2023学年福建福州市第一高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

4]7

1.设函数/(x)=2cos2x+2Gsinxcosx+加，当xe0,—时，/(x)e—,则机=()

2.已知集合4=卜|f,,1},8=卜|3，<1},则AU（43）=（)

A.{x|x<0}B.{x|噫1}C.{x|-L,x<0}D.{x|x.-1}

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A』用空B/6肉与C,盛产

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是（）

侧视图

帕视图

A.8cm2B.\2cnrC.+2)cMD.卜方+4卜加2

5.设M,N是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a_L/?,〃?ua,〃u/?,则〃

B.若a〃尸，机ua,nug,则〃

C.若mua,〃<=/?,则aJ■?

D.若〃?_La,mlIn,nil(3,则a_LA

6.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上

的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A.2717B.2y[5C.3D.2

xlnx-2x,x>0

7.已知函数/（x）=23的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=-l对称的点在g（x）=依-1的图像

x+-x,x<0

上，则Z的取值范围是（）

A.（；,：）B.（g,京C.（1,1）D.g,l）

8.设加，〃是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若加//〃，mV/3,则〃，分；

②若血/a,mll/3,则a〃尸；③若〃?_La,nila,则〃④若血/a,m±]3,则a_L,；其中真命题的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

x2y2

9.已知点P在椭圆T：=15》>0）上，点尸在第一象限，点P关于原点。的对称点为A,点尸关于X轴的对

—■3―-

称点为。，设。。=严，直线皿与椭圆,的另一个交点为5,若皿.则椭圆,的离心率"（）

1B./D,昱

A.-L「x•-7-3-

2223

10.设集合A={x|%2—x—2>o},B={^log2x<2},则集合(。4加8=

A.-1<x<2}B.{乂0vx<2}C.{x[0<x<4}D.|x|—l<x<41

___2_______1__

11.如图，在AABC中，AN=-NC,P是BN上一点，若福=f^+—蔗，则实数/的值为()

33

12.为计算5=1-2x2+3*22-4x23+...+100x(-2)",设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）

A.z<100B.z>l(X)c.iwiooD.z>10()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知f>0,记/（f）=£（l—C；2x+《4x2—。；8/+..._。：128》7+或256/）公，则/⑺的展开式中各项系数

和为__________

14.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为

15.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

16.已知点P是直线/上的一点，将直线/绕点P逆时针方向旋转角a0<a,所得直线方程是x-y-2=0,

jr

若将它继续旋转角，所得直线方程是2x+y-l=0,则直线/的方程是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在直角坐标系x。)，中，曲线。的参数方程为《.为参数，将曲线C经过伸缩变换.

y=sma[y,=2y

后得到曲线G•在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为夕cose+Qsind-5=0.

(1)说明曲线G是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程;

TT

(2)已知点M是曲线G上的任意一点，又直线，上有两点E和尸，且|比|=5,又点£的极角为彳，点尸的极角

为锐角.求：

①点尸的极角；

②面积的取值范围.

18.(12分)某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了5()名市民，他们月收入频数分布表

和对“楼市限购令”赞成人数如下表：

月收入(单位：百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数5C1055

频率0.1ab0.20.10.1

赞成人数4812521

(1)若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求。，b,c的值，并完成频率分布直方图.

频率冏1机

0.03

0.02

0.01

o15253545556575收入“i公

（2）若从收入（单位:百元）在[55,65）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X人赞成“楼

市限购令”，求X的分布列与数学期望.

（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表

格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果.

19.（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大

量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）.若用时不超过

40（分钟），则称这个工人为优秀员工.

（1）求这个样本数据的中位数和众数；

（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x分

布列和数学期望.

20.（12分）已知曲线G二+2=1，直线/：{c°a为参数）.

'4：9[y=2-2t,

（I）写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交/于点A,1PAi的最大值与最小值.

21.（12分）如图，已知正方形ABCO所在平面与梯形ABA/N所在平面垂直，BM//AN,NA=AB=2,

CN=2瓜

（1）证明：MN，平面BCN；

（2）求点N到平面的距离.

c

22.(10分)2019年是五四运动1()()周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100

年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组

织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道3类题，参赛者需从10

道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.

