2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 圆的综合题

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--圆的综合题一、综合题1．如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC=DC，∠CBD=39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC=BC=DC，求证：∠1=∠2．2．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=454，AB=193．如图，在ΔABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB=5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝4．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D.点E在⊙O上.（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长.5．如图，P是⊙O外一点，PC为切线，割线PAB经过圆心O．（1）若PB=12,PC=43，求⊙O（2）作∠BPC的角平分线交BC于D，求∠CDP的度数．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，求∠A的大小.8．如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，与边AB相交于点F，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD.（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AE=2，⊙O的半径R=4，求DE的长.9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝25，BP＝1，求⊙O的半径.10．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D。（1）求证：AD是⊙O的切线。（2）若⊙O的半径为6，sin∠D=3511．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．12．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E.点F为DC的延长线上一点，满足∠FBC=∠BDC.（1）求证：BF与⊙O相切；（2）若BD=6，BC=22，求AC14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E.（1）若∠B=70°，求弧CD的度数；（2）若AC=24，DE=8，求半圆O的半径.15．在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．16．如图，已知AB是⊙O的直径，点D为弦BC中点，过点C作⊙O切线，交OD延长线于点E，连结BE，OC.（1）求证：EC＝EB.（2）求证：BE是⊙O的切线.

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵BC=CD，∴BC=DC，∴∠BAC=∠DAC=∠CBD=39°，∴∠BAD=78°，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD=102°；（2）解：∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，又∠BAC=∠BDC，∴∠CBD=∠BAE，∴∠CEB=∠BAE+∠2，∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1，∴∠1=∠2．2．【答案】（1）解：连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴PA•PB=PC•PD；（2）解：连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=454，AB=19∴PB=16，PC=2DC+2∵PA•PB=PD•PC，∴454解得：DC=8或DC=﹣11（舍去）∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．3．【答案】（1）证明：连接AB，如图所示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB=∠OCD，∴∠ABC=∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD=90°，∴∠D+∠OCD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠D，∴∠OBD+∠ABC=90°，即∠ABO=90°，∵AB⊥OB，∵点B在圆O上，∴直线AB与⊙O相切（2）24．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝12∠AOC＝1（2）解：∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝OA则AB＝2AC＝8.5．【答案】（1）解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，设⊙O的半径长为r，在Rt△PCO中，PC=43，PO=12-r，CO=r，由勾股定理得：(4（2）解：∵DP是∠BPC的角平分线，∴∠CPB=2∠BPD，∵OC=OB，∴∠COP=2∠OBC=2∠OCB，在△PCB中，∠CPB+∠B+PCB=180°，∵∠PCO=90°，∴∠CPO+∠COP=45°，∴∠DPB+∠B=45°，∴∠CDP=∠DPB+∠B=45°．6．【答案】（1）解：∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=60°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∠BAC=180°-90°-60°=30°；（2）解：连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形．∴OC=BC=4，∠BOC=60°．∴∠AOC=120°．∴劣弧AC的长为120π×47．【答案】（1）解：连接OC，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∵AO＝OB，E为BD的中点，∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3，在△COE与△BOE中，OC=OB∠2=∠3∴△COE≌△BOE，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBD=90°∴∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BDC，∴BCAC∴BC2＝AC•CD，∵AC＝3CD，∴BC2＝13AC2∴在Rt△ABC中，tanA＝BCAC∴∠A＝30°8．【答案】（1）证明：连接CD∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°∴CD⊥AB又∵BC=AC∴∠1=∠2∵OD=OC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OD//AC∴∠ODE=∠AED∵DE⊥AC∴∠AED=90°∴∠ODE=90°∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）解：过O作ON⊥CF于N，可得四边形ODEN是矩形，∴EN=OD=R=4，ON=DE又∵AE=2，AC=CB=4+4=8，∴CN=AC−AE−EN=AC−AE−OD=2，在Rt△ONC中，ON=∴ON=23∴DE=29．【答案】（1）证明：∵弧AC＝弧AC，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠AFB＝∠ABC，∴∠ADC＝∠AFB，∴CD∥BF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∵AB是圆的直径，∴直线BF是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD.如图所示：∵AB⊥BF，CD＝25，∴PD＝PC＝12CD＝5∵BP＝1，∴OP＝r﹣1在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+（5）2解得：r＝3.即⊙O的半径为3.10．【答案】（1）解：连接AO并延长，交BC于点E，交BC于点F。∵AB=AC，∴AB=AC∵AF为⊙O的直径，∴BF=CF∴∠BAF=∠CAF∴AE⊥BC（2）解：Rt△AOD中，OA=6，sin∠D=35∴AODO=311．【答案】（1）解：抛物线的解析式为y=ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），∴0=256a+8，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+8（﹣16≤x≤16）（2）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2∴R2=（R﹣8）2+162，解得R=20（3）解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16﹣4=12，EF=y=3.5米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH=DE′=16﹣4=12，OF′=R=20，在Rt△OHF′中，HF′=，∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4（米）∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米；圆弧型桥墩高4米．12．【答案】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线（2）解：在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13∴CD=DO2−OC2∴S△OCD=OC⋅OC2=43×4∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=8π∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=83﹣8π3∴阴影部分的面积为83﹣8π313．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠FBC=∠BDC，∠BDC=∠BAC，∴∠FBC+∠CBA=90°，即：∠FBA=90°.∴FB⊥OA，∴BF与⊙O相切（2）解：连接AD.

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°.∴∠BAD=∠ABD=∠ACD=45°.∴∠ADC=90°.在Rt△ABD中，AB=BD在Rt△ABC中，AC∴AC=14．【答案】（1）解：连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∠B=70°，∴∠BAC=20°，∵OD//BC，∴∠AOD=∠B=70°，又OD=OA，∴∠OAD=55°，∴∠DAC=35°，∴∠DOC=2∠DAC=70°，∴CD的度数是70°；（2）解：∵OD//BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，∴OE⊥AC，∴AE=CE=1设半径为r，则OE=r−8，在RtΔAOE中，(r−8)2+12即半圆O的半径为13.15．【答案】（1）解：DB=DA．理由：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，∴∠MCD=∠BAD，∴∠ACD=∠BAD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAD，∴DB=DA；（2）证明：∵DB=DA，∴=，∵=，∴AF=BC，=，∴CD=FD，在△BCD和△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（SSS）；（3）解：连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，∵DB=DA，∴=，∴DN⊥AB，∵∠ACM=120°，∴∠ABD=∠ACD=60°，∵DB=DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠OBA=30°，∴ON=12OB=1∴DN=ON+OD=7.5