2023高考数学难点突破专题训练五：立体几何

2023高考数学难点突破专题训练（5）

立体几何

★热身训练

1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）

如图，棱长为4的正方体A8CO-ABCR，点A在平面a内，平面ABCD与平面a所成的

二面角为30。，则顶点到平面a的距离的最大值是（）

2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）

（多选题）如图，点。是正四面体P4BC底面ABC的中心，过点。且平行于平面A48的直

线分别交AC,BC于点、M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱心的延长线相交于点

Q,与棱尸8的延长线相交于点R,则（）

A.若〃平面则4B〃RQ

B.存在点S与直线MN,使万•（aC+QRjnO

C.存在点S与直线MN,使PC_L平面SR0

1113

D-网+网+网-网

3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022-2023学年度高三年级第一次调研

测试数学试题）

如图，在四棱锥S-A8CD中，侧面S4O_L底面ABC。，SA±AD,且四边形ABC。为

平行四边形，AB=\,BC=2,NABC=?SA=3.

（1）求二面角S-CD-A的大小；

（2）点P在线段SO上且满足寸=力而，试确定4的值，使得直线与面PCZ）所成角最大.

4.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）

如图，空间几何体4万-BCF中,四边形ABCD是梯形，AB//CD,四边形CDEF是矩形,

且平面ABCD1平面CDEF,ADJ.OC,A3=AE>==2,EE=4,M是线段AE上的动点.

（1）试确定点M的位置，使AC〃平面并说明理由；（7分）

（2）在（1）的条件下，平面M3F将几何体ADE-8CF分成两部分，求空间几何体防

与空间几何体ADM-8b的体积的比值.（7分）

★高考引领

【试题出处】2022年高考数学全国甲卷文科第19题

【试题】

小明同学参加综合实践活动，设计了一个

封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面48co

是边长为8(单位：cm)的正方形，4EAB,

△FBC,AGCO,LHDA均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面ABCD垂直•

(1)证明：EF〃平面4BCD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的

厚度).

【试题分析】

考查目标试题的情境源于生活中的求喜糖包装盒容积的问题，依

据课程标准要求，将其设计为求“不规则”几何体的体积计算问题.试

题考查棱锥、直四棱柱等空间几何体的基本概念，考查不规则几何体的

割补方法，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

等基础知识和基本方法.试题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理

能力和运算求解能力，以及应用所学知识分析问题和解决问题的能力.

解题思路求解不规则几何体的体积时，如果几何体是组合体,一

般将其分解为若干个“球、柱、锥、台”的体积的和或差,从而将不规

则几何体转化为常见的简单几何体的形式，再运用常见几何体的体积公

式就能求出结果.

(1)设48,8c的中点分别为£7,F',可得££'1平面48C0,FFU

平面ABC。且从而尸为矩形，所以EF〃E'F,因此

£F〃平面48s

(2)思路1点、E,F,G,，到平面ABC。的距离都为44，且平面

EFC//〃平面4BCD故该包装盒可由底面边长为8,高为4&的正四棱柱

4BCD-4.B.C.D,截去四个体积相等的三棱锥4B-B.EF,

C-C.FG,O-QCH得到，且E,F,G,〃分别为正四棱柱上底面各棱的

中点.

思路2设48,BC,CD,%的中点分别为尸，G',H二效

E,F,G,，到平面48co的距离都为4&,且平面£尸6,〃平面48GX

故该包装盒可由底面边长为4&,高为4厅的正四棱柱

和四个体积相等的四棱锥4-B-EFF'E',C-FGG'F',D-

GH/TC组合得到.

试题亮点试题落实立德树人根本任务，从引导学生德智体美劳全

面发展的角度，以劳动实践中的实际问题出发，以考生熟悉的正四棱柱

和棱锥的组合体为载体，设计了空间直线与平面的位置关系和平面与平

面的位置关系的证明问题及计算问题.考生对试题中的空间图形会有似

曾相识的感觉，贴近广大考生的学习实际.试题给出的信息量是多样的，

给不同基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台，同时为考生

分析问题和解决问题提供了发挥能力水平的空间.试题在全面考杳考生

对立体几何基础知识理解与掌握的同时，着重考查了考生的化归与转化

思想.试题重基础、重应用、重能力，体现出较好的区分度和选拔功能，

对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.

