专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库

第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．n5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义x0xx处取得增量x（点0设函数yf()x在点的某个邻域内有定义，当自变量在xx仍在该邻域内）时，相应的yf(xx)f(x)；如果00函数取得增量0y与x之比当x0时的yf()x在点x极限存在，则称函数处可导，并称这0f(x)，即0x0个极限为函数yf()x在点处的导数，记为yf(xx)f(x)f(x)limlim000，xxx0x0dydf()xyxx也可记作，dx或．xxdxxx000f(xh)f(x)f(x)lim00和说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有h0h0f()xf(x)0f(x)lim00hx；式中的即自变量的增量．xx0xx2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数yf()xI在开区间内的每点处都可导，f()xIxIf()x就称函数在区间内可导．这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数yf()x的导函数，记dydf()xf(x)0xyf()xf()x处的导数就是导函数作，，或．显然，函数在点dxdx0f()xxx0f(x)f()x．xx0在点处的函数值，即03．单侧导数（即左右导数）f(xh)f(x)x0f(x)limf()x00处的导数的定义，导数根据函数在点h0h0f(x)是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此存在（即0f(xh)f(x)f()xx0lim00在点处可导）的充分必要条件是左右极限及hh0f(xh)f(x)limx处的f()x且相等．这两个极限分别称为函数在点000都存在hh0f(xh)f(x)f(x)f(x)f(x)lim00左导数和右导数，记作和，即0，h00h0f(xh)f(x)f(x)limx0f()x00处可导的充分以说，函数在点．现在可h0h0f(x)0f(x)必要条件是左导数和右导数都存在并且相等．0f()x说明：如果函数在开区间内可导，(,)abf()a及f()bf()x在都存在，就说且[,]ab闭区间上可导．4．导数的几何意义f(x)0x0处的导数在几何上表示曲线yf()x在点函数yf()x在点M(x,(fx))f(x)tan0处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角．如果00yf()x在点xyf()xx的割线以垂直于轴的直线处的导数为无穷大，这时曲线0xx为极限位置，即曲线yf()x在点M(x,(fx))x处具有垂直于轴的切线000xx0．M(x,y)yf()x在点处0根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线0的切线方程和法线方程分别为：yyf(x)(xx)0；0切线方程：01yy0(xx0)．法线方程：f(x)05．函数可导性与连续性的关系x0f()xx处必连续，但反之不一定成立，0如果函数yf()x在点处可导，则在点x0即函数yf()x在点处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式(x)x（1）()C0；（2）1；（3）(sinx)cosx；（4）(cosx)sinx；（6）(cotx)cscx；（5）(tanx)sec2x；（7）(secx)secxtanx；（8）(cscx)cscotxx；（10）(ex)ex；aaa()ln；xx（9）1（12）(lnx)1(logx)a（11）xlna；x；11(arccosx)（14）(arcsinx)（13）；；1x1x221(arctan1(arccotx)（16）1xx)（15）；．1x222．函数的和、差、积、商的求导法则设函数uu()x，vv()x都可导，则（1）(uv)uv；（2）(Cu)CuC（是常数）；（3）(u)vuvuv；uuvuv()v（4）（v0）．v23．复合函数的求导法则设yf()u，而ug()x且f()u及g()x都可导，则复合函数yf[()]gx的dydyduy()xf()ug()x．导数为dxdudx或（三）高阶导数1．定义一般的，函数yf()x的导数yf()xyf()x的仍然是的函数．我们把xdy2导数叫做函数yf()x的二阶导数，记作y或x，即y(y)或d2d2yddy．相应地，把yf()x的导数f()x叫做函数yf()x的一阶2xdxdxd导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，(n1)n阶导数的导数叫做阶导数，分别记作d3ydy4ndyyy(4)，，y()n，，．或d3x，d4x，dnx为阶可导．如果函数f()x在函数yf()x具有n阶导数，也常说成函数f()xn点x处具有n阶导数，那么f()xxn在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程F(,)xy0所确定，即如果方程F(,)xy0确定了一个函数关系yf()x，则称yf()x是由方程F(,)xy0所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：xy，求导时要把看作中间变量．1．方程两边对求导dyeyxye0所确定的隐函数的导数．dx例如：求由方程exyex()(0)y，x解：方程两边分别对求导，xdydydyydxxeyeyyxdx0，从而得．dxdyFx2．一元隐函数存在定理．dxFydyeyxye0所确定的隐函数的导数．dx例如：求由方程解：设F(,)xyeyxye，(eyxye)dyFxdxFyexx则．