从几个生活实例看数学建模及其应用-2023修改整理

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固然，真切实际问题的数学建模通常要复杂得多，但是建立数学建模的基本内容已经包含在解决这类代数应用题的过程中了。那就是：按照建立模型的目的和问题的背景作出须要的简化假设；用字母表示待求的未知量；利用相应的物理或其他逻辑，列出数学式子；求出数学上的解答；用这个答案解释问题；最后用实际现象来验证结果。

普通来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，按照特有的内在逻辑，作出一些须要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

二、数学模型的意义

1）在普通工程技术领域，数学建模仍然大实用武之地。

2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不行少的工具。

3）数学快速进入一些新领域，为数学建模开辟了许多新的处女地。

三、数学建模实例

例1、某饲养场天天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估量可使一头60kg重的生猪天天增重2.5kg。目前生猪出售的市场价格为12元/kg，但是预测天天会降低0.1元，问该场应当什么时候出售这样的生猪？

问题分析投入资金可使生猪体重随时光增长，但售价随时光削减，应当存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大。按照给出的条件，可作出如下的简化假设。

模型假设天天投入6元资金使生猪的体重天天增强的常数为r（=2.5kg）;生猪出售的市场价格天天降低常数g（=0.1元）。

模型建立给出以下记号：t~时光（天）；w~生猪体重;P~单价（元/kg）;R~出售的收入（元）；Q~纯利润（元）；

C~t天投入的资金（元）。

根据假设,60(2.5),12(0.1).wrtrpgtg=+==-=又知道,6,RpwCt==再考虑到纯利润应扣掉以当前价格（12元/kg）出售60kg生猪的收入，有1260,QRC=--?得到目标函数（纯利润）为

()(12)(60)6720Qtgtrtt=-+--(1)

其中r=2.5,g=0.1.求(0)t≥使()Qt最大。

模型求解这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法

简单得到6303rgtgr

--=（2）当r=2.5,g=0.1时，t=40,(36)324Q=，即10天后出售，可得最大纯利润324元。

例2、（渔船出海问题）研究渔业资源的最大经济效益模型，这里用出海渔船的数量作为控制函数。实际上，捕鱼业的详细做法是等渔场中鱼量增长到相当大以后，才派出一定数量的渔船举行捕捞。模型假设1、渔场鱼量()xt的自然增长听从logistic逻辑，单位时光捕捞量h与渔船数量()ut和渔场鱼量()xt成正比，在捕捞条件下满足()()(,)xtfxhux=-(1)

()(1)xfxrxN

=-(2)(,)()()huxqutxt=(3)

r,N同前，q是每只渔船单位时光（如天天）的捕捞率（相对于x而言）。()ut视为延续变量，非整数部分理解为在时光内举行捕捞。

2、初始时刻渔场鱼量

(0),1NxKK=>>(4)

(0)x很小。在时光0tτ≤≤内不派鱼船出海。tτ>以后出海渔船的数量保持常数U,即()ut的形式为

{0,0,()tUtutττ≤≤>=(5)

而τ，U为待定参数，捕捞期间()tτ>渔场鱼量x保持稳定。

3、鱼的出售单价为p，每只渔船单位时光（天）的运费为c,通货膨胀率或称折扣率因子为δ。

建模与求解在假设1和3下，单位时光的利润（折合到初始时刻）为()tephcuδ--，模型的目标函数是以()ut为控制函数的长久效益，即归纳为如下的泛函极值问题：

(())[((),())()][()]()ttJutephutxtcutdt

epqxtcutdt

δδ∞

-∞-=-=-??（6）()(1)()xxtrxqutxN

=--（7）

由于假设2给出了控制函数()ut的形式（5），所以（6），（7）可转化为函数极值问题。

当0tτ≤≤时0,()uxt=简单由方程（7）在初始条件（4）下解出；当tτ>时,()uUxt=要保持在某一变量不变（假设2），这个常量可由（7）式令0x=得到。于是有

,01(1)(1),()NtrtKeqUNtrxtττ≤≤-+-->??=???

（8）由()xt在tτ=时的延续性可以写出

111(1)rtqUKer-=-+-由此可解得

1ln[(1)(1)]rKrqU

τ=--（9）

即()ut中的两个参数,Uτ中惟独一个是自立的，以下取U为自立变量，()Uτ由（9）式确定。

将（5）（8）代入（6）式，