【试题出处】2022年高考数学全国甲卷理科第18题

【试题】

在四棱锥中。F8C。，H〃底面48C。，CD//AB,AD=l）（：=CB=\

48=2,DP=6

（1）证明：BD1PA；

（2）求PD与平面P48所成的角的正弦值・

【试题分析】

考查目标试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过确定两直

线的位置关系和计算立线与平面所成角的正弦值，号代号生的空间想象

能力、逻辑推理能力,运算求解能力，以及综合应用知识分析问题解决

问题的能力.试题第（I）问难度不大，考生具备一定的空间想象能力和

逻辑推理能力即可得证.证明的关悔是发现△48〃是在向三角形试题

第（2）问设计为求直线与平面所成角的正弦值该问题的求解方法基础

且多样，既可以通过向量法求解，也可以通过综合法求解，为不同思维

水平的考生提供了充分展示的空间•

解题思路（1）根据已知条件可得BD'PD注意到四边形48co是

等腰梯形，容易得到乙。AB=60。.利用余弦定理和勾股定理，发现

△是直角三角形，从而得到由此可得80_L平面以0,于

是BOJ.PA.

（2）思路］用向量法求解.由题设及第（1）问得直线以，0兄0尸

两两垂直，因此自然以。为坐标原点，以凉的方向为,轴正方向，建

立空间直角坐标系。-8/，于是。P=（o,o,8）,运用向量法求PO与

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一个法向量即可•

思路2用综合法求解.求与平面P4B所成角的正弦值，关键是

求出O到平面PAB的距离.由题设及第（1）问可得三棱锥48°的体

积为g,利用等体积法，问题转化为求APAB的面积•

思路3用综合法求解.求PD与平面P48所成的角的正弦值，只需

找出过。点且与平面P4B垂直的直线即可・作0E_L48,垂足为E,连

接PE,f^DFlAE,垂足为凡得到。尸_L平面尸4从贝吐0尸产即为尸。

与平面PAB所成的角.

试题亮点试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过四棱锥的

各顶点设计空间两条直线之间位置关系的证明问题和直线与平面所成角

的计算问题.试题简洁清晰，解题思路多样，给不同基础的考生提供了

广阔的想象空间和分析问题解决问题的多维度平台.试题在全面考查立

体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想方法的理解

与掌握•试题准确把握教材要求，将向量运算以及直线与平面所成角的

构建等知识进行了很好的融合，使考生的空间想象能力、逻辑推理能力

得到了有效考查.试题重基础、重能力，符合广大考生的学习实际.

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷文科第12题

【试题】

已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

【试题分析】

考查目标球与四棱锥是学生比较熟悉的几何体，试题巧妙地将两

者结合在一起，考查球和四棱锥的基本概念、四棱锥体积的计算等基础

知识.试题的解决，首先要求考生具有较强的空间想象能力，在此基础

上,将四棱锥的体积表示为高的函数.解题的关键在于，考生能想到四

棱锥的体积最大时的棱锥一定是正四棱锥，这就对考生的化归与转化、

逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求.试题有效地考查考生的理性

思维、数学探索等数学学科素养，考查考生的空间想象、运算求解、逻

辑思维等方面的关键能力.考生在得到了正四棱锥体积的表达式后，可

利用导数得到结果.

解题思路

思路1四棱锥底面与球面所截得的小圆的圆心记为其半径记

为r,球心0到四棱锥底面的距离记为归则

由于四棱锥底面是圆01内接四边形，因此若给定。1的半径为r,则

底面为正方形时其面积最大，最大值为2尸，此时四棱锥的体积为

1.2

V(4)=§•2/•h=1(l-h2)h.

由于当时，r(/i)>o；当时，

r(/<)<o,所以当力=与时.义&)取得最大值，故当该四棱锥的体积达

到最大时,其高为*即正确选项为C.

也可以利用均值不等式得到结论：

2(1-盾%2=(>盾(1-1),2叼If士2]=仔)，

当且仅当好=；时，等号成立，故人=勺时，V5)取得最大值.

思路2在给定小圆。I的半径r时，当四棱锥的底面为正方形时,

其面积达到最大，最大值为2」,此时四棱锥的体积为

V(/i)=-y-2r2•h=-j-r2J\-r2=-j\/r4-r6.

令则/'(r)=2/(2-3J),易得"当时，/(r)取得最大

值，此时&=g,故当此四棱锥的体积达到最大时，其高为g,即正确

JJ

选项为C.