(1)求甲同学至少抽到2道6类题的概率；

23

(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是一，答对每道5类题的概率都是-，且各题答对与否相互独立.现已知甲同

35

学恰好抽中2道A类题和1道5类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由降幕公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值.

【详解】

/'(X)=2cos2x+2V3sinxcosx+m=1+cos2x+\/3sin2x+m-2sin(2x+—)+m+l,

6

xe0,—时，+[工,主],sin(2x+—)e[--,l],/.f(x)e[m,m+3],

2j66662

171

由题意[m,加+3]=[万,耳],.•.机=5.

故选：A.

【点睛】

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键.

2.D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的补集，然后求AU（43）

【详解】

A={X|-1M1},B={X|X<0},所以AU（MB）={X|X..L1}.

故选：D

【点睛】

此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

3.D

【解析】

结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.

【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆

锥的体积K=；XLX4TIX2G=生皆，下半部分的正三棱柱的体积力=gx4x2gx4=i6石，故该几何体的体积

丫=乂+匕=]463

故选:D.

【点睛】

本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

4.D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为亚口了=石，所以侧面积为

4x1x2x75=475.所以该几何体的表面积是（46+4）cm2.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

5.D

【解析】

试题分析：〃||尸,，a，尸，故选D.

考点：点线面的位置关系.

6.B

【解析】

首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分

之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

【详解】

根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

将圆柱的侧面展开图平铺，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,

所以所求的最短路径的长度为由事=2君，故选氏

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何

体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得

结果.

7.D

【解析】

根据对称关系可将问题转化为“X)与y=T有且仅有四个不同的交点；利用导数研究“X)的单调性从而得到

“X)的图象；由直线y=-履—1恒过定点A(o,-1),通过数形结合的方式可确定一2G(以C，心8)；利用过某一点曲

线切线斜率的求解方法可求得kAC和kAH,进而得到结果.

【详解】

g(x)="―1关于直线y=-1对称的直线方程为：y=-kx-l

.­.原题等价于/(x)与y=-辰-1有且仅有四个不同的交点

由丁=一辰—1可知，直线恒过点A(0,—1)

当x>0时，/,(x)=lnx+l-2=lnx-l

・・J(x)在(0,e)上单调递减；在(e,-8)上单调递增

由此可得“X)图象如下图所示：

其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为8,C

由图象可知，当一女砥B)时，/(“与〉=-乙-1有且仅有四个不同的交点

m\nm-2m+1

设C(m,mln/n-2zn),m>0,则心。：111加一1=解得：，篦=1

m-0

23,

2+|〃),,八ndo〃-1--〃+1

设川n,n〃<°,则3=2〃+———解得：〃

加2n-0

二.一女€(-1,-g),贝！

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能

够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

8.C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线加

平行于平面。与平面用的交线时也有机〃。，mllp,故②错误；若相，。，则加垂直平面

a内以及与平面a平行的所有直线，故③正确；若相〃a,则存在直线/ua且m/〃，因

为加_L£,所以/，力，从而故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

9.C

【解析】

设P&，x）,则。（加-yj,。（斗,一会）,设3（9,%），根据24,PB化简得到3/=4,2,得到

答案.

【详解】

设P（%，X）,则4（f,-y）,0（和一%）,PD^^PQ,则设B（私斗），

生+止=1

则“：鼠,两式相减得到：、+xJGf）=_（X+型,一乃）,

年yj_]«2b2

即白=»,A

kpB=J-/=-1M+马，kAD=kAB，k=

%一/a必+%4七X1+%2Xx,+x2

PALPB,故k"kpB=-l,即—4A=T，故3a2=4C?，Hle=—.

a22

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10.B

【解析】

先求出集合A和它的补集，然后求得集合3的解集，最后取它们的交集得出结果.

【详解】

对于集合A,（x—2）（x+l）>0,解得x<T或x>2,故CRA=[-1,2].对于集合'log?2=log?4,解得0<x”.