y(eyxye)yy（五）由参数方程所确定的函数的导数x()tyx一般地，若参数方程确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数y()tdydtdy()tdydx为由该参数方程所确定的函数，其导数为dx()t，上式也可写成dx．dtd2y()t()t()t()td2x其二阶导函数公式为．3()t（六）幂指函数的导数u()xv()x（u()x0，u()x1）的函数，通常称为幂指函数．对一般地，对于形如于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法u()xev()x和对数函数的性质化为v()lnxu()x的形式，然后利利用指数函数将幂指函数ev()lnxu()x恢复为u(x)vx()的形式．用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的dyyxx例如：求幂指函数的导数．dxe(ln)xxx(1ln)xxxxln．dydxxexlnxeln，故dxdxxx解：因2．对数求导法yx对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数．dyyxx例如：求幂指函数的导数．dxyx两边取对数，得lnyxlnxxyxx，该式两边对求导，其中是解：对幂指函数1dy1lnxdyy(1ln)xxx(1ln)x．的函数，得ydx，故dx二、函数的微分1．定义：可导函数yf()x在点x处的微分为dyf(x)dx；可导函数0xx00yf()xxdyf()xdx．在任意一点处的微分为2．可导与可微的关系函数yf()xxyf()x在点处可导，即可微必x在点处可微的充分必要条件是可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式d(x)xdx（1）d()C0dx；1（2）；（3）d(sinx)cosxdx；（4）d(cosx)sinxdx；（6）d(cotx)cscxdx；d(tanx)secxdx2；（5）（7）d(secx)secxtanxdxd(cscx)cscotxxdx；（10）d(ex)edxx；；（8）daaadx()lnxx；（9）d(logx)1dxd(lnx)1dx（11）；（12）；xlnaxa11dx；d(arcsinx)dxd(arccosx)1x（13）；（14）1x2211d(arccotx)dx；（16）．1xd(arctanx)dx（15）1x224．函数和、差、积、商的微分法则设函数uu()x，vv()x都可导，则（1）d(uv)dudv；（2）d(Cu)CduC（是常数）；（3）d(u)vvduudv；uvduudvd()v0（）．（4）vv25．复合函数的微分法则设yf()u及ug()x都可导，yf[()]gx的微分为则复合函数dyydxf()ug()xdx．由于g()xdxdu，所以复合函数yf[()]gx的xdyydu．u微分公式也可写成dyf()udu或u由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式dyf()udu保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式dyf()udu并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料f(x)0A存在，指出表示什么．【例2-1】以下各题中均假定f(xx)f(x)0limA．01．xx0解：根据导数的定义式，因x0时，x0，故f(xx)f(x)f(xx)f(x)f(x)，00limlim00xx0x0x0Af(x)．0即f()x2．设limA，其中f(0)0，且f(0)存在．xx0解：因f(0)0，且f(0)存在，故f()xf()xf(0)limlimf(0)Af(0)．，即xx0x0x0f(xh)f(xh)A．lim003．hh0h0h0解：根据导数的定义式，因时，，故f(xh)f(xh)f(xh)f(x)f(x)f(xh)0000limlim00hhh0h0f(xh)f(x)[(fxh)f(x)]lim0000hh0f(xh)f(x)f(xh)f(x)limlim0000hhh0h0f(x)f(x)2f(x)，即A2f(x)．0000【例2-】2分段函数在分界点处的导数问题．2x3,x1f()x1．讨论函数3在x1处的可导性．x2,x1解：根据导数的定义式，22x333f()xf(1)2lim(xx1)2f(1)limlimx13x12，x1x1x12x2f()xf(1)3，limx1f(1)limx1x1x1故f()x在x1f(1)2不存在，所以f()x在x1处不可导．，右导数处的左导数1xsin,x0f()x讨论函数2x在x0处的可导性．2．0,x01xsin0limxsin01，x2f()xf(0)xf(0)limlim解：因x0xx0x0x0故函数f()x在x0处可导．x2,x1f()xx1ab在处连续且可导，求常数和的值．3．已知函数axb,x1解：由连续性，因f(1)1f(1)lim()fxlimx12，，x1x1f(1)lim()fxlim()axbab，从而ab1①x1x1f()xf(1)x12f(1)limlimlim(x1)2x1x1再由可导性，，x1x1x1f()xf(1)axb1x1f(1)limlimx1b1a，代入f(1)，，而由①可得x1x1f()xf(1)axalima，再由x1f(1)limf(1)f(1)可得a2，得x1x1x1代入①式得b1．sinx,x0f()xf()x，求．【例2-】3已知x,x0解：当x0时，f()x(sinx)cosx，当x0时，f()x()x1，当x0时的导数需要用导数的定义来求．f()xf(0)sinxf(0)limlim1x，x0x0x0f()xf(0)x0f(0)limlim1x，x0x0x0cosx,x01,x0．