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文档简介
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--圆的综合题一、综合题1.如图,四边形ABCD内接于圆O,点E在对角线AC上.(1)若BC=DC,∠CBD=39°,求∠BCD的度数;(2)若在AC上有一点E,且EC=BC=DC,求证:∠1=∠2.2.如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O外,PB交⊙O于A、B两点,PC交⊙O于D、C两点.(1)求证:PA•PB=PD•PC;(2)若PA=454,AB=193.如图,在ΔABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B(1)求证:直线AB与⊙O相切;(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO=4.如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O点D.点E在⊙O上.(1)若∠AOC=40°,求∠DEB的度数;(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.5.如图,P是⊙O外一点,PC为切线,割线PAB经过圆心O.(1)若PB=12,PC=43,求⊙O(2)作∠BPC的角平分线交BC于D,求∠CDP的度数.6.如图,已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠D=60°.(1)求∠BAC的度数;(2)当BC=4时,求劣弧AC的长.7.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)E为BD的中点,连结CE,求证:CE是⊙O的切线;(2)若AC=3CD,求∠A的大小.8.如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,与边AB相交于点F,DE⊥AC,垂足为点E,连接OD.(1)求证:DE与⊙O相切;(2)若AE=2,⊙O的半径R=4,求DE的长.9.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;(2)若CD=25,BP=1,求⊙O的半径.10.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D。(1)求证:AD是⊙O的切线。(2)若⊙O的半径为6,sin∠D=3511.某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=L,称跨度,桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,当L和h确定时,有两种设计方案可供选择:①抛物线型,②圆弧型.已知这座桥的跨度L=32米,拱高h=8米.(1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式;(2)如果设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径;(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,在两种方案中分别求桥墩的高度.12.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.13.已知:如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,∠ACB的平分线与⊙O交于点D,与AB交于点E.点F为DC的延长线上一点,满足∠FBC=∠BDC.(1)求证:BF与⊙O相切;(2)若BD=6,BC=22,求AC14.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD//BC,OD与AC交于点E.(1)若∠B=70°,求弧CD的度数;(2)若AC=24,DE=8,求半圆O的半径.15.在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D,F为上﹣点,且=连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;(2)求证:△BCD≌△AFD;(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.16.如图,已知AB是⊙O的直径,点D为弦BC中点,过点C作⊙O切线,交OD延长线于点E,连结BE,OC.(1)求证:EC=EB.(2)求证:BE是⊙O的切线.
答案解析部分1.【答案】(1)解:∵BC=CD,∴BC=DC,∴∠BAC=∠DAC=∠CBD=39°,∴∠BAD=78°,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BCD=102°;(2)解:∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB,又∠BAC=∠BDC,∴∠CBD=∠BAE,∴∠CEB=∠BAE+∠2,∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB,∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1,∴∠1=∠2.2.【答案】(1)解:连接AD,BC,∵四边形ABDC内接于⊙O,∴∠PAD=∠PCB,∠PDA=∠PBC,∴△PAD∽△PCB,∴,∴PA•PB=PC•PD;(2)解:连接OD,作OE⊥DC,垂足为E,∵PA=454,AB=19∴PB=16,PC=2DC+2∵PA•PB=PD•PC,∴454解得:DC=8或DC=﹣11(舍去)∴DE=4,∵OD=5,∴OE=3,即点O到PC的距离为3.3.【答案】(1)证明:连接AB,如图所示:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD,∵OD⊥AO,∴∠COD=90°,∴∠D+∠OCD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,∴∠OBD+∠ABC=90°,即∠ABO=90°,∵AB⊥OB,∵点B在圆O上,∴直线AB与⊙O相切(2)24.【答案】(1)解:∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴弧AD=弧BD,∴∠DEB=12∠AOC=1(2)解:∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴AC=BC,即AB=2AC,在Rt△AOC中,AC=OA则AB=2AC=8.5.【答案】(1)解:连接OC,∵PC是⊙O的切线,∴∠PCO=90°,设⊙O的半径长为r,在Rt△PCO中,PC=43,PO=12-r,CO=r,由勾股定理得:(4(2)解:∵DP是∠BPC的角平分线,∴∠CPB=2∠BPD,∵OC=OB,∴∠COP=2∠OBC=2∠OCB,在△PCB中,∠CPB+∠B+PCB=180°,∵∠PCO=90°,∴∠CPO+∠COP=45°,∴∠DPB+∠B=45°,∴∠CDP=∠DPB+∠B=45°.6.