微积分试卷及标准答案6套

微积分试题(A卷)0则对于，总存在δ>0，使得当an2bn53n22，则a=，blimn=。3.若当xx时，与是等价无穷小量，则。lim0xx0limf(x)4.若f(x)在点x=a处连续，则。xa5.f(x)ln(arcsinx)的连续区间是。limf(x3h)f(x)______________。6.设函数y=ƒ(x)在x点可导，则000hh07.曲线y=x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为。8.d(xf(x)dx)。R24Q2Q2，CQ5，则当利润最大时产9.设总收益函数和总成本函数分别为2量Q是。二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列{x}在a的邻域（a-,a+）内有无穷多个点，则（）。n但不一(A)数列{x}必有极限，定等于a(B)数列{x}极限存在，且nn一定等于a(C)数列{x}的极限不一定存在(D)数列{x}的极nnx1则为函数的（）。()fx2.设f(x)arctg(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷型间断点(D)连续点lim(11)（）。x3.x31x(A)1(B)∞(C)e(D)e23pp5。当价格p（）时，4.对需求函数Qe，需求价格弹性E5d需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。(A)3(B)5(C)6(D)105.假设limf(x)0,limg(x)0；f(x),g(x)在点x的某邻域内(x可以除外)存00xxxx00在，又a是常数，则下列结论正确的是（）。f(x)g(x)limf(x)a或g(x)(A)若lima或，则xxxx00f(x)a或，则limf(x)a或(B)若limg(x)g(x)xx0xx0f(x)f(x)lim(C)若lim，则g(x)不存在g(x)不存在xxxx00(D)以上都不对6.曲线f(x)x3ax2bxa2的拐点个数是（）。(A)0(B)1(C)2(D)37.曲线y4x1（）。(x2)2(A)只有水平渐近线；(B)只有垂直渐近线；(C)没有渐近线；(D)既有水平渐近线，y又有垂直渐近线f(x)f(x)8.假设连续，其导函数图形如右图所示，则具有()xo(A)两个极大值一个极小值(B)两个极小值一个极大值(C)两个极大值两个极小值(D)三个极大值一个极小值x，则()。9.若ƒ(x)的导函数是ƒ(x)有一个原函数为2(A)lnx；(B)lnx；(C)x1；x3(D)三．计算题(共36分)1x1x（6分）limx01．求极限x12．求极限lim(lnx)x（6分）xsin2xx0xf(x)axsin1bx0x0a,bf(x)，求的值，使在(-∞，+∞)上连续。(63．设x分)yy，求及4．设exyxy1（6分）x0xedx（6分）5．求不定积分2x4xdx.（6分）6．求不定积分211x2y析函数的几何性质，求渐近线，四．利用导数知识列表分并作图。(14分)12f(0)f(1)0,f()1，试证：五．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且12(1)至少存在一点，使(,1)f()；f()1(2)至少存在一点，使；(0,)x(0,)，使得f(x)[f(x)x]1。(12分)(3)对任意实数，必存在0000微积分试题(B卷)一.填空题(每空3分,共18分)10.fxbdxba.11.e2xdx.012.关于级数有如下结论：①若级数1uuu0收敛，则发散.收敛.nnn1n1n②若级数1uu0发散，则unnn1n1n(uv)必发散.③若级数u和v都发散，则nnnnn1n1n1④若级数u收敛，v发散，则(uv)必发散.nnnnn1n1n1⑤级数ku（k为任意常数）与级数u的敛散性相同.nnn1n1写出正确结论的序号.．．13.设二元函数xyzxe(x1)ln1y，则dz.(1,0)dxdy.14.若D是由x轴、y轴及2x+y–2=0围成的区域，则D15.微分方程xyy0满足初始条件y(1)3的特解是.二.单项选择题(每小题3分,共24分)f(x)x(t1)(t2)dt，则f(x)在区间[-3，2]上的最大值为（）.10.设函数0210(C)1(D)4(A)(B)33xyd,11.设I1cosx2y2d,Icos()Icos(x2y2)2d，其中2223DDDD{(x,y)x2y21}，则有（）.(A)III(B)III(C)III(D)III21233212133112.设u0,n1,2,3，若u发散，(1)n1u收敛，则下列结论正确的是().nnnn1n12n1(A)u收敛，u发散(B)u收敛，u发散2n12n2nn1n1n1n1(uu)收敛(D)(uu)收敛(C)2n12n2n12nn1n1f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有连续的f(x,y)在该点可微的()13.函数偏导数，是条件.(A)充分非必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）既非充分又非必要14.下列微分方程中，不属于一阶线性微分方程的为（）.．．．xcoslnx(A)xyylnx(B)xylnxy3x(lnx1)，(C)(2yx)yy2x(D)(x21)yxy20115.