单变量非线性时间序列模型

第5章单变量非线性时间序列模型§1随机波动率模型乘积过程x=oUt tt其中U一个标准化过程，即EU=0,VU=1。 是一个正随机变量的序t t t t列。这种类型的过程称之为乘积过程。2，因此。是随机过程X的标准差。t t t t因为V2，因此。是随机过程X的标准差。t t t ttt现在看偏微分方程dPdlogP=“dt+crdWTOC\o"1-5"\h\z其中XlogP,Wt为标准布朗运动。它是通常的金融资产定价的扩散t t过程。离散情况dt=1，所以它是一个乘积过程。假设U=Xf—A匕服从正态分布，且独立于s，则\o"CurrentDocument"Ex—“2=e(j2U2=EEU2=E/t tt t t tExx EUUEUEU0t tk ttkttk ttkt tk但平方误差S=x 2却自相关:t tS,S_=ES—ESS_-ESt tktttkt—ESS_ ES2ttkt=E0202EU2UL—ECF2ttkt tkt=E(J2(j2——E(J2ttktE(J2o2E(J2ttktE<J4-E6T22此时ttcovPk,S

二．随机波动率模型如果定义hlog” h （这个模型常常代表金融市场随机和不均匀t t S'1tit的薪信息流）其中 NID0,©且独立于U。t t此时x Uexph/2t t t'此时仅当h弱平稳时，x才是弱平稳。tt此时x此时x的偶阶矩存在，所有的奇阶矩为零t为什么）：ExrExr—ESr*2*—EUrEt t tr7exp—h2tXexp/\/\\r(J2—exp/\/\\r(J2——h2\/2\ 77r才h+其中：Eh二'h t '0CT2h©/l-72。ES2tES2ES2tES2t（意思是什么）covS,S_ttk=exp2 2hh—exp2 2hh峰度的矩：Ex=exp2“+(j21+zy=exp2“+(j21+zyk=exp2 2expogk—1hh h1expct2?k—1此时 —k5S 3expcr2—1hx—3=oU变化一下，利用模型t tt 得出h—logcr2=7+7h_+什t t oititlogShlogU2 tlogU2t t t h1一q/B t此时logSARMA1,1。当U服从正态分布时，logU2的均值为-1.27,方t t t差为4.93其自相关函数为1k，iogS 1+4.93/cr2h三．随机波动率模型的估计采用Koopman得准极大似然法（QML）Quasi-maximumLikelihood。STAMP5.0软件提供了这个方法。§2 ARCH模型波动性聚类：波动性不仅随时间变化,而且常在某一时段中连续出现偏高或偏低的现象。波动性聚类现象是金融时间序列常见的现象。一.自回归条件异方差模型（ARCH）的定义随机变量x服从自回归形式AR（p）:tX=0+0X+0X+...+0X+8t01t-12t-2 pt-pt其中8服从独立同分布的白噪声过程，且有（8）=0,V（8）=02。（?）t t t此时随机变量X的无条件方差tE(XE(X)=t1-0-1.-01p为常数,与时间无关。如果固定变量x,x,...x的值，则随机变量x的条件期望为t-1t-2 t-p tECxx x)=卩+卩x+..…+卩xtt-i t—p oit-i pt—p意义：说明x的条件方差是时间的函数。t如随机过程｛e｝,它的平方服从AR(q)过程te2=a+as2+...+ae2+耳 (1)t0 it-i qt-qt其中n独立同分布，且有E(e)=0,V(e)=X2。t=1,2,...，其平稳性条件为t t t则称随机过程｛e｝服从q阶的ARCH过程，记为ARCH(q)。此时随机过程｛e｝tt的无条件方差E(e2)=e= 匕 为常数。t 1-a-...-aiqARCH模型的一个重要特点是给出了计算时间序列条件方差的方法。在每一时刻t，ARCH过程的条件方差是过去随机干扰的函数。以o2表示ARCHt过程e在时刻t的条件方差，给定随机变量e2,e2，…,e2的值，则t t-1t-2 t-qo2=EC2e2，…,e2)=a+ae2+...+ae2t tt-1 t—q 01t-1 qt—q所以只要知道参数a,a，…,a的值，就可以在时刻t-1，预测时刻t时的条件0 1q方差o2。t二．ARCH效应检验对于序列是否存在ARCH效应，最常用的检验方法是拉格朗日乘数法LM检验。对于模型h=a+ae2+ae2+...+ae2t0 1t-1 2t-2 qt-q检验就是检验所有回归系数是否同时为0原假设检验的统计量LM=nR2〜乂q。（如何判断是否显著，单边）。四．模型的估计采用最大似然估计ML§3衍生GARCH模型一．Garch模型模型形式为：u=8ht tth=a+Xau2+刀卩hTOC\o"1-5"\h\zt 0 it-i it-ii=1 i=1即当前的条件方差等于过去冲击的加权和加上自身的自回归。其中a2=1且8a>0 >0以及卩>0,p,q分别为条件方差中自回归项与滑动平均项的阶。0 i i由于b｝是白噪声过程且与u的过去值独立，因此u的条件和无条件均值均t t-i t为零，并且ECu2|u,u,...）=h。这一特性与ARCH模型相同。Garch模型的tt—1t—2 t条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而且还是滞后条件方差的函数。Garch模型能体现条件异方差的长期传导过程，即h依赖于h过去的所有tt值。如果收益率序列服从一个GARCH（p,q）过程，那么在一定条件下，可以用具有合理滞后结构的ARCH过程来代替。对于一个高阶ARCH过程，可以写成比较简洁的GARCH模型来代替。二•衍生ARCH模型1．ARCH—M过程ARCH和GARCH模型假设扰动项的条件方差与被解释变量的期望无关。现在考虑条件方差影响期望的情况。一个例子是：投资者投资时，投资者依据当前信息持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者需要的风险溢价增大。

ARCH-M模型的一般形式为:y=X'P+Yh+uTOC\o"1-5"\h\zt t t t<u=yjht t吋th=a+Fau2=a+a（B）u2t0 it-i0 t-ii=1其中b2=1且a>0、a>0以及P>0。此模型称为ARCH-M模型。如果£ 0 i ih=a+为au2+另P :H-M模型。t0 it-i it-ii=1 i=12．EGARCH模型GARCH模型的缺陷:1）模型系数的非负约束；2）外部冲击对条件方差的影响程度只取决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的影响无关。在现时金融市场中，尤其是股票市场中，价格波动受负外部冲击的影响比同登幅度的郑外部冲击要大，正负冲击具有非对称性，即所谓的杠杆效应。因此引入EGARCH模型。EGARCH模型的形式为=£=£lnh=a+t0Yelog(hlnh=a+t0j t-jj=1 i=1在模型中引入了不对称因子0, 0，表示信息非对称，©>0正的外部冲击i影响大于负的外部冲击；0<0表示负的外部冲击的影响大于正的外部冲击。3．TGARCH模型模型形式为:h=a 2+ye2d+Yeh.t 0 it—i t—1t—1 jt—jTOC\o"1-5"\h\zi=1 j=1其中d为虚拟变量t「1 &<0\o"CurrentDocument"d=< tt10 otherY为不对称参数，当8>0表示股票价格上涨时，此时股票价格的影响和下跌t8<0的影响不同。t参考教材：1．《数据分析与