江苏省徐州市铜山县棠张中学高一数学理期末试题含解析

江苏省徐州市铜山县棠张中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，，则的大小关系为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意得，∴．选A．

2.已知函数，其中e是自然对数的底数，若，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性，再对函数求导，判断函数单调性，即可判断出结果.【详解】根据题意，函数，有，则函数为奇函数，又由，则函数在R上为减函数，，，又由，则；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记函数奇偶性定义，另外导数的方法是判断函数单调性比较实用的一种方法，属于基础题型.3.已知中，AB=AC=5，BC=6，则的面积为A．12

B．15

C．20

D．25参考答案：略4.在ΔABC中，若，则ΔABC是（

）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形参考答案：C5.函数f(x)=tanx+，x∈{x|﹣＜x＜0或0＜x＜}的图象为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正切函数的图象．【分析】利用正切函数的奇偶性，判定函数的奇偶性，结合x的范围确定函数的图象的正确选项．【解答】解：因为y=tanx是奇函数，所以是奇函数，因此B，C不正确，又因为时函数为正数，所以D不正确，A正确；故选A．6.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（

）A、m＜

B、m＜0

C、m＞

D、m≤参考答案：A7.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A.，

B.，

C.，

D.，参考答案：A略8.直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程不可以用下面哪种形式写出（）A．点斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式参考答案：C【考点】直线的斜率．【分析】l∥x轴，可得直线l的方程为y=1．即可判断出结论．【解答】解：∵l∥x轴，则直线l的方程为y=1．则直线l的方程不可以用下面截距式写出．故选：C．9.函数为定义在上的奇函数，当时，函数单调递增。若，则满足的的取值范围是A．[－2,2] B．[－3,－1] C．[－2,0] D．[1,3]参考答案：B函数为定义在R上的奇函数，由，可知.当时，函数单调递增，由为定义在R上的奇函数，则在R上单调递增.则由可得：，解得.故选B.

10.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（） A．90° B．60° C．45° D．30°参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，计算可得答案． 【解答】解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大 取AC的中点E，则BE⊥平面DAC， 故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE cos∠DBE=， ∴∠DBE=45°． 故选C． 【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列语句：①若a，b为正实数，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；②若a，b，m为正实数，a＜b，则③若，则a＞b；④当x∈（0，）时，sinx+的最小值为2，其中结论正确的是．参考答案：①③【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】①，若a，b∈R+，a≠b，∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0；②，若a，b，m∈R+，a＜b，作差判断即可；③不等式中c≠0，不等式的两边同乘以c2，判断结论即可；④，当x∈（0，）时，sinx∈（0.1），结合不等式的性质判断即可．【解答】解：对于①，若a，b∈R+，a≠b，∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0，故a3+b3＞a2b+ab2正确；对于②，若a，b，m∈R+，a＜b，则﹣=＞0，则＞故错；对于③，若，则a＞b，故正确；对于④，当x∈（0，）时，若sinx+的最小值为2，则sinx=，显然不成立，故错误，故答案为：①③．12.设向量

绕点

逆时针旋转

得向量,且,则向量

____.参考答案：解析：设,则,所以.即

解得

因此，.故填

．13.若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．参考答案：【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．14.若幂函数的图象过点(2,8)，则n的值为___________．参考答案：3【分析】将点(2,8)代入可解得.【详解】因为幂函数的图象过点(2,8),所以,即,解得.故答案为:3【点睛】本题考查了根据幂函数经过点求参数,属于基础题.15.如图18，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以BC的中点E为圆心，以AB长为半径作N与AB及CD交于M、N，与AD相切于H，则图中阴影部分的面积是

.参考答案：16.已知向量，的夹角为，且||=1，|-2|=，||=．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积化简求解即可．【解答】解：向量，的夹角为，且|=1，，可得：=7，可得，解得|=3．故答案为：3．17.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求函数在（1,）的切线方程（Ⅱ）求函数的极值（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的陪伴切线．已知两点，试求弦的陪伴切线的方程；参考答案：解：（I）略…………………(4分)（Ⅱ）．

………(6分)

得．

当变化时，与变化情况如下表：

1-0+单调递减极小值单调递增

当x=1时，取得极小值．

没有极大值．……………(9分)（Ⅲ）设切点，则切线的斜率为．

弦AB的斜率为．…(10分)由已知得，，则=，解得，……(12分)所以，弦的伴随切线的方程为：．……(13分)略19.已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C(t,)(t∈R,t≠0).(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.参考答案：(1)证明:由题设知,圆C的方程为(x-t)2+(y-)2=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B(0,),∴S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·||=4为定值.(2)解:∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=,∴t=2或t=-2,∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解:点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.又B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r==3－=2,∴|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B'C的方程为y=x,则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(,).20.已知向量，，且，f（x）=?﹣2λ||（λ为常数），求：（1）?及||；（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．参考答案：【分析】（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去．【解答】解：（1），，∵，∴cosx≥0，∴．

（2）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，∵，∴0≤cosx≤1，①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得；③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1﹣4λ，由已知得，解得，这与λ＞1相矛盾、综上所述，为所求．21.已知函数f（x）=lg（x2+tx+2）（t为常数，且﹣2＜t＜2）．（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的图象与性质．【分析】（1）令g（x）=x2+tx+2，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论；（2）假设存在，则由已知等价于x2+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，分离参数，运用导数求出右边的最值和范围，即可得出结论．【解答】解：（1）令g（x）=x2+tx+2对称轴为x=﹣，①当﹣≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=2，∴f（x）min=lg2；②当0＜﹣＜2，即﹣4＜t＜0时，g（x）min=g（﹣）=2﹣，考虑到g（x）＞0，则1°﹣2＜t＜0，f（x）min=f（﹣）=lg（2﹣），2°﹣4＜t≤﹣2，没有最小值．③当﹣≥2，即t≤﹣4时，g（x）min=g（2）=6+2t，考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值．综上所述：当t≤﹣2时f（x）没有最小值；当t＞﹣2时，f（x）min=．（2）假设存在，则由已知等价于x2+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，等价于t=﹣（+x）+1，x∈（0，2）t′=﹣1+，x∈（0，），t′＞0；x∈（，2），t′＜0．x=取最大值1﹣2．x=2，t=﹣2．可得﹣2＜t＜1﹣2．故存在，实数t的取值范围是﹣2＜t＜1﹣2．22.设集合A={|}，B={|，}，若AB=B，求实数的值．参考答案：解：先化简集合A=.

（2分）由AB=B，则BA，可知集合B可