设级数a绝对收敛，则级数(1)na（）.nnnn1n1(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)不能判定敛散性散F(x)x2esintsintdt，则16.设F(x)（）.x(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数uuuu（）.，则xyztuf(xy,yz,tz)17.设(A)2f(B)2f(C)2f(D)0123四.计算下列各题(共52分)1.cosxcos3xdx（5分）222.求曲线2,yxxy0,x1,x3所围成的平面图形的面积.（6分）23.已知二重积分x2d，其中D由11yx2,x1以及0y围成.D(Ⅰ)请画出D的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分）(Ⅱ)请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分）(Ⅲ)选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）,,ufxyz有连续偏导数，且,是由方程zxeyezez所确定y4.设函数zxyuu,的二元函数，求及du.（8分）xy(1)nx2n5.求幂级数的收敛域及和函数S(x).（8分）2nn16.求二元函数f(x,y)(x2y)e2y的极值.（8分）2的通解，及满足初始条件f(0)1,f(0)0的特解.(67.求微分方程yye2x分)五.假设函数f(x)在[a,b]上连续f(x)0，记,在(a,b)内可导，且1xaxf(t)dt，证明在(,)内.（6分）abF(x)F(x)0a微积分试卷(C)一.填空题(每空2分,共20分){x}{x}1.数列有界是数列收敛的条件。nnysinx22.若，则dy。xy3.函数,x0是第类间断点，且为tanx间断点。axbx13，则a=，b=。4.若limx12xdx中，过点（0，1）的曲线方程5.在积分曲线族是。[1,1]6.函数f(x)x在区间上罗尔定理不成立的原因是。F(x)xetdt，则F(x)。7.已知0PQ12，则当p=6时的需求价格弹性为8.某商品的需求函数为2EQ。EP二.单项选择题(每小题2分,共12分)1.若，则（）。lim3limxxxx00(A)–2(B)0(C)13(D)23x1处连续但不2.在可导的函数是（）。1(A)y(B)yx1(C)yln(xx11)2y(x1)2(D)f(x)1x不正确的3.在区间（-1，1）内，关于函数2叙述为（）。．．．(A)连续(B)有界(C)有最大值，且有最小值(D)有最大值，但无最小值x0时，sin2x是关于x的（）。4.当(A)同阶无穷小(B)低阶无穷小(C)高阶无穷小(D)等价无穷小55.曲线yxx3在区间（）内是凹弧。(A)(,0)(B)(0,)(C)(,)(D)以上都不对6.函数e与ex满足关系式（）。x(A)exex(B)eex(C)exexx(D)exex三．计算题(每小题7分,共42分)x(ex1)1．求极限limx01cosx。2．求极限lim2nsin2xn（x为不等于0的常数）。n1x2x3．求极限limx。x4．已知y1xey，求y及y。x0x05．求不定积分sinxdx。x6．求不定积分xln(x1)dx。x1y四．已知函数，填表并描绘函数图形。(14分)x2定义域yy单调增区间单调减区间极值点凹区间拐点极值凸区间渐近线图形：五．证明题(每小题6分,共12分)f(x)0。证明：f(x)具有连续的二阶导函数，且x0为f(x)的极值点。1.设偶函数22.就k的不同取值情况，确定方程xk在开区间（0,）内根的个数，并证明你sin2x的结论。《微积分》试卷（D卷）一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：x,yx,y处的1.函数f(x,y)在偏导数存在是在该处可微的（）条件。00A.充分；B.必要；C.充分必要；D.无关的．zlnxy在（1，1）处的全微分dz（）。332.函数3；D．．A．dxdy；B．；C．2dxdy3dxdydxdy23.设D为：x2yR2，二重积分的值x2y2dxdy=（）。2D22R；C．R3；D．R4．2321A．R2；B．y4y5yexsinx的特解形式为4.微分方程()。bsinx；Baexbcosxcsinx；AaexCaxexbsinx；Daxexbcosxcsinx．5.下列级数中收敛的是（）。n2n1(1)12n121nnA．；B．；C．；D．sin．nnn1n1n1二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：1x2arcsinxdx。1.1x212.f(x)x(t1)(t2)dt，则在区间[-2，3]上f(x)在x（-1）处取得最大值。0zxzyzx(x0)，则=，=。3.已知函数y4.微分方程y'4x3y在初始条件y4下的特解是:y=。x05.幂级数xn10n1的收敛半径是：R=。10nn1三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：z2阶连续偏导数，求。xy1.已知zf(xy,xy)，其中f具有二xlnz，求，。zz2.已知zyxy3.改换二次积分dxsiny22dy的积分次序并且计算该积分。20xy4y3y0在初始条件6，y'10下的特解。4.求微分方程yx0x0yf(x)，点(3,2)是其一拐点，直线l,l分别是曲线C在点(0,0)与5.