故（CRA）CB=（O,2].故选B.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0,然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.

11.c

【解析】

一2-----

由题意，可根据向量运算法则得到AP=5加AC+(l-/n)AB，从而由向量分解的唯一性得出关于，的方程，求出

f的值.

【详解】

由题意及图，AP-AB+BP-AB+mBN=AB+m(^AN-AB^-mAN+(1-m^AB,

又，AN=-NC,所以/.AP=-mAC+(1-m)而，

\-m=t

又而=，—A8+-1A—C,所以〈21,解得小=35，，=一1，

3-m=-66

153

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

12.A

【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.

【详解】

由程序框图的运行，可得：S=(),i=0

满足判断框内的条件，执行循环体，a=l,S=l,i=l

满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2

满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3

观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2)9%S=l+2x(-2)+3x(-2)2+...+lx(-2)",

i=l,此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是iVL

故选：A.

【点睛】

本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

根据定积分的计算，得到/。)=-±(1-2。9+工，令f=l,求得/(1)=:，即可得到答案.

1o1o9

【详解】

根据定积分的计算，可得

/-(/)=£(1-以2x+C-4x2一C；8d+..._c；128『+C；256f)〃=£(1—2x)8公=一£(1—2x)飞

=-—(l-2r)9+—,

1818

令/=1,则〃1)=—L(1—2X1)9+-L=L

')18189

即于3的展开式中各项系数和为3.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得/G)的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8

14.——

21

【解析】

试题分析：从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C：)=210种不同的结果，

由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”,

QAQ

则事件A包含了C；・•C；•c；C=80个基本事件，所以P(A)=孤号.

考点：1.计数原理；1.古典概型.

15.8+-

3

【解析】

根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积.

【详解】

根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：

结合图中数据，计算它的体积为V=Lx2x2x4+」x，万xFx2=8+工.

2323

故答案为：8+1.

【点睛】

本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题.

16.x—2y—3=0

【解析】

求出点P坐标，由于直线2x+y-l=0与直线/垂直，得出直线/的斜率为工，再由点斜式写出直线/的方程.

2

【详解】

2x+y—1=0/、

[x-y-2=017

7F

由于直线2x+y-1=0可看成直线I先绕点p逆时针方向旋转角a,再继续旋转一-。角得到，则直线2%+y-1=0

2

与直线/垂直，即直线/的斜率为L

2

所以直线/的方程为)，+l=；(x-l),即x-—3=0

故答案为：x-2y-3=0

【点睛】

本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

OSP)wp)

17.(1)曲线G为圆心在原点，半径为2的圆.G的极坐标方程为夕=2(2)①f②-5,——+5

【解析】

(1)求得曲线c伸缩变换后所得C的参数方程，消参后求得G的普通方程，判断出G对应的曲线，并将C的普通

方程转化为极坐标方程.

(2)

①将E的极角代入直线/的极坐标方程，由此求得点E的极径，判断出为等腰三角形，求得直线/的普通方程,

Jr37r

由此求得=—,进而求得/尸OE=—,从而求得点F的极角.

48

②解法一：利用曲线G的参数方程，求得曲线G上的点M到直线/的距离d的表达式，结合三角函数的知识求得d的

最小值和最大值，由此求得血加面积的取值范围.

解法二：根据曲线G表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆G上的点到直线/的距离的最大值和最小值，进而求得

AE"/面积的取值范围.

【详解】

x=2cosa

(1)因为曲线C的参数方程为,'(。为参数)，

y=sma

x,=x,]xi=2cosa,

因为。则曲线G的参数方程。.

y[=2y=2sma

所以G的普通方程为％；+4=4.所以曲线c,为圆心在原点，半径为2的圆.

所以G的极坐标方程为22=4,即0=2.

7T

(2)①点E的极角为不，代入直线/的极坐标方程「cosO+Qsin。-5=0得点£

极径为2=5,且|所|=5,所以AEOE为等腰三角形，

又直线/的普通方程为x+y—5=0,

TT34

又点尸的极角为锐角，所以NFEO=—,所以NFOE=工，

48

,兀3兀7T

所以点Z7的极角为不——=~

288

②解法1：直线/的普通方程为x+y—5=0.

