基于混合分布单因子模型的CDO定价问题

基于混合分布单因子模型的CDO定价问题

0引言债务抵押证券(CDO)，它是以抵押债务信用为基础，通过各种资产证券化技术，对债券、贷款等资产组建资产池，重新分割投资回报和风险，以满足不同投资者需要的衍生证券产品。投资者通过承担资产池的违约损失，获取CDO发起人定期支付的权利金（即CDO的公允价格）。在交易过程中，资产池抵押资产组合所发生的损失首先被股权级分券层承担，然后依次由低级分券层、中级分券层及高级分券层承担，分券层级别越高所承担的风险越低（所获得的权利金也相应降低）。举例来说，设分券层为，当资产池累积损失比例小于这个分券层的下界时，投资者不承担任何损失；如果累积损失大于这个分券层比例的下界但小于上界时，这个分券层的投资者需承担损失的比例为超过的部分；一旦累积损失比例超过，则这个分券层的投资者需承担的损失比例为，超出部分对该分券层的投资者不产生作用，且每一分券层的下界对应于前一分券层的上界。所谓CDO定价，即给出CDO不同分券层的公允价格（即权利金），其定价核心是资产池抵押资产违约损失联合概率分布的计算，具有代表性的模型是基于半解析方法的常相关系数单因子高斯模型[1-3]。但是，在对分券层市场数据进行拟合计算时发现相关系数不是常数，而是不同的取值，存在“相关系数偏离”现象[4-5]，主要由高斯模型不能彻底解决厚尾现象及CDO发行交易过程中单个资产的分券层级别发生变化所致。于是，为解决该问题涌现了很多处理方法，主要有两种途径：一种是随机相关系数的引入[6]；另一种方法是引进不同的厚尾分布[7]模型，主要有：α稳态分布[8]，双t分布[2]，正态逆高斯(NIG)分布[9]。近来，LaurentJ-P和GregoryJ[10]利用高斯混合分布的因子模型对CDO分券层定价，且发现基于该混合分布的因子模型比单一分布的因子模型处理数据拟合时效果更好，但是他们没有考虑随机相关系数问题。基于此，结合正态逆高斯分布的厚尾特性，本文引入NIG和标准高斯的混合分布，建立了具有随机相关系数的单因子模型，即单因子Copula混合分布模型。本文首先介绍了CDO的发展及由高斯分布和正态逆高斯分布构成的混合分布等预备知识，然后给出了CDO分券层定价的半解析方法，最后给出了基于随机相关系数的混合分布单因子模型，进一步给出了贝努利相关和三状态相关两种随机相关系数条件下的CDO抵押资产组合累积损失的联合概率分布。1预备知识定义1.1（NIG分布）NIG分布（正态逆高斯分布—normalinverseGaussiandistribution[9,11]）是正态分布和逆高斯分布的混合分布。若随机变量U服从参数为α，β，μ和δ的NIG（α，β，μ，δ）分布，则其密度函数为2GDO定价的半解析法CDO定价就是给CDO不同分券层赋以公允价格。下面从投资者的角度——即从投资者的损失面(DL-DefaultLeg)和收益面(PL-PremiumLeg)进行分析，损失面是当抵押资产发生违约时投资者投资相应分券层所承担的损失金额现值，而收益面是投资者投资相应分券层所获得的收益金额现值，在风险中性的条件下，损失面的期望值必须等于收益面的期望值，即3模型及其累积损失的联合概率分布在考虑由标准高斯分布和NIG分布组成的混合分布的前提下，这一节主要讨论基于该混合分布的单因子Copula模型的CDO资产池的累积违约损失概率分布。首先给出混合分布的单因子模型，定义如下：下一步工作将在随机相关系数的前提下，基于型分析CDO抵押资产组合的联合违约概率分布问题，重点讨论两种随机相关系数的情形：贝努利相关系数和三状态相关系数，这两种情形适用于在CDO发行交易过程中，由于单个资产的分券层级别可能发生升级或降级的情况（同一资产的分券层级别在不同时间段上可能发生升级、降级、甚至两者兼有），进而引起相关系数发生变化的情况。3.1贝努利相关系数Ⅰ）当，此状态表示该资产价值仅依赖于自身异质因子而与市场共同因子无关，该资产的违约对资产池中的其他资产没有影响。2005年福特公司信用价差升高、信用评级降低，使得资产池中资产组合的异质风险加大，并直接导致股权分券层风险溢价的提高，便是此状态的一个明显例证。Ⅱ）当，此状态表示资产价值只取决于市场共同因子而与自身异质因子无关，例如当宏观经济