关于稳定性分析的附注

第第页2021年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:学号:学生类别:考核结果阅卷人关于稳定性分析的附注摘要本篇论文从运用Fourier方法研究有限差分格式稳定性的出发，具体介绍了如何运用Fourier方法得到差分格式的稳定性情况，并给出了一些判别有限差分格式稳定性的准则，如vonNeumann条件，并列举了一个具体的应用Fourier方法判断有限差分格式稳定性的例子。然后，又介绍了两个研究有限差分格式稳定性的方法，Saul’ev算法和分组显式方法。关键字：Fourier方法，稳定性分析，差分格式AbstractThispaperfromtheuseofFouriermethodtostudythestabilityoffinitedifferencescheme,specificallydescribeshowtousetheFouriermethodtogetthestabilityofthedifferencescheme,andgivessomecriteriaforthestabilityofthefinitedifferencescheme,suchasNeumannvonconditions,andcitedaspecificapplicationofFouriermethodtodeterminethestabilityoffinitedifferenceschemeexample.Then,itintroducestwomethodstostudythestabilityofthefinitedifferencescheme,ev'Saulalgorithmandgroupingexplicitmethod.Keywords:Fouriermethod,stabilityanalysis,differencescheme1前言在《偏微分方程数值解法》的课程中，我们已经跟着老师学习过如何分析差分格式的稳定性问题。特别是在第二章“有限差分格式的基本概念”这一章中，我们学过用矩阵方法对初值问题的一些差分格式的稳定性进行过分析。此外也可以用能量不等式方法来进行差分格式的稳定性分析。一般说来，这样做较为麻烦。在实际应用中，仍可以用Fourier方法来进行分析。但必须注意到，Fourier方法仅适用于线性常系数初值问题。对于一般的初值问题，我们假定边界处理是准确的，再用Fourier方法来作近似分析。这种近似性方法是简单的，但对于许多实际问题来说，可对计算提供很大的帮助。因此，在本篇论文中，将先回顾一下有限差分格式稳定性的Fourier方法，然后介绍两种分析差分格式稳定性的算法，分别是Saul’ev算法和分组显式方法。2运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性2.1Fourier方法以对流方程的初值问题[1]的差分格式（2.1）为例进行讨论。注意到（2.1）式可以写成（2.2）其中的解以及初值只是在网格点上有意义。为了应有Fourier方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，是的它们在整个实轴上都有定义。令这样，对任意都有定义了。这里使用大写字母仅为区别微分方程初值问题中使用的小写字母。由此，（2.2）式可以写为（2.3）显然，上式对有意义。而且对任意，上式也是有意义的。对（2.3）式两边用Fourier积分来表示，可以得到由此得出（2.4）上面推导方法可以推广到一半形式的差分格式，可以得到（2.5）上式中的称为增长因子。显然，差分格式（2.1）的增长因子为上式等号右边中可以通过和来表示。由于增长因子不依赖与时间层，因此有（2.5）式可以得出如果增长因子的任意次幂是一致有界的，并设其界为，则应用Parseval等式有再次应用Parseval等式有由的定义可知有由此得到，常系数的差分格式是稳定的。同样地应用Parseval等式，可以证明，如果差分格式为常系数，那么差分格式的稳定性可以推出其增长因子的任意次幂是一致有界的。这样就得到了下面的重要结论。常系数差分格式稳定的充分必要条件是存在常数使得当时，有（2.6）稳定性概念及相关的Fourier方法的推导可以推广到线性常系数差分方程组。考虑描述静止气体中小扰动（声音）传播现象的常系数线性偏微分方程组（2.7）其中和分别表示扰动后的质点速度和密度，和为正常数，表示未受扰动时静止气体的密度和音速，如果给定初值（2.8）则（2.7）式和（2.8）式就构成了一个初值问题。对（2.7）式可以建立差分方程组此式也可以改写为如果令，则上面方程组可以写为采用平移算子，上式也可以写为其中对于一般的差分方程组可以写为其中。由于，即和满足一定关系，故在中仅标出。令则有（2.9）其中称为差分算子，上式称为一个差分格式（隐含了初值问题的初值离散）。由（2.9）式可以得出如果不依赖于，即为常系数差分方程组，则可利用Fourier积分得到其中，称为增长矩阵，由于在具体应用中，增长矩阵和增长因子不会混淆，所以我们采用了相同的记号。