空间几何体提升20题

专练01空间几何体专练提升20题

一、单选题

1.（2021・贵州毕节•模拟预测（文））如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出

的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.36B.24C.12D.6

2.（2021•全国•模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2y[5,E,F分别为AB,BC

的中点，AF与。E交于点O,则以直线AF为轴将AAOE旋转一周形成的几何体的体

积为（）

A.-B.--C.万D.27r

33

3.（2020.北京.模拟预测）一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱

的侧（左）视图的面积为（）

俯视图

A.8石B.16C.8&D.8

4.（2021・四川•成都七中一模（理））如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方

5.（2021•云南昆明•模拟预测（理））已知正四棱锥的底面边长为2,高为2,若存在点。

到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d,则"=（）

A6-1r>G-1r>/3-75n瓜-母

2222

6.（2021・云南昆明•模拟预测（文））已知正四棱锥的底面边长为2,高为2,若该正四

棱锥所有顶点都在同一个球的球面上，则球的表面积为（）

A.57tB.67tC.8兀D.9兀

7.（2021•四川雅安•模拟预测（文））已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，侧视

图和正视图相同，则该几何体的表面积为（）

试卷第2页，共6页

俯视图

A.80+44B.80+8%C.96+4万D.96+8%

8.（2021・四川泸州・模拟预测（理））己知三棱锥S-ABC的棱SAJ_底面ABC,若

SA=2,AB=AC=BC=3f则其外接球的表面积为（）

32%

A.47rB.84C.---D.16万

3

9.（2021•全国♦模拟预测）木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，

其形状可视为一个圆台.若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为15cm,8cm,母线

长为25cm,木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（）

A.16367icm3B.231Zncm3

C.27927tcm3D.32727tcm'

10.（2021•四川•成都七中一模（理））在正三棱柱ABC-A4G中，43=想=1,点户满

^BP=ABC+pBBr其中则下列说法正确的个数是（）

①当2=1时，△AB/的周长为定值

②当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

③当/=；时，有且仅有一个点尸，使得4尸18尸

④当〃=g时，有且仅有一个点尸，使得A8_L平面48f

A.1B.2C.3D.4

11.（2021•辽宁•模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式

建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其

轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m,顶角为等的等腰三角形，则该屋顶的

体积约为（）

A.6^rn3B.3石7rm'C.9\Z3^m3D.127rm'

12.（2021•广西柳州•一模（理））“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的

一种多面体.如图，网格纸上小正方形的边长为1.粗实线画出的是某“堑堵”的三视图.则

该“堑堵”的表面积等于（）

A.10+2mB.12+2如C.16+2713D.42

二、填空题

13.（2021•全国•模拟预测（文））词语“鳖膈”等出现自我国数学名著《九章算术•商功》,

把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膳”，如图，三棱锥A-88是一个鳖，其中

ABLCD,AB±BC,BC1CD,三棱锥A-3C£＞的接球的表面积为12,43=2,则三棱

锥A-BCD的体积的最大值为

14.（2021.陕西•西安中学模拟预测（理））如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的

母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点?出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点尸

处.若该小虫爬行的最短路程为4及，则圆锥底面圆的半径等于.

试卷第4页，共6页

p

15.（2021.湖北武汉.模拟预测）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底

面半径与高的比值为.

16.（2021・贵州毕节•模拟预测（文））已知三棱锥尸-ABC中，PC_L平面A8C,

ZPBC=45°,|PC|=|AC|=2,|AB|=2A/2,这个三棱锥的外接球的表面积为

17.（2021・上海虹口•一模）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，P为底面

A88内（包括边界）的动点，满足。声与直线CG所成角的大小为则线段OP扫

6

过的面积为.

18.（2021.黑龙江.哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））某三棱锥的三视图如图所示,

已知网格纸上小正方形的边长为1,该三棱锥所有表面中，最大的面积为.

19.（2021.江西高安.模拟预测）已知空间四边形ABC。中，AB=BD=AD=2,BC=\,

CD=y/3,若二面角A-8O-C的大小是120°,则该几何体的外接球表面积为.

20.（2021♦山东•泰安一中模拟预测）如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边

长为12dm的正方形铝板制作一个无底面的正〃棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正“边

形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，6dm为半径画圆，仿照我国古代数学家刘

徽的割圆术裁剪出，"份，再从中取〃份，并以。为正”（〃23）棱锥的顶点，且。落在底

面的射影为正"边形的几何中心侧面等腰三角形的顶角为

v

ZA,OA2=a,当COS/AQ&=2cosa-l时，设正棱锥的体积为Vdn?,则一的最大值

试卷笫6页，共6页

参考答案

1.C

【分析】

可以在长方体内还原出该几何体的直观图，然后用三棱锥的体积计算方法计算即可.

【详解】

如图中三棱锥P-ABC为该几何体的直观图，

【分析】

先由题意得出AF10E，tan/BA尸=：,再结合AB=2不得到AO=2,EO=\,根据图形

的旋转得到旋转后的儿何体是一个底面半径为1.高为2的圆锥，最后利用圆锥的体积公式计

算即可.