f(0)f(0)1，故f(0)1f()x，从而【例2-】4求下列函数的导数．1．yex(sinxcosx)．yexxexx()(sincos)(sincos)xx解：ex(sinxcosx)ex(cossinxx)2excosx．2xysin2．．1x2cos2x2x2xysin解：1x1x1x2222x2(1)x(2)x22cos1x(1x)2222(1)x2xcos(1x)1x2．2223．ylncos(e)．x1xylncos(e)cos(e)x解：cos(e)x1sin(e)(e)xxcos(e)x1sin(e)exxcos(e)xextan(e)x．4．yln(x1x2)．1yln(x1x)(x1x)22解：x1x21(1x)21x1x221x21x1x1x21x21x1x2x1x1x221．1x2【例2-5】求下列幂指函数的导数．yxsinx（x0）．1．y(xsinx)(esinxlnx)esinxlnx(sinxln)x解：e(cosxlnxsin)x1sinxlnxxsinxx(cosxlnxx)．sinxyxsinx两边取对数，得说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数lnysinxlnxxyx，该式两边对求导，其中是的函数，得1ycosxlnxsinx1，xy1yy(cosxlnxsin)xx(cosxlnxxsinx)sinx故．xx（x0）．xy2．1xxxlnxxxxyeexlnxln1x1x解：1x1xx1xxx1xxexlnlnx1x1x1x2x1x1xxlnx1xxxexln1xxx11x1x1xxln．xxy两边取对数，得说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xlnyxlnxxyx，该式两边对求导，其中是的函数，得1x1x1xxx1lnylnx1xx1x1x1x，yx1yylnxx1xln．1x1x1x1x1x故【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．yxx0）．x1．y（xlnyylnxxyx，两边对求导，注意是的函数，得解：等式两边取对数，得xyxylnyyylnx(ln)xyxlnyy，，整理得yxylnyyxylny2xxyxxylnx．2则lnxyx12x2．52y2．x11x122lnyln解：等式两边取对数，得lnx2，2x252522lnln(1)yx21ln(2)x2，即510ln5ln(1)ln(2)yxx22，也即1010x2xy两边对求导，注意是的函数，得xyxyx1x2，22y10x2xxxx110x1x2x15x102y故x2．522222【例2-】7求下列抽象函数的导数．dy11．已知函数yf()x可导，求函数yf(e)sinx的导数．dxdyd111f(e)f(e)(e)f(e)e()sinxsinxsinx111sinxsinxsinx解：dxdxcoscoxsx11ef(e)sinxsinx．11f(e)esin2xsin2xsinxsinx2．设函数f()x和g()x可导，且f2()xg2()x0，试求函数dyyf2()xg2()x的导数．dxf()xg()x22dydf()xg()x2f2()xg2()xdxdx22解：2f()xf()x2g()xg()xf()xf()xg()xg()x．2f2()xg2()xf2()xg2()x【例2-】8求由下列方程所确定的隐函数yy()x的导数．xxyy20．21．dydyxyxyx解：方程两边分别对求导，得220，dxdxdy2xydy(2)dx2xyxy，故整理得dxx2y．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设F(,)xyx2xyy2，dyF2xy2xyx则dxFx2yx2y．y2．y1xey．dydyexe0yy，dxx解：方程两边分别对求导，得dxdyxee(1)dyeyyy，故整理的．dx1xeydxF(,)xy1xeyy，说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设dyFeyeyx则dxFxe11xe．yyyyy()x的导数．【例2-】9求由下列参数方程所确定的函数x2et1．．tyedyedyet1dtt解：dx．2e2et2tdx2etdt12．yx1tt．1t1tttdy1t11dy1t2dt解：dxdx．1dt1t21t【例2-】10求下列函数的微分．1．f()xtan2(12x2)．f()xtan(12x)2tan(12x)sec(12x)4x22222解：因，dyf()xdx8xtan(12x2)sec2(12x2)dx．故f()xe1x22．．2xxe1x2f()xee1x21x2解：因，1x221x2dyf()xdxxe1x21xdx故．23．f()xx2arctanx1．122x1，f()xxarctanx12xarctanx1x21x1解：因x2dxdyf()xdx2xarctanx1．故2xx14．f()xsinln(1)2xx2．f()xsinln(1)xx2sinxcosxln(1)xsin2x2x222解：因，1x22xsinx2dyf()xdxsin2xln(1)xdx2．故1x2yxe(0,1)处的切线方程和法线方程．x【例2-】11求曲线在点yxeexey1x0解：x(0,1)，故曲线在点处的切线方程为xx，y11(x0)，即xy10；法线方程为y11(x0)即xy10．【例2-】12求曲线x2xyy24在点(2,2)处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有2xyxy2yy0，2xyy即；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)处的斜率为x2y2xyyx2y1，故曲线在点(2,2)处的切线方程为x2x2y2y2y21(x2)，即xy40；法线方程为y21(x2)，即xy0．