曲线C的方程为12(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数f(x)具有三阶导数，计算3(x2x)f(x)dx。0x2n四、求幂级数(1)n的和函数s(x)及其极值（10分）。2nn1五、解下列应用题（本题共2小题，每小题10分，共20分）：311.某企业生产某产品的产量Qx,y100x4y4，其中x为劳动力人数，y为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性2P2，而市场对该商品的最大需求量为10000需求函数件，即Q(0)=10000,求Q(P)。《微积分》试卷（E卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）x1在x处可导，则（1.设函数fxx2;1）axb;x1A.a0,b1B.a2,b1C.a3,b2D.a1,b2fx2.已知fx在x0的某邻域内连续，且f00,limx01cosx2，则在x0处fx满足（）A.不可导B.可导C.取极大值D.取极小值dx3.若广义积分k收敛，则（）2lnxxA.k1B.k1C.k1D.k114.limex1()x1A．0B.C.不存在D.以上都不对5.当x0时，1cosx是关于x2的（）.A．同阶无穷小.B．低阶无穷小.C．高阶无穷小.D．等价无穷小.f(0)1,f(0)0，当x0时，f(x)0,f(x)0,x06.函数f(x)具有下列特征：0,x0则f(x)的图形为（）。yyyy1111ooooxxxx(A)(B)(C)(D)二、填空（每小题3分，共18分）1.limsinx。xx11x2dx。2.1f(xh)f(xh)lim3.已知f(x)存在，则0。00hh04．设yln(x1)，那么y(n)(x)。d0etdt。25．dxx26．某商品的需求函数Q75P2，则在P＝4时，需求价格弹性为，收P4ER入对价格的弹性是。EPP4三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）xarctantdt1．lim0x21x1x2x2．limxxexlnxdx3．14．dxx(1x6)所决定的隐函数yyx的导数dy.dxcostdt0y5．求由edt0xt0sinx6．已知是xf(x)的原函数，求xf(x)dx。yx与x1,y0所围成的平面图形绕37．求由曲线x轴旋转形成的旋转体的体积。yx2ykx1所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小8．求曲线与直线x2y(A类12分)列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出1x四、函数图形。解：(1)函数的定义域D:(,1)(1,)，无对称性；yx22x0,得x(1x)22,x02(2)1(2x2)(1x)2(x22x)(1x)22y1x(1x)34(3)列表：x(-∞，-2)-2（-2，－－0-1）（-1，0）0(0,+∞)＋y'y"＋0－－－＋＋＋y↗,∩极大值-4↘,∩↘,∪极小值0↗,∪(4)垂直渐近yx1yx1线：；斜渐近线：(5)绘图，描几个点(2,4),(0,0),(1,1),(2,)423ox(B类12分)列表分析函数yln(1x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。解：⑴函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称；2x1x2y⑵0,得x02(1x)2x2x2(1x)(1x)2y0,得x1,x1(1x)221x2122⑶列表：(只讨论（0,+∞）部分)yx0(0,1)1(1,+∞)y'0＋＋＋oxy"＋＋0－极小值f(0)=0；拐点（1,ln2）y极小值↗,∪拐点↗,∩⑷该函数无渐近线；⑸绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）fx五、（B类8分）设连续，证明：xftdtduxufuduxu000证明：令F(x)xuf(t)dtG(x)(xu)f(u)duF(x)G(x)（3分）只需证明x000F(x)f(t)dtx0G(x)xf(u)duuf(u)duxx00xfudu()()xf(u)duxf(x)xfx()Gx00F(x)G(x)（所以8分）a,b]上连续在(a,b)内可导且f(x)0（A类8分）设f(x)在[1xaxf(t)dt,x(a,b)F(x)a试证（1）F(x)在(a,b)内单调递减(2)0F(x)f(x)f(a)f(b)证（1）(xa)f(x)xf(t)dtF(x)a(xa)2积分中值定理(xa)f(x)f(ξ)(xa)（a,x）(xa)2f(x)f(ξ)xa)又(xa)0时有f(x)f(可由f(x)0知f(x)单调减,即在(a,b)内当x得F(x)0.即F(x)在(a,b)内单调减.(2)因F(x)f(x)x1axf(t)dtf(x)a积分中值定理f(ξ）f(x)0f(x)单调减知,f(a)f()f(x)f(b)于是有又由0F(x)f(x)f(a)f(b)《微积分》试卷（F卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）x1在x处可导，则（1.设函数fxx2;1）axb;x1A.a0,b1B.a2,b1C.a3,b2D.a1,b22.