数学建模2市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学建模(2)桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系蒋晓云第1页第1页1现实状况：

数学建模是一门新兴学科，20世纪70年代初诞生于英、美等当代工业国家。在短短几十年历史瞬间辐射至全球大部分国家和地域。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，伴随数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）开展，这门课越来越得到注重，也深受广大学生爱慕。第2页第2页原因：一是由于新技术尤其是计算机技术飞速发展，大量实际问题需要用计算机来处理，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生要求越来越高，大学生毕业后要适应社会需求，一到工作岗位就能创造价值。2课程特点很强实用性：教材内容来自于实际。知识广泛性：依赖于各方面基础知识。内容趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生汇报方式，课堂教学方式，课外教学方式等。第3页第3页3教学目培养学生处理实际问题综合能力。1）“双向翻译”能力2）利用数学思想进行综合分析能力3）结合其它专业尤其是应用计算机处理问题能力4）观测力和想象力5）提升撰写科研论文能力6）团结协作精神第4页第4页（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？训练学生表示能力。甲、乙、学校在一条直线上？第5页第5页数学模型概念什么是数学模型？国外曾有些人为它下了一个简朴定义：把实际问题中各量之间关系用数学形式表示出来，叫数学模型。因为它广泛性这么定义是难以真正了解它真实含义。下面我们举例来说明之。（1）各种应用题解过程都是数学模型。小学数学题能够分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还能够有不同方法、思绪，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需要求解可看作是模型求解。有这么一道题：第6页第6页模型：是我们对所研究客观事物相关属性模拟，它应当含有事物中使我们感兴趣主要性质，模拟不一定是对实体一个仿造，也能够是对一些基本属性抽象。数学模型直观模型：实物模型，主要追求外观上逼真。物理模型：为一定目的依据相同原理结构模型，不但能够显示原型外形或一些特性，并且能够进行模拟试验，间接地研究原型一些规律。思维模型，符号模型，数学模型。第7页第7页鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？用x,y分别表示鸡与兔，能够列出方程x+y=46,2x+4y=128事实上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题数学模型。列出方程，原问题已转化为纯正数学问题。方程解为x=28,y=18,这就是鸡兔问题答案。（2）九大行星发觉过程。（3）美国总统竞选模拟。（4）内燃机阵真。(5)冲压过程有限元模型。（6）处处都有数学模型问题。前中央发下售房价格告知中，有这样一个公式，依据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限构成“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。第8页第8页

数学建模准拟定义数学建模是利用数学语言和工具，对部分现实世界信息（现象、数据）加以翻译、归纳产物。数学模型通过演绎、求解以及推断，给出数学上分析、预测、决议或控制，在通过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受实际检查，完毕实践——理论——实践这一循环（如图1-1）。假如检查结果是正确或基本正确，即可用来指导实际，不然，要重新考虑翻译、归纳过程，修改数学模型。第9页第9页数学模型：1）近藤次郎（日）定义：数学模型是将现象特性或本质给以数学表述数学关系式。它是模型一个。2）本德（美）定义：数学模型是关于部分现实世界和为一个特殊目的而作一个抽象简化数学结构。3）姜启源（中）定义：是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要简化和假设，利用适当数学工具得到一个数学结构。第10页第10页数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与办法数学问题。总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数学理论和办法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反应客观世界越来越广泛，越来越准确。第11页第11页费马（P.Fermal1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短路径迈进”牛顿（Newton1642-1727）将力学法则用单纯数学式表示，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律第12页第12页航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用分别代表船速、水速，能够列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。第13页第13页数学建模过程现实对象信息数学模型解答现实对象解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型关系第14页第14页

数学建模示例

建模示例之一

椅子稳定性问题

问题：将四条腿同样长正方形椅子放在不平地面上，是否总能设法使它四条腿同时着地，即放稳。假设

1）地面为光滑曲面；

2）相对地面弯曲程度而言，椅子腿是足够长；

3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面接触视为几何上点接触；

4）椅子中心不动。第15页第15页xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失普通性，设初始时：第16页第16页假设：是连续函数，且对任意，求证：至少存在，使得数学模型数学命题：.第17页第17页4模型求解证实：将椅子转动，对角线互换，由可得令由连续性，依据介值定理，在中至少存在一点,使得,即又因此结论：能放稳。第18页第18页连续函数介值定理oxyab思考题1：长方形椅子会有同样性质吗？第19页第19页思考题1：长方形椅子会有同样性质吗？第20页第20页建立数学模型办法和环节办法

机理分析法：以典型数学为工具，分析其内部机理规律。统计分析法：以随机数学为基础，通过对统计数据进行分析，得到其内在规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题研究办法。把定性思维和结论用定量手段表示出来。如：层次分析法。第21页第21页建模环节模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检查模型应用第22页第22页1）模型准备：理解问题实际背景，明确建模目，掌握对象各种信息如统计数据等，弄清实际对象特性。有时需查资料或到相关单位理解情况等。建模环节第23页第23页2）模型假设：依据实际对象特性和建模目标，对问题进行必要地合理地简化。不同假设会得到不同模型。假如假设过于简朴可能会造成模型失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物体重问题”；假如假设过于详细，试图把复杂实际现象各个原因都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题主要方面和次要方面，抓主要原因，尽可能将问题均匀化、线性化。第24页第24页3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题本质，简化变量之间关系；要有严密数学推理，模型本身要正确；要有足够准确度。4）模型求解：能够包括解方程、画图形、证实定理以及逻辑运算等。会用到老式和近代数学方法，计算机技术（编程或软件包）。尤其地近似计算办法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。第25页第25页6）模型检查：把模型分析结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检查模型合理性和适应性检查结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中也许发觉新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决议控制。第26页第26页（日本）设计一花坛，使它面积为矩形场地二分之一。要求美观。这是数学和艺术相结合开放题。开放度极大。国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行会议时，日本一堂公开课。日本学生当堂有13种解答。评价：得到不同5种设计，每种2分。第27页第27页公说公有理，婆说婆有理。香港某厂，业绩为

年份90年91年92年

股东红利5万7.5万10万

工资总额10万12.5万15万90919215105909192200%150%100%老板所画工会主席所画第28页第28页练习1某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中同一时刻通过路径中同一地点。为何？AB甲乙第29页第29页37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场每两支球队中胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？普通思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。第30页第30页3某人家住T市在他乡工作，天天下班后乘火车于6时到达T市车站，它妻子驾车按时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半到达T市车站，随后步行回家，它妻子像往常同样驾车前来，在半路上碰到他接回家时，发觉比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。第31页第31页甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人天天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先通过丙站那趟车，结果发觉100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站电车通过丙站时刻表是如何安排？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:19第32页第32页一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反两所学校上学，天天同时放学后分别以4km/h和2km/h速度步行回家。一小狗以6km/h速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？假如男孩和女孩上学时小狗也忘返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？第33页第33页6某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，以下图。问走那条路最近？（用尽也许简朴方法求解。）dAB河