试题灵点试题考杳的是球和四棱锥方面的基础知识，题目设计简

洁,可以有效考查考生诸多方面的学科素养和关键能力，具有一定的创

新性.

(1)试题设计的情境是考生熟悉的，问题设计自然、合理，是在实

际应用中考生常遇到的问题.这一方面体现「数学之美:具有较好的关

育价值；另一方向体现r数学之用，有效地号看了考生的数学学科素.养

和关键能力.试题对高号在加强教号衔接、体现德智体美劳全面发雇W

方面进行了有益的之试.T

(2)试题探究的问题是四棱锥的体枳何时达到最大求几何体的体

积及讨论体积的最大值是数学教学中常见的问题.但试题要求考生先要

将求四棱锥体积的最大值问题转化为求正四棱锥体积的最大值问题，这

就要求考生能分析、提炼及转化问题，并善于寻找合理的解题思路,上

述解题过程对考生的逻辑推理能力提出了较高要求.试题具有一定的创

新性和开放性，达到了通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才的目的•

(3)试题的解决需要用到导数或不等式等多方面的知识，但问题解

决过程中所用知识和方法又很基础，充分体现了基础性、综合性、应用

性、创新性的考查要求.试题是严谨的，解决方法是灵活的，既体现了

高考的选拔功能，又能够很好地引导高中数学的教学改革，真正实现了

高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能•

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷文科第18题

【试题】如图，四面体48co中，401

CD.AD=CD,LADB=乙BDC,E为AC的

中点.

(1)证明：平面平面

(2)设.48=80=2,44c8=60。，点/在

BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥尸-46C的体积.

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四面体为载体，考查空间平面与平面

的位置关系、三棱锥的体积等立体几何的基本知识和基本思想方法.试

题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及综

合运用所学知识分析问题解决问题的能力.

解题思路（1）证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条

直线垂直于另一个平面.观察试题所给的图形发现，可以尝试证明4CJ.

平面BED或证明8EJ.平面4CD由AD=CD和E为AC的中点可得OEJ.

.4C,从而可以尝试证明4cl平面由此发现，仅需继续证明8£_L

AC,其等价于8c=助.此时利用已知条件容易得到结论.

（2）第（2）问的解题难点在于确定动点尸的位置，使得△4FC的面

积最小.在△4/C中，只有边4。是固定的，所以可以考虑AC边上高的

最小值.由两个途径可以得到4。边上的高为广£一是由乙408=

乙BDC,AD=CD,DF=DF,得△尸因此夕4=FC,于是尸£

•MC；二是由（1）知4C_L平面用；。，故尸£_14c,即为△,泣尸C的高.

当E广，BD时,的面积最小.此时产的位置确定,接下来只需在

静态的图形中计算△4/C的面积.要求三棱锥48C的体积，需要找

到一个底面以及相应的高，有以下两种思路.

思路I由（1）知〃:_L平面所以4C1R。，乂EFLBD,故

801平面AFC,从而出」平面外。故可以把求三棱镶尸-48C的体积

转化为求的面积和BF.

由题设及（1）得心8c=45=2,DE=jAC=l,DE2+BE2=DB2,所

以。£_LBE,从而可得E/=日・又BF=jBE?-E户=彳,故二棱锥尸一

ABC的体积

1173373

Xy=­•

思路2由题设及（1）得4C=8C=48=2,DE=^AC=\,DE2+BE2=

DB2,所以。E_L8E,从而发现。El平面48c.于是，平面0仍1平面

ABC.过点/作8E的垂线，垂足为K,则必是三棱锥的高•

故可以把求三棱锥F-ABC的体积转化为求的面积和高FK.由

£F=—,BF=^BE2-EF2=p可得FK="nZ_30£=?.故三棱锥尸一

ABC的体积

11c/V3万

^-4«r=jxyx2x/3x-=—.

试题亮点空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面所成

的角、平面与平面所成的二面角等内容是立体几何的重要内容，也是高

中数学的必备知识.试题以四面体为载体，利用棱的中点构造新的平面，

这些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常发挥・试题

的第（1）问“平易近人”，没有设置过多的思维障碍，基本功较好的考生

都能轻松解答.试题的第（2）问设计精巧又不落俗套，通过设置动点尸，

让图形产生变化.条件/C的面积最小”设置新颖，让考生感觉既

熟悉又陌生，该问和理科卷要求不同，体现了文理科的差异性・解题时

考生可通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的基本方法求得0尸与

平面48。所成角的正弦值.合理建立空间直角坐标系，以及正确运用空

间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的基本要求•第（2）

问还给思维能力强的学生预留了快捷的解题通道，即完全可以不建立空

间直角坐标系，通过直接作垂线轻松解决.试题让不同水平的考生都能

在学有所得的同时，通过不同解法对其思维层次进行有效的区分.