类似于一个差分方程的情况，我们有如下的结论：差分格式（2.9）稳定的充分必要条件是存在常数使得当及所有有（2.10）其中矩阵范数为2-范数。2.2判别准则Th1差分格式（2.9）稳定的必要条件是当，对所有的有（2.11）其中表示的特征值，为常数。Th2如果差分格式的增长矩阵是正规矩阵，则vonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。Th3如果存在常数使得则差分格式是稳定的。Th4如果的特征值满足，则以为增长矩阵的差分格式是稳定的。Th5如果，其中或，为网格比，并对于任意给定的，下列条件之一成立：（1）有个不同的特征值；（2）有个不同的特征值；（3）则vonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。2.3例子讨论逼近对流方程的显示格式（2.12）的稳定性。解：首先将上面的差分格式变形为（2.13）其中为网格比。再把定义在网格点上的函数的定义域按通常方法进行扩充，即当时，，这样就有对上式两边做Fourier变换，有可得增长因子为当时，不管怎样选取网格比，总有。这样不满足差分格式稳定的必要条件vonNeumann条件，所以差分格式（2.12）是不稳定的。3Saul’ev算法我们已经注意到，显示格式的稳定性限制比较严，而隐式格式需要求解线性代数方程组。1957年，Saul’ev提出了一个半隐格式，它具有一般隐式格式的稳定性好的特点，又不需要求解线性代数方程组。下面来构造这个格式。注意到（3.1）（3.2）应用微分中值定理有将（3.1）式、（3.2）式代入扩散方程得（3.3）最后，利用中心差商，有把上两式代入（3.3）式得到差分格式（3.4）上式是从已给定的边界值开始，依次可以计算出的值。在每次应用（3.4）式时，已经知道，所以隐式格式可以显示地计算。按类似的推导，还可以得到以下公式（3.5）利用（3.5）式进行计算时，从已知的边界值开始，从右到左已知计算出，计算同样是现实的。对于，我们采用（3.5）式，从右到左进行计算；对于，则采用（3.4）式，从左到右进行计算。交替使用（3.5）式、（3.4）式进行计算，这样的算法成为Saul’ev算法。由算法的推导可以看出来，（3.4）式和（3.5）式的截断误差为，因此在计算时必须。下面来分析Saul’ev算法的稳定性。不考虑边界情况，采用Fourier方法进行分析。（3.5）式的增长因子为（3.4）的增长因子为因此，Saul’ev算法的增长因子为由于，所以有。从而得出Saul’ev算法是无条件稳定的。4分组显式方法Saul’ev格式是绝对稳定的隐式方法，可以从右向左，从左向右显式地交替求解，这样不需要求解线性代数方程组，因而受到重视。并行计算机的出现，发现Saul’ev格式不易使用。1983年Evan等基于Saul’ev格式，构造了分组显式方法（GE方法或GE格式）。在网格点建立格式（3.5），在网格点建立差分格式（3.4），上述两个格式形成了2元联立方程组（4.1）即（4.2）解（4.1）式有（4.3）（4.4）由（4.3）式和（4.4）式可知，在时间层上的，利用（4.3）可由第层上的直接计算出来。同样的，可以独立地、显式计算。由（4.3）式和（4.4）式成形的方法称为分组显式方法，简称GE方法，此方法易于并行计算。5总结有限差分格式的稳定性一直是我们重点研究的一个内容。本篇论文从运用Fourier方法研究有限差分格式稳定性的出发，具体介绍了如何运用Fourier方法得到差分格式的稳定性情况，并给出了一些判别有限差分格式稳定性的准则，如vonNeumann条件，并列举了一个具体的应用Fourier方法判断有限差分格式稳定性的例子。然后，又介绍了两个研究有限差分格式稳定性的方法，Saul’ev算法和分组显式方法。参考文献[1]陆金甫,关治：《偏微分方程数值解法》，清华大学出版社，北京，2021[2]胡建伟,汤怀民.微分方程数值方法，北京：科学出版社2021.[3]胡祖炽编：《计算方法》，高等教育出版社，北京，1959。[4]姜礼尚等,有限元方程及其理论,北京：人民教育出版社，1979[5]朱幼兰等著：《初边值问题差分法及绕流》，科学出版社，北京，1980。[6]R．D．里奇特迈尔著，何旭初等译：《初值问题差分方法》，科学出版社，北京，1966[7]R.D.Richtmyer，DifferenceMethodsforInitial-ValueProblems，IntersciencePub.，NewYork，1957.）[8]R.D.Richtmyer，K.W.Morton，DifferenceMethodsforInitial-ValueProblems，2nded.，IntersciencePub.，NewYork，1967.[9]PeyretR,TaylorTD.ComputationalMethodsforFluidFlow.Berlin:Springer-Verlay,1983

