完全平方公式

乘法公式第2课时一、内容和内容解析1．内容完全平方公式．2．内容解析完全平方公式是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，即两个数的和或差的平方，等于它们的平方和，加上或减去它们的积的2倍．完全平方公式的符号表示和语言表述解释了公式的结构特征．公式a±b2＝a2±2ab＋b2QUOTE中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．完全平方公式在代数中具有广泛的应用，它也是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础．完全平方公式是以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，通过一组特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，其过程体现了从特殊到一般的思想方法，具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能．为了进一步了解平方差公式，可以利用QUOTEa±b2＝a2±2ab＋b2的几何意义——面积，运用表示面积的方法解释完全平方公式，以便直观地把握公式，体会数形结合思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式．二、目标和目标解析1．目标1理解完全平方公式，能用公式进行计算．2经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展学生的符号意识和几何直观观念．2．目标解析达成目标1的标志：学生能够根据多项式乘法法则推导出完全平方公式，把握完全平方公式的基本结构与特征，会用符号表示，能用数学语言表述公式的内容，当字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确使用公式进行计算．达成目标2的标志：学生掌握完全平方公式的推导过程、几何解释，学生在公式的探索过程中，经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，从而提高自身的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的用公式的目的，培养学生观察、分析、归纳和推理能力．三、教学问题诊断分析学生刚接触整式乘法公式，在对多项式乘多项式法则的理解和运用不很透彻，对完全平方公式的结构特点的理解和掌握会有一定的难度．学生在应用公式过程中经常会出现的困难有：1公式中三个单项式的符号经常出错，正、负号的位置易混淆；2用于解释完全平方公式的图形的理解及用其推导完全平方公式正确性的时候，不会运用面积法建立等式，从而对完全平方公式的正确性进行验证．本节课的教学难点：完全平方公式的结构特点及公式的图形验证方法的掌握．四、教学过程设计1．探究完全平方公式问题1计算下列各式，你能发现什么规律1＋22＝_______；2－22＝_______．师生活动：教师提出问题，学生先独立计算，然后互相交流，得到结果．1＋22＝m＋2m＋2＝m2＋4m＋4；2－22＝m－2m－2＝m2－4m＋4．设计意图：承前启后，复习旧知，为本节内容的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会本节内容与多项式乘法的关系．追问1：上述问题中原式有什么特点追问2：结果的项数和系数符号有什么特点师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括．发现原式是两个数的完全平方，结果中有这两个数的平方和，而2＝2·m·2，恰好是这两个数乘积的二倍，12之间只差一个符号．设计意图：以“探索”的形式安排的这4个题目，按照多项式的乘法法则计算，从而得到4个题目结果的共同点．问题2你能将发现的规律用一般化的式子表示出来吗师生活动：学生独立思考后回答，相互补充得出：a＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2=a2－2ab＋b2．设计意图：让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法．追问：你能推导出上述式子对任意的a，b都成立吗师生活动：教师引导学生运用多项式乘法法则及合并同类项，可以推导出：a＋b2＝a＋ba＋b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2＝a－ba－b＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2．对于a－b2＝a2－ab－ab＋b2，学生可能会利用已推导出的公式验证：a－b2＝[a＋－b2]＝a2＋2·a·－b＋b2＝a2－2ab＋b2，教师应当给予鼓励．设计意图：通过不同角度验证完全平方公式的正确性，让学生学会辩证的看待问题，从而加深对公式的理解和对公式结构的掌握，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以正确地写出结果．在推理论证猜想的过程中，体会“归纳——演绎”的基本思想方法．2．理解完全平方公式问题3我们将前面探究所得的式子a＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2＝a2－2ab＋b2，称之为乘法的完全平方公式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流互相补充．