试题贴近广大考生的学习实际，给不同基础的考生提供了想象的空间

和多维度的解题思路，同时考查了考生分析问题和解决问题的能力.试题

在全面考查考生立体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化

思想方法的理解与掌握，考查了思维的创新性.试题准确把握课程标准，

把直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科素养较好地融入试题的

第（1）问和第（2）问中.试题具有较好的选拔功能，突出对考生综合、灵活

运用知识来解决问题的能力的考查，对中学数学教学有积极的引导作用.

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷理科第18题

【试题】

如图.四面体.4BC。中，Al)1CD,AD=CD,

乙ADB=LBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面8EO_L平面力CO；

(2)设.48=80=2,乙ACB=60。，前F在BD

上，当的面积最小时，求C/与平面480所成的角的正弦值.

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四面体为载体，考查与空间直线与平

面、平面与平面的位置关系有关的基础知识和基本方法-试题重点考查

考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，以及综合运用所

学知识分析问题解决问题的能力•

解题思路

(1)证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条直线垂直于

另一个平面.观察试题所给图形发现，可以尝试证明4c,平面或

证明BE_L平面4CD由4〃=CD和£为4c的中点，»I^DE1AC,从而

可以尝试证明4c_L平面由此发现仅需继续证明8E14C,其等价

于BC=BA.此时利用已知条件可以得到结论.

(2)解答第(2)问的难点在于确定动点/的位置，使得△49C的面

积最小•△4FC中只有边4c是固定的，所以可以考虑边4。上高的最小

值・有两个途径可以得到边4C上的高为QK一是由乙4。8=

AD=CD,DF=DF,得△月%二因此尸4=".于是有PEJ./IC.

二是由(1)知4cd.平面BE。，故FE_LAC,即FE为尸C的高，从而当

E尸，80时，△4FC的面积最小.此时产的位置确定，接下来只需在静

态的图形中进行计算•要求C尸与平面460所成的角的正弦值，有以下

两种思路.

.II.J.>*■(*<,

思路1采用建立空间直角坐标系的方

法，求向量K与平面480的法向量的夹角.

而建立空间直角坐标系的关键是找到垂直关

系，由(1)知，4。_1平面8£〃，所以可以联

想0E和8E是否垂直，利用题设中给出的条

件，很容易得到BE.于是以E为原点,

成的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则

4(1,0,0),B(0,3、0),C(-1,0,0),D(0,0,1),

个0,1子,丽=(0.-73,1),DA=(1,0,-1),科(1,勺,2).

可取”=(3,4,3)为平面48。的一个法向量，从而计算得CF与平面

ABD所成的角的正弦值为.

思路2不建立空间直角坐标系，找到一个过点C且和平面A"。垂

直的平面，从而过点。作该平面和平面48。交线的垂线，可得CF与平

面A8O所成的角.由(1)知4CJ.平面所以AC_L8O,又打“8。

故BOJ.平面A/C,从而平面平面4尸。过点C作4P的垂线垂

足为K,则乙CFK是C尸与平面48。所成的角.

在中，小心*心2,从而很容易计算得“与平面

ABD所成的角的正弦值为〒,

试题亮点直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成

的角，平面与平面所成的二面角等都是立体几何的重要学习内容・试题

以四面体为载体，利用中点构造新的平面，这些都是考生熟悉的情境，

有利于考生发挥自己的水平.

试题第（1）问没有设置过多的思维障碍，基本功较好的考生都能轻

松解答.试题第（2）问的设计精巧又不落俗套，通过设置动点£让图形

产生变化.其中，条件“△>1尸C的面积最小”设置新颖，让考生产生既

熟悉又陌生的感觉.该问可通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的

方法求得CF与平面48。所成的角的正弦值.合理建立空间直角坐标系，

以及正确运用空间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的

基本要求.第（2）问还为思维能力强的考生预留了快捷的解题通道.考

生完全可以不建立空间直角坐标系，直接通过作垂线即可轻松求解.试

题在让不同水平的考生都能学有所得的同时，通过建立空间直角坐标和

不建立空间直角坐标系的解法对考生的思维层次进行了有效的区分.