【答案】(1)解:∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=60°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∠BAC=180°-90°-60°=30°;(2)解:连接OC,∵OB=OC,∠ABC=60°,∴△OBC是等边三角形.∴OC=BC=4,∠BOC=60°.∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长为120π×47.【答案】(1)解:连接OC,∵BD⊥AB,∴∠ABD=90°,∵OA=OC,∴∠A=∠1,∵AO=OB,E为BD的中点,∴OE∥AD,∴∠1=∠3,∠A=∠2,∴∠2=∠3,在△COE与△BOE中,OC=OB∠2=∠3∴△COE≌△BOE,∴∠OCE=∠ABD=90°,∴CE是⊙O的切线(2)解:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB⊥BD,∴∠ABD=∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∠ABC+∠CBD=90°∴∠A=∠CBD,∴△ABC∽△BDC,∴BCAC∴BC2=AC•CD,∵AC=3CD,∴BC2=13AC2∴在Rt△ABC中,tanA=BCAC∴∠A=30°8.【答案】(1)证明:连接CD∵BC为⊙O的直径,∴∠BDC=90°∴CD⊥AB又∵BC=AC∴∠1=∠2∵OD=OC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OD//AC∴∠ODE=∠AED∵DE⊥AC∴∠AED=90°∴∠ODE=90°∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切(2)解:过O作ON⊥CF于N,可得四边形ODEN是矩形,∴EN=OD=R=4,ON=DE又∵AE=2,AC=CB=4+4=8,∴CN=AC−AE−EN=AC−AE−OD=2,在Rt△ONC中,ON=∴ON=23∴DE=29.【答案】(1)证明:∵弧AC=弧AC,∴∠ABC=∠ADC,∵∠AFB=∠ABC,∴∠ADC=∠AFB,∴CD∥BF,∵CD⊥AB,∴AB⊥BF,∵AB是圆的直径,∴直线BF是⊙O的切线(2)解:设⊙O的半径为r,连接OD.如图所示:∵AB⊥BF,CD=25,∴PD=PC=12CD=5∵BP=1,∴OP=r﹣1在Rt△OPD中,由勾股定理得:r2=(r﹣1)2+(5)2解得:r=3.即⊙O的半径为3.10.【答案】(1)解:连接AO并延长,交BC于点E,交BC于点F。∵AB=AC,∴AB=AC∵AF为⊙O的直径,∴BF=CF∴∠BAF=∠CAF∴AE⊥BC(2)解:Rt△AOD中,OA=6,sin∠D=35∴AODO=311.【答案】(1)解:抛物线的解析式为y=ax2+c,又∵抛物线经过点C(0,8)和点B(16,0),∴0=256a+8,a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+8(﹣16≤x≤16)(2)解:设弧AB所在的圆心为O,C为弧AB的中点,CD⊥AB于D,延长CD经过O点,设⊙O的半径为R,在Rt△OBD中,OB2=OD2+DB2∴R2=(R﹣8)2+162,解得R=20(3)解:①在抛物线型中设点F(x,y)在抛物线上,x=OE=16﹣4=12,EF=y=3.5米;②在圆弧型中设点F′在弧AB上,作F′E′⊥AB于E′,OH⊥F′E′于H,则OH=DE′=16﹣4=12,OF′=R=20,在Rt△OHF′中,HF′=,∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12,E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4(米)∴在离桥的一端4米处,抛物线型桥墩高3.5米;圆弧型桥墩高4米.12.【答案】(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠BAE,∴∠OAC=∠CAE,∴∠OCA=∠CAE,∴OC∥AE,∴∠OCD=∠E,∵AE⊥DE,∴∠E=90°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∵点C在圆O上,OC为圆O的半径,∴CD是圆O的切线(2)解:在Rt△AED中,∵∠D=30°,AE=6,∴AD=2AE=12,在Rt△OCD中,∵∠D=30°,∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,∴DB=OB=OC=13∴CD=DO2−OC2∴S△OCD=OC⋅OC2=43×4∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠DOC=60°,∴S扇形OBC=16×π×OC2=8π∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=83﹣8π3∴阴影部分的面积为83﹣8π313.【答案】(1)证明:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠FBC=∠BDC,∠BDC=∠BAC,∴∠FBC+∠CBA=90°,即:∠FBA=90°.∴FB⊥OA,∴BF与⊙O相切(2)解:连接AD.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°.∴∠BAD=∠ABD=∠ACD=45°.∴∠ADC=90°.在Rt△ABD中,AB=BD在Rt△ABC中,AC∴AC=14.【答案】(1)解:连接OC,如图,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,又∠B=70°,∴∠BAC=20°,∵OD//BC,∴∠AOD=∠B=70°,又OD=OA,∴∠OAD=55°,∴∠DAC=35°,∴∠DOC=2∠DAC=70°,∴CD的度数是70°;(2)解:∵OD//BC,∴∠OEA=∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴AE=CE=1设半径为r,则OE=r−8,在RtΔAOE中,(r−8)2+12即半圆O的半径为13.15.【答案】(1)解:DB=DA.理由:∵CD是△ABC的外角平分线,∴∠MCD=∠ACD,∵∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,∴∠MCD=∠BAD,∴∠ACD=∠BAD,∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=∠BAD,∴DB=DA;(2)证明:∵DB=DA,∴=,∵=,∴AF=BC,=,∴CD=FD,在△BCD和△AFD中,,∴△BCD≌△AFD(SSS);(3)解:连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,∵DB=DA,∴=,∴DN⊥AB,∵∠ACM=120°,∴∠ABD=∠ACD=60°,∵DB=DA,∴△ABD是等边三角形,∴∠OBA=30°,∴ON=12OB=1∴DN=ON+OD=7.5
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