函数项级数和无穷广义积分的收敛性判别

函数项级数和无穷广义积分的收敛性判别一、函数项级数的收敛性判别函数项级数也叫无穷级数，是由一系列函数相加而得到的。一般写作：$$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$$其中，$u_n(x)$是函数项级数的第n项函数。函数项级数的收敛性与其项函数的性质有关，以下是一些常用的收敛性判别法：1.Cauchy收敛准则如果对于任意正数$\\epsilon>0$，存在正整数$N$，当$n,m>N$时，有$|\\sum_{k=n}^{m}u_k(x)|<\\epsilon$，则函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$收敛。2.比较判别法如果存在另一函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$，使得对于某一正整数$N$，当$n>N$时，有$|u_n(x)|\\leqkv_n(x)$，其中$k$是一个定值，则：（1）当级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$收敛时，函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$绝对收敛；（2）当级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}v_n(x)$发散时，若级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}|u_n(x)|$也发散，则函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$发散。3.比值判别法如果存在正数$q$，使得$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=q$，则：（1）当$q<1$时，函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$绝对收敛；（2）当$q>1$时，函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$发散；（3）当$q=1$时，不能确定函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$的收敛性。4.根值判别法如果存在正数$p$，使得$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{|u_n(x)|}=p$，则：（1）当$p<1$时，函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$绝对收敛；（2）当$p>1$时，函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$发散；（3）当$p=1$时，不能确定函数项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$的收敛性。二、无穷广义积分的收敛性判别无穷广义积分也称为瑕积分，是指函数在某一区间存在一个或多个可去奇点，或者积分区间无限，但积分仍有意义。无穷广义积分的收敛性与积分函数的性质有关，以下是一些常用的收敛性判别法：1.初等判别法根据积分函数的性质和出现在被积函数中的代数式、对数函数和三角函数的性质进行直接比较推断。2.常用判别法设$f(x)$在区间$I$上连续，则：（1）如果存在正整数$k$，使得$\\lim_{x\\rightarrowb^-}(x-b)^kf(x)=A$，则无穷广义积分$\\int_a^bf(x)dx$收敛；（2）如果$f(x)$在区间$I$上连续且非负，则$\\int_a^bf(x)dx$收敛的充分必要条件是：积分区间$I$是有限的且$f(x)$在$I$内面积有限；（3）如果$f(x)\\simg(x)$，即$\\lim_{x\\rightarrowb^-}\\frac{f(x)}{g(x)}=1$，其中$g(x)$为一个收敛的正常广义积分，则$f(x)$的无穷广义积分和$g(x)$的正常广义积分同敛散；（4）如果$f(x)$在区间$I$上连续且非负，则$\\int_a^bf(x)dx$收敛的充分必要条件是：积分区间$I$是无限的且$f(x)$在$I$内单调递减趋于$0$；（5）如果$f(x)$在区间$I$上单调，且$\\int_a^b|f(x)|dx$有限，则$\\int_a^bf(x)dx$收敛。3.Abel判别法设光滑函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递减且存在有限的积分$\\int_a^bf(x)dx$，光滑函数$u(x)$在区间$[a,b]$