试题贴近广大考生的学习实际，和中学教学有很好的衔接，给不同

基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台.试题在全面考查立

体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想的掌握，考

查了考生思维的创新性，以及综合、灵活运用知识来解决问题能力.试

题具有较好的选拔功能，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指

导意义.

【试题出处】2022年高考数学全国I卷第8题

【试题】

已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上

若该球的体

枳为36,，且3W/W3Q,则该正四校锥体积的取值范围是

"耳B.修耳」停与D.

[18,27]

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四棱锥和球为背景，固定球的体积,

让球的内接正四棱锥的侧棱长在一定范围内变动，要求计算该正四棱锥

体积的取值范围.试题考查四棱锥的基础知识，考查考生的空间想象、

逻辑推理、运算求解等关键能力，考查考生理性思维、数学探索等数学

学科素养，符合基础性、综合性、创新性的考查要求•

解题思路设正四棱锥P-48co的顶点在球。的球面上•由题意

可得球。的半径为3,顶点P在底面48co上的投影是该正方形的中心，

设为£在P,A,。所在的大圆中，有PA』E•2PO=6PE,故PE=

二从而

6

AE=』PR-陪—.

6

因此AB=氏AE烫T,四棱锥的

J'3俸

体积

1z厂(36-尸)

V=-XAB2XPE=~~.

3182

令/U)=/(36-x),xe[9,27],贝4丫=1^,f'(x)=3x(24-x).

当9<x<24时，/'(工)>0,〃工)单调递增；当24〈工<27时.f'(x)<0,

/(X)单调递减.故/(x)m“=/(24)=24%12,/(*).；.=min1/(9),

/(27)|=/(9)=92X27.于是乙小^^二不，嗫-=了・所以

[2彳7，6y41j.故正确选项为C.

试题亮点棱锥和球是中学课程的必修内容•试题的正确运算必须

基于空间想象，同时还必须依靠严密的逻辑推理，才能发现空间几何体

中相关量之间的关系，进而完成对问题的求解・试题在考查立体几何基

础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的构图能力、空间想象能力、

逻辑推理能力和运算求解能力.考生必须通过观察、分析、想象、判断、

计算等思维过程才能求解，这充分体现了考生的数学学科素养.试题设

计面向全体考生，突出对考生综合、灵活运用知识来解决问题能力的考

杳，具有较好的选拔功能，实现了“服务选才、引导教学”这一高考核

心功能.

本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。

教材习题求函数y=sin2Ocos。马的最大值。

2

试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理

方向：①处理成侧棱长为1,高线长未知的正四棱锥的体积；②处理成母线长为

1,高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、

“母线长为1”均改为“长为a”.

（1）按处理方向①处理，形成1稿.

1稿已知一正四棱锥P-A4G0的高为P01,侧棱长为4（。＞0）,记

乙产a=。（0＜6＜今，求其体积V的最大值及此时段的长。

提示：V=ga，sin26cos。，POt=acos0

2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥

P—ABCR,其侧棱长为。（a＞0）,其底面正方形的中心为0厂下部分形状为正四

棱柱ABC。-A冉GR,其底面正方形的中心为0,要求正四棱柱的高00是正四棱

锥的高PO1的我（攵＞0）倍，求仓库容积V最大时PO1的长.

2稿分析：记幺股=。（0＜。＜|0,则短=弓+26八由2%05。；注意到

3

,当且仅当sin?。=2cos2。，即cos。=班时，等号成立；

3

3+3

V<-（-^+2k）a=2A：）4Z>POt=acos0=^-a-2016年江苏商考第17

题为2稿的特例（高考题为a=6,%=4的情况，P0t=2-\/3,V<416V3）

（2）按处理方向②处理，形成问题变式.

变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆

圆心为。的圆锥，其母线长为a（a>0）,下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥

的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为0,要求圆柱的高。0是圆锥的高

P0、的k（左>0）倍，求仓库容积丫最大时尸01的长.

注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题

命制为例[J].文理导航（中旬）,2017,（02）”节选。也是《江苏高考数学复习指南》（刘

蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有

很多，譬如：《拓展阅读1:2019江苏19题第3问及其新解法》

拓展阅读1:《2019江苏19题第3问及其新解法》

设函数/(x)=(x-a)(x-。)(x-c),a,Z?,ceR、/(x)为f(x)的导函数.

