6最值系列之费马点

公众号：有一点数学皮耶德费世纪法国数家，业余数学家之的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学在析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名费马小定”费马大定理等．据说费马在提出费马大定理时在记本上写道我经想到了一个绝妙的证明方法但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年果然，数学搞得好的都是装的一把好手．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：找一点，得+最小．APB【分析】在之前的最值问题中们决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．阿哈哈哈，此处一个也用不上！其实理论还是上面的理论题点在于有条线段们要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！算了算了，不墨迹了，直接报答案了：若点满足=∠BPC=CPA，则++PC值最小，点称为该三角形的费马点．接下来讨论问题：（1如何作三角形的费马点？（2为什么是这个点？（3费马点怎么考？1

公众号：有一点数学问题要从初一学到的全等说起：（1如图，分别中AB、为，作等ABD、等ACE（2连接CD、BE，即有一组手拉手全等≌．（3记CDBE交为，点即为费马点这步其实就可以了）（以为作等BCF接必过点P∠=BPCCPA．DA

AEBC

BCDADEAPBC

EPBCF在图三的模型里有结论）=60°）接，平分．有这两个结论便足以说明=∠==120°来在“拉手全就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC°若120这个图就不是这个图了，会长成这个样子：DEPAB此时与交P点是们的费马点吗？显然这时候就不是了然点到A、、C距离之和大于A到A、B、距离之和．所以咧？是的，你想得没，此时三角形的费马点就是点！当然这种情况不会考的，就不多说了．2

公众号：有一点数学为什么P点满足==∠，+PBPC值会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条段、、的置而重组的方法是构造旋转！在上图，如下≌ABE，可得：=．D类似的手拉手，在图中有，可得=BECD．DAEPBF巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的+PC的小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到=120°∠APE=60°可AP边边点使PQ=，APQ是等边三角形．APQ为等边三角形，且共顶点，，PC．以上两步分别转化=PQQE故+PB+PC=PQQEBEDAEQPBC3

公众号：有一点数学没有对比就没有差别，我们换个点位置，如下右图，同样可以构造，同样APC△AQE转化=，A

AE

EP

P

BCB

显然，PA++=PBPQQE>．还剩下第个问题如果说费马点以前算是课外的拓展内容现在已有人把它搬上了中考舞台！直接考，要不然还能怎么考？看看今年武中考填空最后一题：问题背景：如图，将△绕点逆针旋转60°得eq\o\ac(△,到)，DE与交点P，可推出结论：=．问题解决：如图，在△中，=6，∠=75MG42点是△MNG内一点，则点O到MNG三顶点的距离的最小值______．EMAB

P

图1

图2【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为作等边△MGH，连接NH则NH的值即为所求的点到△MNG三顶点的距离和的最小值处再证明）MHN4

公众号：有一点数学过点H作⊥NM交延长线于Q点根据∠NMG=75°，∠GMH°，可得°，∴△MHQ等腰直角三角形，∴=，∴NH210029．Q

M

HNG【练习】如图，在ABC中，ACB=90°ABAC=1，P是△ABC内点求PA+PBPC的最小值．APBC【分析】如图，以AD为边构造等边ACD连接，BD的即为++的最小值．至于点P的位置？这不重要！AB如何求BD考虑到△都特殊的三角形点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点根据勾股定理，

即可得出结果．C5

公众号：有一点数学【练习】如图，已知矩形ABCDABBC=6，矩形内一点，点E为BC边任意一点，则MA+ME的小值______．ADMB

E

C【分析】依然构造°转，将三条折线段转化为一条直