曲线G上的点M到直线/的距离

272sintz+—j-5

|2cos<z+2sin«-5|_I4)

夜一夜

7T

当sina+一=1,即a=2女乃+—QkeZ)时,

I44

..t-bytI2\/2—515\/2.

d取到最小值为'---T=--=----------2

V22

当sin[a+：]=-l,即a=2kzr-3一兀(ZeZ)时,

4

已用!=述+2

d取到最大值为

V22

-5咨5].

故AEMF面积的取值范围

4

解法2：直线/的普通方程为x+y-5=0.

因为圆G的半径为2,且圆心到直线/的距离d==W

因为述>2,所以圆G与直线/相离•

2

所以圆G上的点M到直线/的距离最大值为4+「=还+2,

2

最小值为1一「=迫一2.

2

【点睛】

本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直

线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼

考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

18.(1)a=0.21=0.3,c=10,频率分布直方图见解析；(2)分布列见解析，=(3)来自［65,75)的可能

性最大.

【解析】

(1)由频率和为1可知a+8=0.5,根据6=与求得。力，从而计算得到频数。，补全频率分布表后可画出频率分布

直方图;

(2)首先确定X的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据

数学期望的计算公式可求得期望；

(3)根据［65,75)中不赞成比例最大可知来自［65,75)的可能性最大.

【详解】

(1)由频率分布表得：0.1+。+匕+0.2+0.1+0.1=1,即a+Z?=0.5.

,.,收入在［35,45)的有15名，."=否=0.3,;.a=0.2,r.6,=0.2*50=10,

则频率分布直方图如下：

(2)•••收入在［55,65)中赞成人数为2,不赞成人数为3,

.•.X可能取值为0』,2,

C24C]C]3C21

则P(X=0)=T=2；p(x=l)=^^=±；P(X=2)=/=—,

\10\7C；5V7Cj10

X的分布列为:

X012

331

P

10510

3314

.,.石(X)=0x---l-lx—I-2x—=一

,)105105

(3)来自［65,75)的可能性更大.

【点睛】

本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的

随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.

4

19.(1)43,47；(2)分布列见解析，£(%)=-.

【解析】

(1)根据茎叶图即可得到中位数和众数；

(2)根据数据可得任取一名优秀员工的概率为:，故x〜写出分布列即可得解.

【详解】

(1)中位数为43,众数为47.

(2)被调查的4名工人中优秀员工的数量x=0,L2,3,4,

1(

任取一名优秀员工的概率为―，故x〜64,工，

尸(1=左)=域(「11一；『，左=0,1,2,3,4,

x的分布列如下：

X01234

16322481

P

818?818?81

1x32+2x24+3x8+4x1

故£(》)=4

813

【点睛】

此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若

能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.

x-2cos0,99X/S

20.(I)｛2x+y—6=0；(H)最大值为32,最小值为

y=3sin0,55

【解析】

xvx=2cos0,

试题分析：(I)由椭圆的标准方程设一=cos。,3=sin。，得椭圆的参数方程为｛1.〃，消去参数/即得直线的

22y=3sin6,

普通方程为2x+y-6=0；(H)关键是处理好与角30。的关系.过点。作与/垂直的直线，垂足为H,则在APHA

中，尸”=d=3尸山，故将1PAi的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点P(2cos。，3sin6)到定直线2x+y-6=0

的最大值与最小值问题处理.

x=2cos0

试题解析：(!)曲线C的参数方程为｛1sma(°为参数).直线/的普通方程为"+'一6=°.

(ID曲线C上任意一点P(2cos6,3sin。)到/的距离为d=@|4cose+3sin6-6|.贝!I

|PA|=—|5sin(^+a)-6|.其中a为锐角，且tana=g.

当sin(9+a)=T时，|PA|取到最大值，最大值为言叵.

当sin(6+a)=l时，|PA|取到最小值，最小值为乎.

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形.

21.(1)证明见解析(2)述

5

【解析】

(1)因为正方形ABC。所在平面与梯形A8M