证[证毕]第57页，共94页，2023年，2月20日，星期六583.求导法则

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:第58页，共94页，2023年，2月20日，星期六59第59页，共94页，2023年，2月20日，星期六604.微分的概念

复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.定义第60页，共94页，2023年，2月20日，星期六61特别地,第61页，共94页，2023年，2月20日，星期六62解析函数的概念

设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明2.称函数的不解析点为奇点1.解析与可导的关系

函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然在区域B内的解析函数必在B内可导

5解析函数例：函数只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析f(z)在点z0

无定义或无确定值；f(z)在点z0

不连续；f(z)在点z0

不可导；f(z)在点z0

可导,但找不到某个邻域在其内处处可导第62页，共94页，2023年，2月20日，星期六由解析函数的定义和函数的求导法则可得:（1）如果函数f（z）在区域σ中解析，则它在这个区域中是连续的。（2）如果f1（z）和f2（z）是区域σ中的解析函数，则其和、差、积、商（商的情形要求分母在σ内不为零）也是该区域中的解析函数。（3）如果函数ξ=f（z）在区域σ内解析，而函数w=g（ξ）在区域G内解析，若对于σ内的每一点z，函数f（z）的值ξ均属于G，则函数w=g[f(z)]是区域σ上复变量z的一个解析函数。（4）如果w=f（z）是区域σ上的一个解析函数，且在点z0∈σ的邻域中|f’（z）|≠0，则在点w0=f（z）∈G的邻域中函数f（z）的值定义一个反函数z=ψ（w），它是复变量w的解析函数。有f’（z0）=1/ψ’（w0）。第63页，共94页，2023年，2月20日，星期六64可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xyz复数复函数z沿任一曲线逼近零。柯西—黎曼方程0实数实数：x沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。第64页，共94页，2023年，2月20日，星期六Q：当u，v有偏导时，在什么补充条件下，W=f(z)也有导数？

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上有定义，在D内一点z=x+iy可导，有第65页，共94页，2023年，2月20日，星期六66柯西—黎曼方程z沿实轴,y0可导，要求二者相等z沿虚轴,x0第66页，共94页，2023年，2月20日，星期六67解析函数的充分条件设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析（证明见教材P15-16）。注意：解析函数的实部和虚部满足C-R条件且都是调和函数（调和函数概念及证明见教材P17）第67页，共94页，2023年，2月20日，星期六解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着，因此，只要知道解析函数的实部（或虚部），就能求出相应的虚部（或实部）。具体可以用以下两种方法求：（1）已知u求v，可以从全微分出发：68第68页，共94页，2023年，2月20日，星期六（2）已知u求v，还可以由关系，对y积分来求：当然也可以由关系两边对x积分，类似上述过程求v。像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件联系着的调和函数u和v，称为共轭调和函数。69第69页，共94页，2023年，2月20日，星期六例：试证在复平面上解析，且证：这四个偏导在复平面处处连续，且：所以f(z)在复平面内解析，同时70注：最后的求导利用P16结果第70页，共94页，2023年，2月20日，星期六711.4初等解析函数1指数函数这里的ex是实指数函数实的正余弦函数性质：第71页，共94页，2023年，2月20日，星期六72三角正弦与余弦函数将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.2三角函数第72页，共94页，2023年，2月20日，星期六73三角函数第73页，共94页，2023年，2月20日，星期六74(注意：这是与实变函数完全不同的)sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=ncosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2)n=0,1,2,···,n,···(4)(5)sinz,cosz在复数域内均是无界函数第74页，共94页，2023年，2月20日，星期六75其它复变三角函数的定义第75页，共94页，2023年，2月20日，星期六763双曲函数第76页，共94页，2023年，2月20日，星期六774对数函数因此第77页，共94页，2023年，2月20日，星期六78第78页，共94页，2023年，2月20日，星期六对数函数的基本运算性质

下面等式不再成立

而应该是79第79页，共94页，2023年，2月20日，星期六多值函数的概念初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：

w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：第80页，共94页，2023年，2月20日，星期六

为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内Argz的主值argz

：是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。第81页，共94页，2023年，2月20日，星期六我们研究下图的情形：沿负实轴的割线上沿下沿第82页，共94页，2023年，2月20日，星期六第83页，共94页，20