咖啡店创业计划书第一部分：背景在中国，人们越来越爱喝咖啡。随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。第二部分：项目介绍第三部分：创业优势目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。第四部分：预算1、咖啡店店面费用咖啡店店面是租赁建筑物。与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。租赁的优点是投资少、回收期限短。预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。2、装修设计费用咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右3、装修、装饰费用具体费用包括以下几种。(1)外墙装饰费用。包括招牌、墙面、装饰费用。(2)店内装修费用。包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。(3)其他装修材料的费用。玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。4、设备设施购买费用具体设备主要有以下种类。(1)沙发、桌、椅、货架。共计2250元(2)音响系统。共计450(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。共计600(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。共计300净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。磨豆机，价格在330―480元之间。冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。款制冰机每一天的制冰量是12kg。价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。5、首次备货费用包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。大约1000元6、开业费用开业费用主要包括以下几种。(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元(2)营销广告费用;预计450元7、周转金开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。预计2000元共计： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：发展计划1、营业额计划那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动2、采购计划依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用采购资金，各项基本的计划是不可或缺的。当一家咖啡店设定了营业计划、商品计划及采购计划之后，即可依照设定的采购金额进行商品的采购。经过进货手续检验、标价之后，即可写在菜单上。之后务必思考的事情，就是如何有效地将这些商品销售出去。3、人员计划为了到达设定的经营目标，经营者务必对人员的任用与工作的分派有一个明确的计划。有效利用人力资源，开展人员培训，都是我们务必思考的。4、经费计划经营经费的分派是管理的重点工作。通常能够将咖啡店经营经费分为人事类费用(薪资、伙食费、奖金等)、设备类费用(修缮费、折旧、租金等)、维持类费用(水电费、消耗品费、事务费、杂费等)和营业类费用(广告宣传费、包装费、营业税等)。还能够依其性质划分成固定费用与变动费用。我们要针对过去的实际业绩设定可能增加的经费幅度。5、财务计划财务计划中的损益计划最能反映全店的经营成果。咖啡店经营者在营运资金的收支上要进行控制，以便做到经营资金合理的调派与运用。总之，以上所列的六项基本计划(营业额、商品采购、销售促进、人员、经费、财务)是咖啡店管理不可或缺的。当然，有一些咖啡店为求管理上更深入，也能够配合工作实际需要制订一些其他辅助性计划。第六部分：市场分析2019-2021年中国咖啡市场经历了高速增长的阶段，在此期间咖啡市场总体销售的复合增长率到达了17%;高速增长的市场为咖啡生产企业带给了广阔的市场空间，国外咖啡生产企业如雀巢、卡夫、ucc等企业纷纷加大了在中国的投资力度，为争取未来中国咖啡市场的领先地位打下了良好的基础。咖啡饮料主要是指速溶咖啡和灌装即饮咖啡两大类咖啡饮品;在速溶咖啡方面，2018-2021年间中国速溶咖啡市场规模年均增长率到达16%，显示出还处于成长阶段的中国速溶咖啡市场的高增长性和投资空间;在灌装即饮咖啡方面，2008-2010年间中国灌装即饮咖啡市场年均增长率也同样到达15%;未来几年，中国咖啡饮料的前景仍将被看好。现今咖啡店主要是以连锁式经营，市场主要被几个集团垄断。但由于几个集团的咖啡店并没有个性主题，很难配合讲求特式的年青人。我们亦有思考到其他饮品店的市场竞争状况，但发现这些类似行业多不是以自助形式经营，亦很难配合讲求效率的年青人。故我们认为开设自助式主题咖啡店能到达年青人的需要