x2costt在点【例2-】13求椭圆4处的切线方程和法线方程．y4sintt4解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为(2,2)，又y4costy2cotty2cott2，切线斜率为，故所求tx2sinttt4t4y222(x2)，即2xy420；所求法线方程为切线方程为y221(x2)，即x2y520．2【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题f(12x)f(1)等于（年，1分）已知f(1)1，则limx01．（2010）x（A）1（B）1（C）2（D）2f(12x)f(1)f[1(2x)]f(1)lim2lim解：根据导数的定义，x2xx0x02f(1)2，选（D）．yx(1,1)22．（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（）x3y（B）22yx（A）x3y22x322y（D）（C）ky2x2解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为x1x1y11(x1)yx3，即，选（B）．222f()xx2010年，1分）设函数在点处不连续，则（）03．（f(x)0f(x)0存在（B）不存在（A）fxlim()xf()x处可微（D）在点0（C）x必存在解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B）正确．f(xh)f(xh)Alim2009年，1分）若A004．（，则（）hh01f(x)（D）2f(x)02f(x)00（B）（C）（A）0f(xh)f(xh)Alim解：h000hf(xh)f(x)[(fxh)f(x)]lim0000hh0f(xh)f(x)f(xh)f(x)limlim0000hhh0h0f(x)f(x)2f(x)0，选项（B）正确．00f()xxx0f()x，在点处（）5．（2008年，3分）函数（A）可导（B）间断（C）连续不可导（D）连续可导f()xxf()xx0解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）正确．说明：f()xx的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．f()x在xf(x)0，则f(x)不等于（006．（2008年，3分）设处可导，且）0f()xf(x)0f(xx)f(x)00xlimlim（B）x0（A）（C）xx0xx0f(xx)f(x)lim00xx0f(xx)f(x)00lim（D）(x)x0解：根据导数的定义，选项（C）符合题意．f()xx处的导数定义的选项是（7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点）01limn[(fx)f(x)]（A）（B）n00nf()xf(x)0limxx0xx0f(xx)f(xx)lim00（C）xx0f(x3x)f(xx)0lim0（D）xx01f(x)f(x)1nlin[mf(x)f(x)]lim00f(x)，0解：选项（A）1n00nnnf(xx)f(xx)2f(x)lim00选项（C），x0x0f(x3x)f(xx)lim2f(x)0，故选（B）．00选项（D）xx08．（2007年，3分）若f()u可导，且yf(2)x，则dy（）fdx(2)x（B）f(2)2xdx（D）f(2)2dxx（A）（C）fd[(2)]2xxxdydffdf(2)(2)2(2)2ln2因dxxxxxx，故选项（B）正确．解：ud()（）vu()xv()x2006年，2分）设，为可导函数，则9．（duvduudv（A）dv（B）u2udvvduudvvdu（C）u2（D）u2uud()()dxuvuvuvdxuvdxvduudvdx解：，选（B）．vvv2v2v2f()xx(x1)(2)(xx99)，则f(0)（）10．（2005年，3分）设99!0（B）99!99（D）（A）（C）解：当x0时，f()x中除(x1)(2)(xx99)项外，其他全为零，故f(0)(01)(02)(099)99!，选项（A）正确．ylnxy()n，则（）11．（2005年，3分）设nx(1)!(1)(n1)x!n（B）2nnn（A）(1)(n1)!x(1)n!xn1n1（C）n1n（D）112x22!xyyy解：由ylnx可得，，x，，x2x43x323x3!2y(4)，，对比可知，选项（xC）正确．x64dsinx12．（2005年，3分）（）d(x2)（B）sinxdsincosxxdxcosxcosxcosxcosx（A）（C）2（D）2x解：d(x2)2xdx2x，选项（D）正确．二、填空题1．（2010年，yf()x在点(x,(fx))处的切线平行于直线y2x3，2分）若曲线00f(x)0．则f(x)2．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故02．（2010年，2分）设ycos(sinx)，则dy．解：dydcos(sinx)sin(sinx)cosxdx．yx21在点(1,2)3．（2008年，4分）曲线的切线的斜率等于．ky2x2．由导数的几何意义可知，切线斜率解：(1,2)(1,2)xcostdy4．（2008年，4分）由参数方程ysint确定的．dxdyy(sint)costcott．(cost)sinttx解：dxtyxsin2x在点(,1)5．（2006年，2分）曲线处的切线方程是．22ky(12sinxcosx)1，故切线方程为解：切线的斜率(,1)22(,1)22y(1)1(x)2，即yx1．26．（20062分）函数f()xx(x21)x不可导点的个数是年，．x(1x),x022f()xx0时，f()x可导；，显然，当解：x(1x),x022f()xf(0)x(1x)0，22f(0)lim