中考数学深度复习讲义图形的相似无忧资源

中考数学深度复义——图形的相掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的A”“X用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意 ，对应 四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫 b，b，c成比例，即a：b=b：c，则称b是a和c的 相等的两个三角形相似 相似三角形对应边 ，对应 等 ABPAPPB

0.618…… 的相似叫位似．作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直．条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B条件：AB∥DE CD是斜边AB上的 5（1）6（1）比例相等（2）相似比（3）7．8．相交于一点例1（，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线与边AC或BC相交于E．点 段AP上，点 段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12AB2AB2

502∵S=1ABCP=1ACBC,∴CP=ACBC=4030502 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=12 ∴

12∴CM=13CP=1324

由△APE∽△ACBPEAPPEx，∴PE=3x Rt△MPE，∵sin∠EMP=12PE12．∴EM13PE133x13x ME2ME2x x

5

∴y=21x50△AME∽△ENB，AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNBAP=x，由（2）EM13x，AM=xPM x5x11x，NB=21x50 13

∴

x

解得x1=22，x2=0（舍去）．根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴ACEP12．∴CE=5AC50 AP=xBE5(50x，∴CE=305(50x．∴305(50x50 x=42AP=42．∴AP225．其中正确的结论是（。A．①③B．③C．①D．①②解析∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，△ABC≌△CDA（全等是相似的特例 ∴①是错的

，∴②EF：ED=1：2 答案共底三角形的面积之比等于高之比拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有 A．2对 B．3对 C．4对 答案C例3如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个角形列出从这四个角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概解析（1）其中有两组（①③，②④）1P=3 ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB． 在△DABC与△CBA中， A构成．点B，C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E，F，BC长为8米，求EF的长．

=

=4 4

，∴△AEF∽△ABC，

（米3AOA14米到B解析∵∠MAC=∠MOP=90°， 即20

8

同理，由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5，所以的身影变短了3.5米5ABCDAB=4，AD=10PAD（点PA，DCABE．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．解析（1）在Rt△PCD中，由 ，得

4

33

3 3 3AP3

- 4

∴10

=2，解得 在路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ 路路 光路2.（，9，4分）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD3边上．若P到BD的距离为2，则点P的个数为 【答案】 东莞，31,3分）将图3中的箭头缩小到原来的1，得到的图形是 2（浙江省，6，3分）如图4，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ A. D. 图 图 图 D. 3333A、 B、 C、 D、 3333 EC＝32。若A＝50，则图中1、2、3、4

B．2＝

C．1＞

D．2＝

【答案】 9（1OA′B′C′OABCOOA′B′COABC4 ）【答案】A（3，2） B（－2，－3） C2，3） D3，2图 图（，7，3分）下列命题中，正确的是 （20118，4）11(1)、(2)(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是 A.都相 3A．1 B．1 C．3 D1 3（山东泰安，153）13FABCDCDBFADE，则下列结ED

DE

BC

BFA.

B.

D.

【答案】EA

BC

DE

BE△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有 ）个A. C. 图 图 图 图④四个三角形．若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ) AC＝4，CE＝6，BD＝3，BF＝7B．7.5C．8D．8.5【答案】B18（湖南永州，12，3）下列说法正确的是（）A．等腰梯形的对角线互相平分．B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．【答案】B′a，B（12

1DCEDCEGF

12

12

B．1 【答案】F，ADPCG， B．2对 C．3对 D．4对 已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 图 图 图 3 3 4（江西，25，10分）某数学小组开展了一次活动，过程如下设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把 依次摆放在两射线AB，AC之间，并使 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放，使与在两端点处互相垂直，A1A2为第1根（1）能无限摆下去吗？答 （2）① ②若记A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的依次向右摆放，其中A1A2为第1根，且A1A2= ，则1 ，2 ，3 （用含的式子表示若摆放4 ，求的范围（1） 22②方法一 ∵AA1=A1A2=A2A3=1， 2222∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=22

2222

22方法二 ∵AA1=A1A2=A2A3=1， 222 ,又2 22n 2，∴a3=222n

a

+1)n-

(3)12，23，3

6

，∴15°＜12

A、E，ABF（FCAB，AF、EFEF交弧DEG，AG，试猜想∠EAG1（1）2

＝1212(12512

52∴AE

52

（1△ABC＝90°，固定△ABC，将△EFDADFABDE、DF（或它们的延长线）BC（或它的延长线）G、H（2）. CG＝x，BH＝yyx（2问：当x△AGH 1

y9 92

BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC， 又1此时，△AGH2

BC时，GBC，HC，△AGH9此时21

2，即x= 22

BC时，由（1）可知 9 2

2时，△AGH从这纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在(1)AMHG

（2（1 又 ∴

AMHG （2）由（1）AMHGHE=x，HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30- 30

