双曲线专题讲练合一

双曲线的定义第一定义：当IIPFI-1PFII二2a<1FFI时，P的轨迹为双曲线；1 2 12当IIPFI-1PFII二2a>IFFI时，P的轨迹不存在；1 2 12当I|pfI-|pfi=2a=Iff|时，p的轨迹为以f、f为端点的两条射线121212双曲线的第二定义平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹为双曲线双曲线方程的求法⑴若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn〈0)X2y2 X2y2⑵与双曲线二一匸=1有共同渐近线的双曲线方程可设为二―b=人a工0).a2b2 a2b2若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m2X2—厲丫2=人(人工0).X2 y2 y2 x2与双曲线一-[=1共轭的双曲线为'-—=1a2b2 b2a2⑸等轴双曲线x2—y2=±a2的渐近线方程为y=±x，离心率为e=*2.;类型一：双曲线的定义和方程注意定义中“陷阱”一要注意是否满足2a<IFFI,二要注意是一支还是两支，若定义中的“绝对值”去掉,12点的轨迹是双曲线的一支.注意焦点的位置已知A(0,—5),B(0,5),|PA|—|PB|=2a，当a=3和5时，P点的轨迹为( )A.双曲线和一条直线 B.双曲线和二条射线C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线 D2、已知F(-5,0),F(5,0)，—曲线上的动点P到F,F距离之差为6,则双曲线的方程为1212已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x—3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 4、 双曲线4x2—y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于17,则点P到另一焦点的距离等于 。5、 双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 .y26、 设P为双曲线x2-^-=1上的一点F、F是该双曲线的两个焦点，若|PF|：|PF|=1212123：2,则厶PFF的面积为12

类型二：渐近线1、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=+-x（a〉O,b〉O）,若双曲线上有一点aM（x,y），使b|x|〉a|yI，则双曲线的焦点（）000101A.当a>b时在x轴上 B.当a<b时在y轴上C.在x轴上 D.在y轴上2、双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P（8,6^3）,则其方程是3、以双曲线x2-4y2=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+J3y=0的双曲线方程是―类型3：求离心率或离心率的范围（一） 已知双曲线的离心率e求渐近线方程注意应用e=\jl+b2并判断焦点的位置.TOC\o"1-5"\h\zb a（二） 已知渐近线方程y=mx，求离心率时若焦点不确定时，m=a（m>0）或m=£,故离心率有两种可能.x2 y2 41、已知双曲线一-一=1的一条渐近线方程为y二X，则该双曲线的离心率e为 m n 3X2y22、已知双曲线---=l‘（a>0,b>0）的左，右焦点分别为©，点P在双曲线的右支上，且1PF尸4|PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为 X2 y23、已知双曲线——1（->0,b>0）的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、Ba2 b2两点，若ZAEB=60°，则该双曲线的离心率e是（）C.1+迈2D.C.1+迈2D.1+、：32A.、5+12B.2 C.J+1或2 D.不存在24、设厶ABC是正三角形，则以A、B为焦点且过BC的中点的双曲线的离心率为（)X2 y25、已知F1，F2分别是双曲线--厉=1（a>0,b>0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）（A）.（1+\，；2,+g） （B）.（1,1+.2） （C）.（1，\：3） （D）.（\：32订2）类型四：焦半径

x2 y2双曲线 —=1(a>0,b>0),F,F分别为双曲线的左、右焦点。a2 b2 12若点P在右半支上，贝川PF|=ex+a,|PF|=ex—a；1020若点P在左半支上，贝川PF|=—(ex+a),|PF|=—(ex—a).1020(一) 求双曲线的标准方程X2y21、设F、F是双曲线——一1=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点，L为左准线，离1 2 a2b2TOC\o"1-5"\h\z3 28心率e=，P(— ,m)是左支上一点，P到L的距离为d,且d，|PF|，|PF丨成等差数列，求此双曲线方程。2 3 1 22•已知F,F是双曲线—-学=1的左，右焦点，点P(X,y)是双曲线右支上的一个动点，且PF\的最小值为8，双曲1 2 a2b2 14线的一条渐近线方程为y二3x-求双曲线的方程；(二) 求值X2y2X22、已知双曲线-5—25】、双曲线&-花=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1"FX22、已知双曲线-5—251的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为1•能否在双曲线的左支上找到一点P，使|PF11是P至皿的距离与|PF|的等比中项？若能，试求出P点坐标;2若不能，请说明理由.离心率范围1、双曲线一-—=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F，若P为其上一点，且IPFI二31PFI，则双曲线离心a2b2 1 2 1 2率的取值范围为()A.(1,2) B.(1,2] C.(2,+s) D.[2,+8)类型五：直线与双曲线联立问题1、 已知曲线C：X2—y2=1及直线l：y=kx—1.若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；⑵若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为寸2,求实数k的值.X2 y2 X2 y2已知椭圆 + =1和双曲线- =1有公共的焦点。3m25n2 2m23n2求双曲线的渐近线方程直线1过焦点且垂直于x轴，若直线1与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为4，求双曲线的方程

