5.4.1一元二次方程的认识及解法.题库学生版

一二方的识解知识点

中考要A求

B要Ｃ要求一元二次程一元二

了解一元二次方程的概念会将能由一元二次方程的概一元二次方程化为一般形式并念确定二次项系数中所指出各项系数了解一元二次方含字母的取值范围由程的根的意义方程的根求方程中待定系数的值理解配方法，会用直接开平方能选择恰当的方法解一能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次法、配方法、公式法、因式分解元二次方程方程的方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定次方程

法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

根的判别式判别方程根的情况

系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题的法知识点一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知，并且未知数的最高次数是的式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax

(，为次项系数，b为次项系数，为数项．⑴要断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是⑵任一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一式要特别注意对于关于x方程ax，当0时方程是一元二次方程；当a0且b时方程是一元一次方程．⑶关的元二次方程式

bx

的项与各项的系数．

为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；常数项．二、一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：直接开平方法：适用于解形如()

(b0)一元二次方程．配方法：解形如ax

(的元二次方程，5.4.1一元二次方程的认识及解法

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运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：二次项系数化1常数项右移．配方（两边同时加上一次项系一半的平方化成x)

形式．若n，用直接开平方法得出方程的解．公式法：设一元二次方程为ax

别为：

，x是程的两根，则：⑴0方

等实数根

b

．⑵方程

有两个相等的实数根xx

a

．⑶方程

．若a、、为理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时bac是2的数倍，则方程的根为整数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：把方程化为一般形式确定、、的．计算的值．若b若b

则代入公式求方程的根．则方程无解．因式分解法：适用于方程一边零，另一边是一个易于分解的多项式．．一元二次方程解的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的法．⑴因分解法：适用于右边为（可化为0左易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．⑵公法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并的值．⑶直开平方法：用于缺少一次项以及形如ax

或

或

的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．⑷配法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次程的一般形式

bx（a、、c为数，a0）化为它的简单形式

B，这转化方法就是配方，具体方法为：

bbxxxc．44a4bac所以方程axbx（a、b、c为数，a0）转化为x的式，2abbac即x，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．24三、可化为一元二次方程的特殊方程解方程的基本思想：化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程．5.4.1一元二次方程的认识及解法

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解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法．解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．例题精一、一元二次方程的定义【例】为值时，关于方程(m2)

mxm是元二次方程．【例】已知程2

关于x的元二次方程求a、的．【例】已知于x的方程(

axx

是元二次程，求a的值范围．【例】已知于的程)ax是元二次方程，求的取值范围．【例】若x

是于x的元二次方程，求a、的．【例】已知程2ab是于的元二次方程，求、b的．【例】若一元二次方程(m的数项为零，则的为．二、一元二次方程的解法．直接开平方法【例】解关于的程

【例】解关于的程4【例10解于的程：4(x

x

【例11解于的程：x

1255.4.1一元二次方程的认识及解法

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【例】解于x的方程：

2

【例】解于x的方程：

xx

【例】解于x的方程：x27．配方法【例】用方法解程：x【例16用方法解方程：

x【例17用方法解方程:

【例18用方法解方程:2xx【例19用方法解方程：x

x【例20用方法解方程：x

3【例21用方法解方程：

y【例22用方法解方程：x【例23用方法解方程：y

【例24用方法解方程：【例25用方法解方程x

x【例26用方法解方程：（a、b、c为数且0）【例27配法解方程：x

【例28用方法解关于的方程x

（p为知数）5.4.1一元二次方程的认识及解法

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．公式法【例29解程

【例30用式法解方程：5【例31用式法解方程：2x

【例32用式法解方程：

x【例33用式法解方程：

p【例34用式法解方程：【例35解程x

【例36解程(5)(1【例37解程(6x)2【例38解程：

【例】解程：(xx7)1【例】解程：(6)2【例】解程：22x．因式分解法【例】用式分解解方程：

x

x

【例43用式分解法解方程：x

mxm

（m、为数）【例44用式分解法解方程：x

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【例45用式分解法解方程：8x

x【例46因分解法解方程：x

x26【例47解程：3)

3【例48若数式x与的互为相反数，则x值为多少？【例49解程

【例50解程：

)【例】解程：(2x

x2【例】解程2x3【例53解程

x【例54解程3x(14(5)【例55解程：

(2x【例】

x

【例57解于的程【例58解于x的程

【例59解于x的程：【例60解程xx【例61解程9(x2)x5.4.1一元二次方程的认识及解法

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【例62解程：3x

【例63解程x【例64解程x

)【例65解程

【例66解程(x2)x3)【例67解程：

2yy323【例68解程：

【例69解程：(x

x．换元法【例70解程(xx三、含字母系数的一元二次方程的解法【例71解程：

m

m【例72解程

m【例73解于x的方程：(

x．【例74解于x的方程：((xax四、含绝对值的一元二次方程的解法【例75解程x

．【例76解程：xxx【例77绝值方程(xx的同实数解共有5.4.1一元二次方程的认识及解法题库·学生版

个．

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yyyyyy【例78已关于的程x

恰三个实数根，求m的值．43x【例79方x的实根的个数为．xx【例80设程x

2x．满足该方程的所有根之和．五、可化为一元二次方程的高次方程的解法【例81请读下列材料：问题：已知方程x，一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，y2x．所以x把x代已知方程，得2

y化简，得y

y．所求方程为y

y．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称换根法．请用阅读材料提供的换根法求方程（要求：把所有方程化为一般形式⑴已方程x

，一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍则所求方程为：；⑵已关于的一元二次方程ax两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；⑶已关于x的程根的平方．

有两个实数根求个一元二次方程它的根分别是已知方程【例82解程x，是一元四次方程，根据该方程的特点，它通常解法是：设

，那么x

，于是原方程可化为y

y解这个方程得y，y．当时x

，x；当y时x

．故原方程有四个根：，xx5x．⑴填：由原方程得到过中，利用法到降次的目的，体现了

的数学思想；⑵解程

【例83解程：(x)x)【例84解程xx

2)．【例85解程：【例86方(x

xx

x全部相异实根是．5.4.1一元二次方程的认识及解法

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【例87解程x

x

x

x．【例88解程2x

x

【例89方：

的有整数解的个数是（A．2

B．3CD5【例90解程：

x

．六、可化为一元二次方程的无理方程的解法【例91解程4x

x

．【例92无方程2x2x1998的是__________【例93解程：

30x

45．【例94【例95解程

x

xx

【例96解程：x520【例97解程：x【例98解程

2【例99无方程

2x

的是___________．【例100

解方程xx．5.4.1一元二次方程的认识及解法

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yy【