，解得，x=12， 所以矩形EFGH的周长为（，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线与边AC或BC相交于E．点 段AP上，点 段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12若△AME∽△ENB（△AMEA、M、E△ENBE、N、BAP图 图 备用AB2AB2

502∵S=1ABCP=1ACBC ∴CP=ACBC=4030502 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=12 ∴CP12 ∴CM=13CP=1324 由△APE∽△ACBPEAPPEx，∴PE=3x Rt△MPE，∵sin∠EMP=12

12

ME2ME2x x

PE

x

∵AP+PN+NB=50，∴x+5x+y ∴y=21x50(0<x< △AME∽△ENB，AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNB AP=x，由（2）EM=13x，AM=xPMx5x11x，NB=21x5013

∴

x 即 根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴ACEP12．∴CE=5AC50AP=x，BE5(50x CE=305(50x)．∴305(50x)=50．解得x=42．即 (1)若BD是AC的中线，如图2，求的值 (2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值 (3)结合（1（2)，

的值的取值范围（直接写出结论，不必证明

3求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由 EDEDDEDDED

【答案】(1AD=x,AB=2x,BD=5x,∵△ABD∽△CDE,BD

2,可得 BD

所以=CE（2）AD=xDC=2x，AB=2x+x 2 2BD=（4+22）x²

（1）DEPDPPE 如图，在N 同理在△ACQ，EP/CQ＝AP/AQ．∴DP/BQ＝E 29（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG由（1）得 （河北，20，8）106×81，点O△ABC以O△A′B′C′和△ABC1︰ABABCABC2（2）四边形AA′C′C2一、选择题1（模拟26）在比例尺到的距离是15㎝，这两地的实际距离 A．0.9 B.9 C.90D.900答案333时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的比第一次长( 3333 3

3

A 2 3 4 53（延长线于点E，则CE的长为

BC D 64（

；其中正确的有 A、3 B、2 C、1 答案5.（芜湖2011模拟）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 A．9B．12C．15 6.（市三模）为了弘扬精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雕像，向全体师生征集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雕像的方案，其中雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：错误！未找到源。≈1.414，错误！未找到源。1.732，错误！未找到源。≈2.236)是（A.0.62mB.0.76mC.1.24mD.1.62m ）答案 8（1）如图，AB//CD，AE//FD，AE、FDBCG、H，则图中共有相似三角形（A.4B.5C.6对D.7答案8 9 A．平 B．旋 C．对 D．相 答案 。答案1（EF．AB＝AC＝6，BC＝8，B′，F，C△ABCBF答案72 模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2，AE3，BD4，则AC ．答A 2 3

（第4题 5 为CD，AB//CD,AB2,CD6m m。答案4（为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 答案75（34模已知三个边长分别为235的正三角形从左到右如图排列则图中阴影部分面积 3386（市中考模拟五）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较 33 ）2 与2 的比例中项 33答案8.（浙江杭州进化2011一模）已知a:b3:2，且ab10，则b= 1（模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。BF、FG、EF又GFBBFE,BFGEFB.BFFG BF2FGEFAAPPAC。△ABC∽△POA2若OB2OP7BC2EBE作EF⊥ABABF。BEAC解：(1)猜测BE和直线AC垂直 延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=3a33 4（3 3C（1） 以点O为圆心，OA长为半径作圆（2）证明 连结CPCPO∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BCO存在.∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°- Rt△ACDDC=ADsin30

33 33DDP1//OC，则△P1DB∽△COB,P1DBD 33331∵BO=BD+OD= ,∴PD=BD 33331 BO2CODDP⊥AB,则△BDPBCO,∴P2BO2CO

2∴PDBDOC 3

313

3 DP=BDsin30 3 2②当△BDP2∽△BCOP2DB=∠OCB=90°.Rt△BP2DDP2BDtan3015（

，其中AOB90O

置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点CABDBA重合，求点C的坐标；（2）B落在边

OCyyxy（3）B落在边BD∥OB，求此时点C

答案：解（1）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD 设点C的坐标为0，mm0则BCOB .于是ACBC4m.在Rt△AOC中由勾股定理得AC2OC2OA2 02即4m2

，解得m .点的坐标为B落在

B,则△BCD

.由题设OBx，OCyBCBCOBOC4y

BC2OC2OB2.4y2y2x21y1

B在边

上，有0x2

y

当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，y的取值范围为3≤ 2B落在OABBD∥OB.则OCBCBD又CBDCBD，OCBCBD，有CB∥BA.Rt△COB O