若学生有困难，教师可以引导学生总结公式结构特征：1等式左边：两数和或差的平方；2等式右边：两个数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．学生用自己的语言叙述这两个公式：两数和或差的平方，等于它们的平方和，加或减它们的积的2倍．设计意图：让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解和掌握．练习下面各式的计算是否正确如果不正确，应当怎样改正1＋y2＝2＋y2； 2－y2＝2－y2；3－y2＝2＋2y＋y2； 4＋y2＝2＋y＋y2．师生活动：学生观察、思考后回答问题，对错误的题目加以修改，如有答错，其他同学给予及时的纠正，对于重点且易错的环节教师在最后总结时进行强调．教师对学生可能会出现的错误作及时的预防，1漏了乘积项；2等号右边变成平方差；3乘积项符号和前面一致；4乘积项漏了系数2．设计意图：通过观察、对比，找出它们的异同，提高对公式的理解，增强对公式特点的掌握，消除知识的负迁移作用，杜绝错误的发生．问题4你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗图图2bbaaDEAHMCGBFbbbaa图1师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回忆用面积说明平方差公式时关键是用a，b表示出图中相关正方形和长方形矩形的面积，再找到它们的等量关系．通过图1，可以看出大正方形的边长是a＋b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a＋b，其面积是a＋b2．于是就可以得出：a＋b2＝a2＋2ab＋b2．这正好符合完全平方公式．可以用相同的方法来研究图2的几何意义．如图2，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是a－b，所以它的面积是a－b2．从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．就是a－b2＝a2－2ab＋b2，这也正好符合完全平方公式．设计意图：教师提供多种模式，由学生选择一种去解决．培养学生学习的主动性，开阔学生的思路．同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；正确引导学生学习时知识的正迁移，公式的几何意义有利于学生对公式的直观理解，在此过程中体会数形结合思想．3．应用完全平方公式例1运用完全平方公式计算：14m＋n2；2．师生活动：师生共同分析，引导学生分清题目中哪部分相当于公式中的a，哪部分相当于公式中的b，就是让学生明确“公式中的a，b可表示数，也可表示单项式、多项式或其他的式子”的变化规律．在这个过程中教师要关注学生能否正确的利用完全平方公式计算，可提醒学生：第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．设计意图：具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式．例2运用完全平方公式计算：11022；2992．师生活动：师生共同分析解答，教师板书．学生掌握了这种方法后，可让同桌相互出题解答，再次体会公式的价值．设计意图：这是体会公式“优势”的实例．让学生经历了从特殊到一般后，再体会从一般运用到特殊，也就是当公式中的项换成具体数字时仍适用，开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．问题5思考：a＋b2与－a－b2相等吗a－b2与b－a2相等吗a－b2与a2－b2相等吗为什么师生活动：教师出示题目后，给学生一定的独立思考的空间，然后小组之间进行讨论和交流，确定做法和答案后，在班级进行展示，其他小组纠正、补充，全班达成一致后，教师做最后的归纳总结，让学生在理论上得以提升．前两对都相等，－a－b2转化为[－a＋b]2的方法讲评，力求人人过关．做了一些题目巩固方法后，再尝试让学生归纳出用“同号得正，异号得负”的方法来验证结论中乘积项符号的正确性，第三对可以用做差法得到2b2－2ab，只有a＝b或b＝0才相等，学生答对即可，无须严格推导．设计意图：通过式子间的互相转化，不仅可以加深学生对知识间联系的认识，更可以提高学生灵活运用公式解决问题的能力．练习1．计算：1a＋52；2y－72；33＋2；42－y2．设计意图：给出一组简单的习题，对照公式，如果学生掌握较好可以口答，让学生结合具体问题牢记公式．2．计算：12＋3y2；2－2＋3y2；3；4．师生活动：选择4名水平相当的学生进行板演，其他学生自己练习，教师巡视检查，及时给予点拨和纠正，学生检查、修改完毕后，对板演同学题目的过程和结果进行核对，纠错，教师对产生的共性问题进行解释和强调．设计意图：进一步强化学生对法则的理解，由浅入深，循序渐进的原则，分数作为字母的系数，可以提高学生的识别能力和计算能力．3．在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的1；2；3；4；5．设计意图：灵活运用所学知识，逆用完全平方公式，为因式分解和配方法打基础．预案：例3若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2．设计意图：提高学生运用公式的灵活性、增强学生的思维张力．4．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：1本节课学习了哪些主要内容2完全平方公式结构有什么特点设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己