山西省长治市第十六中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

山西省长治市第十六中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验．【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3，3x22﹣2px2+3，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵===p﹣p3，而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p=p﹣p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p﹣8）），∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4．当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立，即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立．故选：B．2.已知双曲线方程的离心率为，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆的四个顶点重合，椭圆G的离心率为，一定有（

）A．

B．C．

D．参考答案：C3.如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A. B. C. D.4参考答案：B【分析】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，则，即，又，所以圆锥的侧面积；故选B.【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.4.若集合M={y∈N|y＜6}，N={x|log2（x﹣1）≤2}，则M∩N=（）A．（1，5] B．（﹣∞，5] C．{1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合M，N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={y∈N|y＜6}={0，1，2，3，4，5}，N={x|log2（x﹣1）≤2}={x|1＜x≤5}，∴M∩N={2，3，4，5}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．5.已知全集U=R，集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=2x}，则B∩（?UA）为（）A．（0，+∞） B． D．（1，2）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A=（1，+∞），∵全集U=R，∴?UA=（﹣∞，1]，由B中y=2x，得到y＞0，即B=（0，+∞），则A∩（?UB）=（0，1]故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6.已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（

）A． B． C． D．参考答案：C因为，由，又，所以，所以。7.已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.函数的图像大致是（

）

参考答案：A试题分析：，所以函数为偶函数，所以排除C、D，令时，，所以排除B，所以答案为A.考点：函数图象.9.已知命题，命题，则(

)A.命题是假命题

B.命题是真命题C.命题是真命题

D.命题是假命题参考答案：10.已知全集,集合,,则集合（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则的值等于．

参考答案：略12.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果保留）.参考答案：略13.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于

.参考答案：【答案】

【解析】14.已知集合A＝{x|lx≥3}，B＝{x|x≥a}，若A?B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.参考答案：015.已知复数，则z的虚部为

．参考答案：116.已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，又V四棱锥P﹣ABCD=，则所求的概率为P==．故答案为：【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．17.函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是．参考答案：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z考点： 正切函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 根据正切函数的图象与性质，即可求出函数y=tan（x﹣）的单调递增区间．解答： 解：根据正切函数的图象与性质，令﹣+kπ＜x﹣＜+kπ，k∈Z；得：﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，∴函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．故答案为：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．点评： 本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用正切函数的图象与性质，列出不等式，求出解集来．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求的取值范围．参考答案：考点：平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的方程为，利用椭圆定义可求2a，进而可求a，结合已知c，利用b2=a2﹣c2可求b，进而可求椭圆方程（2）先设，利用向量的数量积的坐标表示可求，结合点P在椭圆上及椭圆的性质可求解答：解：（1）设椭圆C的方程为…（1分）由椭圆定义，…（4分）∴，∵c=1，∴b2=a2﹣c2=1．…（5分）故所求的椭圆方程为．…（6分）（2）设…（7分）∴…（9分）∵点P在椭圆上，∴…（10分）∴∵…（12分）∴x=1，有最小值；，有最大值∴，∴的范围是…（14分）点评：本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆方程及椭圆性质的简单应用．19.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月﹣2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110,130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120,130]的概率．（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示：

请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：，，，，,,,．参考公式：相关指数．参考答案：（1）96；（2）；（3）见解析【分析】（1）利用组中值可求平均购房面积.（2）由分层抽样可得在抽取的4人有3人位于，1人位于，枚举后可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而得到所求的概率.（3）根据相关系数大小可得的拟合效果更好，从而可预测2019年6月份的二手房购房均价.【详解】解：（1）．（2）设从位于的市民中抽取人，从位于的市民中抽取人，由分层抽样可知：，解得，在抽取的4人中，记3名位于的市民为：，1名位于的市民为，从这4人中随机抽取2人，共有：，故基本事件总数，其中恰有一人在的情况共有3种，设为“这2人的购房面积恰好有一人在”，则．（3）设模型和的相关指数分别为，,则，，∴，∴模型的拟合效果更好．2019年6月份对应的．∴万元/平方米．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、古典概型的概率的计算以及回归变量的相关性，属于中档题.20.已知椭圆，抛物线的焦点均在x轴上，的中心和的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是

，(一2，o)，(4，一4)，

。

(I)求、的标准方程；

(Ⅱ)是否存在直线L满足条件：①过的焦点F；②与交与不同的两点M，N且满足。若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．参考答案：解：(Ⅰ)设抛物线，则有，据此验证个点知（3，），（4，4）在抛物线上，易求

……2分设：，把点（2，0）,（，）代入得：解得.

∴方程为

….…….………5分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线交抛物线于,

不满足题意

…….…………6分当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为.由消去并整理得，于是，.①

….…….………………8分.即.②

.…………9分由，即，得（*）.

将①、②代入（*）式，得，解得，所以存在直线满足条件，且的方程为：或.

……12分略21.已知平面上的动点R（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线RA、RB斜率分别为k1、k2，且k1?k2=﹣，设动点R的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点S（4，0）的直线与曲线C交于M，N两点，过点M作MQ⊥x轴，交曲线C于点Q．求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由题知x≠±2，且，，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：由题知x≠±2，且，，则，﹣﹣﹣整理得，曲线C的方程为．（Ⅱ）证明：设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x