3•直线y=ax+l与双曲线3x2—y2=l相交于A、B两点，0为坐标原点.OAOB⑴若 • =0,求a的值；若A、B在双曲线的左、右两支上，求a的取值范围.双曲线专题练习一、填空题'TOC\o"1-5"\h\z1•椭圆三-+^―=1与双曲线:-[=1的焦点相同，则k二 o9 k2 k32•双曲线兰-上=1的渐近线为 两渐近线夹角为 。9 43•已知F、F为椭圆的两个焦点，A为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为4，则△AFF面积的最大值为1212过点(-6,3)且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。过原点与双曲线¥-*=-1交于两点的直线斜率的取值范围 若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0，3)，则k的值是 。已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1,试列出实数k需满足的不等式组，使直线与双曲线交同支于两点，8•点P是双曲线丄-上=1上一点，F、F是双曲线焦点，若ZFPF=120。，4 3 1 2 12贝Oafpf的面积 。129.过点M(—2,0)的直线L与椭圆x2+2y2=2交于两点，线段卩】卩2的中点为P，设直线l的斜率为k(k#0)，直线OP的斜率为k，则kk的值为11212TOC\o"1-5"\h\z10•若对任意keR，直线y=k(x-2)+b与双曲线X-y2=1总有公共点，则b范围 。11•若方程x+k-J匸X2=0只有一个解，则实数k的取值范围是 。二、选择题14.经过双曲线X2-y2=1的右焦点F2作直线l交双曲线与a、B两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数为 ( )(A)4； (B)3； (C)2； (D)l15•双曲线与其共轭双曲线有 ( )A•相同的焦点 B.相同的渐近线 C.相等的实轴长 D.相等的虚轴长过点P(3,4)与双曲线c:：-巻=1只有一个交点的直线的条数为 ( )9 16A.4B.3A.4B.3C.2D.1三、解答题已知动圆与圆q：(x+5)2+y2=49和圆C:(x-5)2+y2=l都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。若动圆P与圆C2内切，与圆3］外切，则动圆圆心的轨迹 。(只需写出图形形状，下同)若动圆P与圆q内切，与凰2外切，则动圆圆心的轨迹 。若把圆q的半径改为1，那么动圆p的轨迹是 。18.已知直线y二ax+1与双曲线3x2—y2二1交于A、B点。(1)求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=2x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由。20.已知双曲线方程为2x2—y2二2,求过点P(1，2)的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。过点P(1，2)的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；是否存在直线1,使Q(1，1)为1被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由。y222.已知双曲线x2—^2=1，问过点A(1，1)能否作直线1,使1与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点?若存在，求出直线1的方程，若不存在，说明理由。、填空题5 3)U(二3,+8).1. k5 3)U(二3,+8).— 136、-1。7.16、-1。7.1一k2壬0A>0_。8.xx>012<3。9.10. 11. [-1，1)U{"}二、选择题14(B)15.二、选择题14(B)15.(B)16C三、解答题Iy—ax+1解：(1)由仁 [消去y，得(3—a2)x2—2ax—2—0(1)13x2一y2—113—a2丰0 /— |— ，'—依题意{ 即—2<a<、：6且a鼻±、：3(2)IA>0⑵设A(x1,y1),B(x2,打，•・••・•以AB为直径的圆过原点OA丄OB+y1y2-0但yy—但yy—a2xx+a(x+x)+11212''由⑶(4),x1+x2122a—2(a—2(a2+1)--2a+a■ 3—a2 3—a2解得a—±1且满足(2)1一"1(3)假设存在实数a，使A、B关于y—-x对称，则直线y—ax+1与y—㊁x垂直1a--——1，即a——2 直线l的方程为y——2x+12将a——2代入(3)得x+x—412AB中点的横坐标为2 纵坐标为y——2X2+1——311但AB中点(2,—3)不在直线y—-x上，即不存在实数a，使A、B关于直线y—㊁x对称。解：(1)x2+y2—1TOC\o"1-5"\h\z4 3设中点为(x,y),F(-1,0)K(-2-x,-y)在八+护—1上n―2+迅—11 4 3 4 3设Md/y),N(-X1,-y1),P(x,y),x11 11 oo o 1贝I」y2=b2(呼—1)y2=b2(x2—1)1kPM-kPN=儿—y•儿+y=用-丘x0-斗X0-X1X0+X120.kPM-kPN=儿—y•儿+y=用-丘x0-斗X0-X1X0+X120.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=l,与曲线C有一个交点•当l的斜率存在时，设直线l的方程为y—2=k(x—1),代入C的方程，并整理得(2—k2)x2+2(k2—2k)x—k?+4k—6=0(*)(i)当2—k2=0,即k=±Z2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ii)当2—k2^0,即kM±C时△=[2(k2—2k)]2—4(2—k2)(—k2+4k—6)=16(3—2k)3①当△=0,即3-2k=0，k=-时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.3 _ ,_ 3②当△>0,即k<，又kM±P2，故当k<—2或一、；2<k< 或J2<k<时，方程(*)有两不等实根，l22与C有两个交点.3③当△<°，即k>时’方程(*)无解，l与C无交点.3综上知：当k=±,0，或k=2，或k不存在时，l与C只有一个交点;_ 3 .—叽2<k<-，或"2<心2，或k<r2时，】与C有两个交点;3当k>-时，】与C没有交点.(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(x,y),B(x,y)，则2x2—y2=2,2x2—y2=2两式相减得:112211222(xi—x2)(xi+x2)=(yi—y2)(yi+y2)y—y 即k二——=11 2'11 ABx—x12但渐近线斜率为±f2，结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.又•••3+笃