双勾函数与不等式的应用

双勾函数与不等式的应用第1页，共19页，2023年，2月20日，星期五

3、奇偶性其定义域是关于原点对称的，且满足f(-x)=-f(x)形式，所以此函数为奇函数。4、图象如右oxy1-12-2y=x5、单调性从图易知单调递增区间为单调递减区间为例1求函数的值域解：令x-1=u，则上式可化为第2页，共19页，2023年，2月20日，星期五例2求函数的最值。解：上式可化为所以函数在上单调递增。练习：1、求函数2、求函数答案第3页，共19页，2023年，2月20日，星期五答案3、已知正数a、b满足求a+b的最小值。4、求函数的最小值。解：函数5、求函数的最值第4页，共19页，2023年，2月20日，星期五例3如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。ABab2解法一：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30(a>0,b>0)。当且仅当a=2b时，上式取等号。由a>0，b>0，解得0<ab≤18。即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。∴2b2=18。解得b=3，a=6。经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。故当a为6米，b为3米时，第5页，共19页，2023年，2月20日，星期五解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，得b=30-a/2+a(0<a<30)，①当a+2=64/(a+2)时取等号，y达最小值。这时a=6,a=-10（舍去）。将a=6代入①式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。第6页，共19页，2023年，2月20日，星期五

例4、已知直角三角形的周长为定值l，求它的面积的最大值。解：由已知，得故面积于是当面积有最大值练习1、已知圆柱的体积为定值V，求圆柱全面积的最小值。答案2、从半径为R的圆形铁片里剪去一个扇形，然后把剩下部分卷成一个圆锥形漏斗，要使漏斗有最大容量，剪去扇形的的圆心角应是多少弧度？答案第7页，共19页，2023年，2月20日，星期五1、所以原式可化为：而此函数在区间上是单调减函数因此当且仅当时函数有最小值而无最大值。2、当且仅当返回第8页，共19页，2023年，2月20日，星期五3、4、法一：显然，当sin2x=1时，上面两个式子同时成立，故原式有最小值法二、可设sin2x=t，再利用函数的单调性求解。返回第9页，共19页，2023年，2月20日，星期五1、法一：设圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S。则法二：返回第10页，共19页，2023年，2月20日，星期五2、解：如图，设圆锥形漏斗轴截面顶角为，底面半径为r，高为h，则第11页，共19页，2023年，2月20日，星期五例5、过点P（1，4）引一直线l，它在两条坐标轴上的截距皆为正且它们的和最小，求这条直线的方程。分析：首先设出过P点的直线l:y-4=k(x-1)，于是l与两坐标轴的交点分别是由题意不难判断若直线l在两坐标轴上的截距皆正，必然有其倾斜角大于因此均值不等式对正数的要求就可以满足了。解：由前面的分析，l在两坐标轴上的截距之和为：故所求直线方程为(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.第12页，共19页，2023年，2月20日，星期五例6、已知椭圆：是椭圆上两点，线段AB的垂直线与x轴交于点分析：由线段垂直平分线性质可得|PA|=|PB|，这样就建立了关于点P的方程，再由椭圆上点的坐标的取值范围，可求。证明：设A、B两点的坐标分别为由于点P在AB的垂直平分线上，则|PA|=|PB|。将（2）代入（1）式，得第13页，共19页，2023年，2月20日，星期五错解的原因是利用了复数模的不等式：但是忽略了等号成立的条件第14页，共19页，2023年，2月20日，星期五例8、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当时淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？解（1）依题设，有第15页，共19页，2023年，2月20日，星期五解第一个方程组，得第二个不等式组无解。故所求的函数关系为：第16页，共19页，2023年，2月20日，星期五例9、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）(粮食单产=总产量/耕地面积,人均粮食占有量总产量/总人口数)解:设耕地平均每年至多能减少x公顷，又设该地区现有人口为

P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意，得不等式：答：该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。第17页，共19页，2023年，2月20日，星期五例9、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（每千米小时）的平方成正比，比例系数为b、固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（