【详解】

四边形A88是正方形，分别是AB,8c的中点，所以ZX4DE£产，

7T

所以N必E+NOE4、，AFLDE，

tanZBAF=p因为43=2石，所以AO=2,EO=\,以直线AF为轴将△AOE旋转一周

1o

形成的几何体是一个底面半径为1,高为2的圆锥，其体积为§1x12x2=：乃.

故选：B.

3.A

【分析】

求出正三棱柱底面边上的高，然后求解侧视图的面积.

答案第1页，共13页

【详解】

由题意可知，底面三角形是边长为4正三角形

所以边上的高为：2百，

所以侧视图的面积为：S=4x26=86.

故选：A.

4.B

【分析】

结合左视图的概念即可得出结果.

【详解】

结合左视图的概念即可得B选项符合.

故选：B.

5.A

【分析】

nrn'F

作出四棱锥,根据题意53而=访，解方程即可求解・

【详解】

OE11

由题意可得sma=^=声评⑻

故选：A

6.D

【分析】

答案第2页，共13页

作正四棱柱P—ABC。，。为底面中心，则外接球球心在高0P上，设球心为E,在R3E0C

内，根据勾股定理得外接球半径.

【详解】

如图，作正四棱柱P一A8CC,连结AC,BD,交于点。，连结尸0,

则尸O，平面ABCD,则|OP|=2,\OA\=\OB\=\OC\=|OD|=1|AC|=1>/22+22=-Jl,

根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高。尸上，设为E,连接EC,则球的半径r=|EP|=

\EC\,\EO\=2~r,

则在RSE0C内，根据勾股定理得，|0丁+忸。|2=|欣:|2=2+(2-)2=八=一|,

7.C

【分析】

由三视图知，该几何体是由半个半径为2的球体和棱长为4的正方体组合而成的，从而可求

出该几何体的表面积.

【详解】

解：由三视图知，该几何体是由半个半径为2的球体和棱长为4的正方体组合而成的，

该几何体表面积为5表=5正方体+gs球-S大国=42x6+gx4x%x22-TTX22=96+4万.

故选：C.

答案第3页，共13页

8.D

【分析】

求得外接球的半径，由此求得外接球的表面积.

【详解】

?3_/T

等边三角形ABC的外接圆直径一7一,，

sin—

3

设外接球的半径为/?，

则尸=户+(•=3+1=4,

所以外接球的表面积为4万川=16万.

故选：D

9.D

【分析】

利用圆台的体积公式求解即可

【详解】

由题意可知，圆台形木桶的高为,2木-(15-8『=24Gm),

所以该木桶的容积为卜兀'24X(152+82+15X8)=3272兀(皿3),

故选：D.

10.B

【分析】

判断当4=1时，点夕在线段CG上，分别计算点。为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；

当〃=1时，点P在线段gG上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；

答案第4页，共13页

当4时，取线段BC,瓦G的中点分别为M,必，连结MW，则点P在线段MM上,

分别取点P在M处，得到均满足AP1BP,即可判断选项C；当〃=g时，取CG的

中点2,B片的中点。，则点尸在线的上，证明当点尸在点。处时，AB，平面AB。一

利用过定点A与定直线\B垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D.

【详解】

解：对于A,当4=1时，BP=ABC+pBBl>即C〉=M瓯，所以&7/瓯,

故点P在线段CG上，此时△AB|P的周长为A8,+B/+AP,

当点尸为CC的中点时，△ABF的周长为君+近，

当点P在点G处时，△AB/的周长为2夜+1，

故周长不为定值，故选项A错误：

.411=^--------------------71G

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB]>W^p=ABC'所以B；P//B3,

故点P在线段BC上，

因为B©〃平面ABC,

所以直线4a上的点到平面48c的距离相等，

又XABC的面积为定值，

所以三棱锥P-ABC的体积为定值，故选项B正确；

答案第5页，共13页

对于C,当/=5时，取线段BC,BC的中点分别为M,M，连结MM，

因为晶=（庭+〃瓯，即命=〃丽，所以通〃威,

则点P在线段MM上，

当点p在M处时，AM，BC，AW,±B,8,

又B,C，nB,B=B,,所以AM_L平面BBCC，

又BMu平面88℃，所以即AP1BP,

同理，当点尸在M处，A,P1BP,故选项C错误；

对于D,当〃=g时，取C&的中点R,8用的中点。，

因为命"注+g的，即防=/病，所以前〃/，

则点P在线的。。上，

当点P在点R处时，取AC的中点E,连结4E,BE,

因为8E1平面ACCIA，又ARu平面4CGA，所以ADJBE,

答案第6页，共13页

在正方形4CGA中，

又BEn4E=E,BE,AEu平面ABE,

故AR_L平面ABE,又ABu平面ABE,所以AB1AR,

在正方体形ABAA中，\B1AB-

又=4,AR,平面ABQ,所以平面ABQ,

因为过定点A与定直线\B垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点尸，使得AB，平面A耳尸，故选项D正确.

故选：B.

11.B

【分析】

根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】

依题意，该圆形攒尖的底面圆半径r=3,高〃=rtanB=G,则V=?+〃=3石乃（）,

所以该屋顶的体积约为34rm3.