，得OC2OB.在

中，设OB

x0，则OC2x01由（2）的结论，得2x1

x845x

8450

6（P 的值 PD

4 （1）2

2

2（2）过CCE∥OABDE，AD=x，AO=OB=4x12

OD=2

PDAD 5

23 2

x，

DE

2 2则 BCBD＝AB，BDABEAD，DE与△BDE相似的三角形有 （答案（1）图如下，作出弧AD，作出BD的中垂线，连结AD，DE。△ADCABB8.已知abc0，a2b3bc2ca

c

的值（

a2b

3bc3

2c＝k，7

a2b5k3bc3k2ca7k 由①+③得

15k9 由②＋④，得4b=9k,∴b=k，分别代入①，④得，a=k

c

9k3 9（（D．（1）DBC（2）△BEC∽△ADC；又∵AB=AC，∴△ABC，∴DBC又

∵D是BC的中点，∴CD=1BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=1 即BC2 10.（芜湖2011模拟（本题满分12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABCDEF(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，FDEF7735答案:解：(1)△ABC△DEF5

AB25，AC

252DE ，DF22，EF210252 ABACBC

(2)62△（10

ABG（1） （2）当点FBCFEF∥CDADEAB6cm，EF4cm，求CD（1） ∴CDF ∴△CDF∽△BGF（2）由（1）△CDF∽△BGFFBCBF∴△CDF ，∴ CDEF∥CD，AB∥CDEFAG∴CDBG2cm

2EF

（14OABCBC∥OA，∠AOC=90°，ABMOCD．E，AD、BD、BE 直角梯形OABCO为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（2）yax22ax3a(a0A．B．D，且B xPPPN⊥xN，使得△PAN△OADP（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB②∵△OAD∽△CDB

DCCB ∴

a∴a23

∵a

∴ayx22x ③存在，设P（x，－x2+2x+3） ∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x=－2，x ∴P（－2，－5， PFAC，DFBEG，且∠EDF=∠ABE．（1）△DEF∽△BDE；（1）∵AB=C，∴∠ABC∠ACB．∵∥BC，∴ABC+∠BDE=10°，∠ACB∠CED=180（2）由△DEF∽△BDEDBDE．DE2DBEF．由△DEF∽△BDE，得 ∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴DGDE．∴DE2DGDF．∴DGDFDBEF （列要求画一个格点三角形与ABC相似，并填空：在图甲中画ABC，使得ABC的周长是ABC的周长的2A1B111

11 （2）在图乙中画ABC，使得AB

的面积是ABC的面积的2A2B222A

22

图 图2（1）（2）215（AEED，DF1DCEFBC的延长线于点4△ABE∽△DEF4BGABCDAD

∵AE=ED,DF= ∴AE=ED=AB,DF=

∴△ABE

∴BEG

∴ABE∽

∴

∴BG

16（201AD，BCMN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，E，F． MEFNMEFN答案：⑴过C作CG⊥AB于 ∵AB=7,CD=1∴BG=7125252

2 ∵NF∥CG,∴BFN∽

BFNFNFx∴NF=4

∴y=4x（7-74

6⑶当4x=7-2x时，即x=21，MEFN为正方 此时正方形边长为421 正方形面积为 ，，15ABCD在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m和的身高都是1.6m，同一时刻站在点E处在坡面上，站在平地上，也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ，，15ABCD数关系式的图象大致是（）答案：A和4及x，那么x的值 A.只有1 C.有2个以上，但有 答案顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（ C．4 D．5 5.（年市朝阳区模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 A90AFBEF①△AED≌△AEF；②△ABE∽△③BEDCDE；④BE2DC2

点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（ C．4 D．5 答案 答案 cm.答案

552.（年浙江永嘉）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个角55 ．答案1.（2）（1） 答案：（1）圆锥 （2）表面积S= rlr212416 （3）BD由条件得，∠BAB′=120°，CBB′BD=32.（年长沙市中考模拟）在Rt△ABC中，ACB90，DABBD为直径的⊙OACE

BCF；BC6，AD4，求⊙OA（1） 切⊙O于E，OE A又 即BC⊥AC，OE OEDF。又OD

，ODEF （2）设⊙Or，由OEBC得△AOE∽△ABCAOOE

r4r，r2r120 r4，r3（舍。2r

πr23.（年教育联合体）PABCDBDCPADE，BAF．问： 理由：∵四边形ABCD菱形 证明 又猜想：PC2PE 理由 ∴APPE∴PA2PE ∴PA=PC∴PC2PE4.（年省模拟）如图，G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过（1）图中所有的相似三角形 AEA（1△AFHDCG,△DEA

EDAD

FG 4

5观察△ABCABC解:（1）(2)如△ABC∽△

6.（年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（ABBCBCAC蛋糕的边缘均匀分布着巧克力 和决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都样（1）很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮在图1中画出这条“等分积周线，从（