4

若a=0,0<&,且/(x)的极大值为M,求证:MW班.

(3)因为a=0,c=l,所以/(x)=x(x-0)(x-l)=x3-S+l)x2+"x,

f\x)=3x2-2(b+l)x+b.

因为0<〃Wl,所以。=4(b+l)2-⑵=侬-1)2+3>0,

则/'(x)有2个不同的零点，设为王,马(石<£)•

22

।、A‘口b+l-yjb-b+lb+\+^b-b+\

由f\x)=0,得玉=---------------,尤2=----------------

列表如下：

X王（%,式2）X2(x2,+oo)

f'M+0-0+

/(x)/极大值s极小值/

所以/(x)的极大值M=

解法三：

TT

注意到：当。£(0,耳)时，

cos2^sin40=--2cos20sin2^sin20

2

12cos2O+sin?O+sin?634

——(")=—，

2327

当且仅当sin26=2cos2。，即cos8=迫时，等号成立;

3

,c4

令x=cos-ee(0,1),则x(l-x)-«一；

27

因为0<bWl,所以王e(0,l).

,4

M=/(xl)=x1(/?-xl)(l-xl)<xl(l-xl)-<—.

★难点突破：立体几何（1）

1.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）

图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就

摇摆然后恢复直立状态.如图2,将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球

的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不

倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）

C.2D.4

2.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）

正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为而，则其体积为（）

28

A.28B.一C.32D.24

3

3.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）

在三棱锥A-BC£>中，已知平面BCD,BC±CD,若A3=2,BC=CD=4,则AC

与8。所成角的余弦值为（）

2A/2

A•半

53

4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三

上学期12月联考数学试卷）

四棱锥尸一ABC。中，底面A8CZ）是边长为2正的正方形，侧面△以。为正三角形，则其外

接球体枳最小值为

A.28,兀B.寺兀C.8#兀D.4小兀

5.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023

学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）

（多选题）棱长为1的正方体ABCo-dgGR内部有一圆柱go2，此圆柱恰好以直线

AC,为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以A,G为公共点

的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）

A.在正方体ABC。-A4GA内作与圆柱底面平行的

截面，则截面的最大面积为巨

2

B.无论点。1在线段AG上如何移动，都有4c

C.圆柱002的母线与正方体ABC。-所有的棱所

成的角都相等

D.圆柱外接球体积的最小值为27T

6

6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三

上学期12月联考数学试卷）

（多选题）在棱长为1的正方体ABCC-A山ICQI，E为AQ的中点，则

TT

A.B,E±A|CB.BE与所成的角为与

C.四面体AiEBG的体积为tD.AC与平面ABCQi所成的角为看

7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三

上学期12月G4联考数学试卷）

（多选题）在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，B4_L底面ABCD,PA=AB=\.G

为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是

A.MG的最小值为半

B.若M4+MG=1,则点M的轨迹是椭圆

C.若加4=华，则点M的轨迹围成图形的面积为强

O12

D.存在点M,使得直线BM与CD所成角为30°

8.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研（三）数学试题）

（多选题）在正方体46。。一4耳£。中，BP=ABC+/ABB],则下列说法正确的是

A.若2+〃=1,则APJ.82

B.若;1=〃，。为线段4g上的动点，则四面体A。。。的体积为定值

C.若丸=；,〃=1,R为线段的中点，则

D.若;12+〃2=1,则线段AP的长度为定值

9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）

在棱长为2的正方体ABC。-A4G。中，N为BC的中点.当点M在平面OCGR内运

动时，有MN〃平面A8D,则线段MN的最小值为.

10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高

三上学期12月G4联考数学试卷）

在轴截面为正方形ABCO的圆柱中，M,N分别为弧49,弧8c的中点，且在平面ABCO

的两侧.

（1）求证：四边形4NCM是矩形；

（2）求二面角B-MN-C的余弦值.

11.(江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高

三上学期12月联考数学试卷)

如图1,梯形48CD中，AD//BC,AB=BC=2,AO=4,将△沿对角线AC翻折,

使点B至点P,且使平面B4CJ_平面ACZ),如图2.

(1)求证：PALCD；

(2)连接PQ,当四面体雨CQ体积最大时，求二面角C一出一。的大小.

12.(湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题)

如图，在几何体ABCDE中，底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC1

平面ACD,平面ABC±平面BCE,DE//平面ABC,ADIDE.

(1)证明：