故选：B

12.C

【分析】

根据三视图得出原几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，由三视图求出其棱长再计算其表

面积即可求解.

答案第7页，共13页

【详解】

由三视图可知：原几何体是一个直三棱柱，如图直三棱柱

且A5=3,AC=2,AA=2,且A8_LAC,

所以上、下底面面积为:x3x2=3,

22

S,叫A="2=6,S.CGA=2x2=4,SHCC^-2x-s/2+3=2-713,

所以该“堑堵”的表面积等于3+3+6+4+2万=16+29，

故选：C.

【分析】

先求出三棱锥A-38的外接球的半径为R=g.再证明AO为三棱锥A-8CZ)的外接球的

直径，由题意得到BC2+CD2=8,利用基本不等式得到BCCD„4,即可求出三棱锥A-BCD

的体积的最大值.

【详解】

由题意，三棱锥A-38的外接球的表面积为127，即4万代=12%，则三棱锥4-3CO的外

接球的半径为R=6.

因为43,8,431.3。,8。08=。,所以他，面80),所以ABJLBD.

同理可证：AC±CD.

所以AO为三棱锥A-BCD的外接球的直径.所以AD=，

\'AB=2,A£)=\lAB2+BC2+CD2=2&.BC2+CD2=8

vBC2+CD2J^2.BC-CD,BC-CD4,当且仅当BC=C£)=2时等号成立，

答案第8页，共13页

114

所以三棱锥A-3C。的体积的最大值为彳x彳x8CxCDxAB=-

323

故答案为：!4

14.1

【分析】

根据小虫爬行的最短路程求得圆锥侧面展开图的圆心角，由此计算出圆锥底面圆的半径.

【详解】

画出图象如下图所示，依题意：小虫爬行的最短路程为AB=4&,

rr

母线长。4=。3=4,所以042+0)=432,所以44。3=彳，

2

TT

所以AB=-x4=2].

2

设圆锥底面圆的半径为，则2而=2乃/=1.

故答案为：1

15.1

【分析】

设圆柱底面半径为广，高为人，求出底面积的侧面积，即可得结论.

【详解】

设圆柱底面半径为「，高为//,

答案第9页，共13页

由题意2w?=2万仍，所以r=/?,即丁=1.

h

故答案为：1.

16.127t

【分析】

根据几何关系，可将该三棱锥放到正方体内部求解.

【详解】

；PC_L平面ABC,AC,8Cu平面ABC,：.PC1AC,PC1BC,

♦.•NPBC=45°,.♦.△PC8是等腰直角三角形，.••IBCIMZ,

,C/+忸C/=22+2?=8=|A8『，：.AC±BC,

：.AC,BC、PC三条直线两两垂直，且长度均为2,

可将三棱锥P-ABC放到一个棱为2的正方形内部，如图所示:

...三棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球球心为正方体的中心，直径为正方体的体对角

线PD.

设外接球半径为R,则(27?)2=22><3=>4川=12=>$=4%片=12乃.

故答案为：12兀.

【分析】

根据题设描述易知P的轨迹是以。为圆心，且为半径的四分之一圆，即可求扫过的面

3

答案第10页，共13页

积.

【详解】

由题设，DD,HCC\,要使与直线CG所成角的大小为只需RP与直线0A所成角的

6

大小为£,

6

.••AP绕。■以3夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：P的轨迹是以。为圆心，虫■为半

63

径的四分之一圆，

，OP在A8CO上扫过的面积为Lx（且）2、万=£.

4312

故答案为：

18.2x/3

【分析】

由三视图还原几何体为三棱锥A-8CD,根据三视图计算各个侧面积，进而比较大小，即可

知最大表面积.

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A-8CD.

如图所示：

答案第11页，共13页

A

由于：SOCD=]X2x2=2,S&ACD=S4ABe=3*2x26=2叵,

S»=gx2应小西=⑼=2百，

故答案为：28.

!9.经##

9

【分析】

取BO的中点E,连接AE,G为正三角形丽的中心，作£W，£»C垂足为//,即可得到

ZAEH为二面角A-8O-C的平面角,过点E和点G作平面6C3和平面AM的垂线交于点

0,即可得到。为三棱锥的外接球的球心，即可求出。E,再在放AOBE利用勾股定理求出

外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得；

【详解】

解：取30的中点E,连接AE,G为正三角形的)的中心，作EH_LZ)C垂足为则Z4EH

为二面角A-BD-C的平面角，所以NAEH=120。,分别过点E和点G作平面BCD和平面

42的垂线交于点0,则。为三棱锥的外接球的球心，所以NGEO=30。，由于

GE——AE———>cosZ.GEO=----,所以OE=—,在7?/AOBE中，

33OE3

OB2=BE2+O£2=l2+f-Y=—,即六=与，所以S=4乃川=空.

⑶99-"9

故答案_为：罟52乃

答案第12页，共13页

O

A

D

AH

E

B

C

20.9&

【分析】

设A«=b,首先求得匕V的表达式，结合二次函数的性